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超弾性¶

本章では，FrontISTR が対応する超弾性構成則を扱う．使い分け・入力指定の詳細は機能編 03_material を参照．

現象（大変形可逆応答）¶

TBD（次フェーズで本文化）．

構成則の枠組み¶

等方性超弾性材料における弾性ポテンシャルエネルギーは，応力の作用していない初期状態からの等方性を持った応答から得られるものであり，右 Cauchy-Green 変形テンソル \(C\) の主不変量 \((I_1, I_2, I_3)\)，または体積変化を除いた変形テンソルの主不変量 \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) の関数，つまり \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) あるいは \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) として表すことができる．

超弾性材の構成式は第 2 Piola-Kirchhoff 応力と Green-Lagrange ひずみの関係で定義され，その変形解析は Total Lagrange 法を適用する．

弾性ポテンシャルエネルギー \(W\) がわかれば，以下のように第 2 Piola-Kirchhoff 応力および応力-ひずみ関係を計算できる．

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

以下では FrontISTR が採用する超弾性モデルの弾性ポテンシャルエネルギー \(W\) を列挙する．

Neo-Hookean 超弾性モデル¶

Neo-Hookean 超弾性モデルは等方性を持つ線形則（Hooke 則）を大変形問題へ対応できるように拡張したものである．その弾性ポテンシャルは以下のとおりである．

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

ここで，\(C_{10}\) と \(D\) は材料定数である．

Mooney-Rivlin 超弾性モデル¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

ここで，\(C_{10}\), \(C_{01}\) と \(D\) は材料定数である．

Mooney-Rivlin 異方性超弾性モデル¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

ここで，\(C_{10}\), \(C_{01}\) と \(D\) は等方性と共通の材料定数であり，\(C_{42}\) と \(C_{43}\) は異方性のみの材料定数である．

Arruda-Boyce 超弾性モデル¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

ここで，\(\mu_0\), \(\lambda_m\) と \(D\) は材料定数である．