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Elasticidad lineal

Este capítulo trata la ley constitutiva (ley de Hooke) de los materiales elásticos lineales. Para obtener información detallada sobre la selección del modelo y la especificación de los datos de entrada, consulte la sección de funciones 03_material.

Fenómeno (respuesta elástica lineal)

Un cuerpo elástico lineal es un material que, en un intervalo en el que la deformación producida por la carga es suficientemente pequeña, presenta una relación lineal entre tensión y deformación y una respuesta reversible e independiente de la historia, de modo que toda la deformación vuelve a su estado original al descargar. A diferencia de la plasticidad o la fluencia lenta, no posee variables internas que representen el estado (como deformación plástica o deformación viscosa), y la tensión queda determinada de forma unívoca únicamente por la deformación actual.

En el régimen de pequeñas deformaciones se utilizan la tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) y la deformación infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\); en el régimen de deformaciones finitas (problemas que incluyen grandes rotaciones pero en los que la deformación en sí es pequeña), se utilizan la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) y la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (material de St.Venant-Kirchhoff).

Ley constitutiva

Material elástico lineal isótropo

En el régimen de pequeñas deformaciones, la ley de Hooke isótropa se expresa mediante las constantes de Lamé \(\lambda, \mu\) como

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

En forma de componentes,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

y la doble contracción con la deformación proporciona \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Las constantes de Lamé se relacionan con el módulo de Young \(E\) y el coeficiente de Poisson \(\nu\) de la forma siguiente:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

En notación de Voigt, la relación entre el vector de deformación \(\hat{\varepsilon}\) y el vector de tensión \(\hat{\sigma}\) se escribe \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), y la matriz de material tridimensional \(D\) es

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

En la implementación se utiliza esta representación matricial.

Material elástico lineal ortótropo

Para materiales cuyas constantes elásticas difieren según la dirección de los ejes principales, se adopta un modelo ortótropo con nueve constantes independientes: los módulos de Young en las direcciones principales \(E_1, E_2, E_3\), los coeficientes de Poisson entre ejes principales \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) y los módulos de cortadura \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Para la forma explícita de la matriz \(D\), consulte referencias generales.

Régimen de deformaciones finitas: material de St.Venant-Kirchhoff

Para problemas que incluyen grandes rotaciones pero en los que la deformación en sí es pequeña, se utiliza el material de St.Venant-Kirchhoff como una ley elástica lineal que relaciona la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) y la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Las definiciones de las constantes de Lamé \(\lambda, \mu\) son las mismas que en el caso de pequeñas deformaciones. No obstante, como la pareja de definiciones de tensión y deformación es distinta, debe tenerse en cuenta que se trata de una ley constitutiva diferente de la ley de Hooke para pequeñas deformaciones.

Material hipoelástico

En el método de Lagrange actualizado se utiliza un material hipoelástico que adopta la ley elástica lineal entre la tasa de Jaumann del tensor de tensión relativa de Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) y el tensor de velocidad de deformación \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

También en este caso, la definición de \(\boldsymbol{C}\) mediante las constantes de Lamé es la misma que la anterior, pero, como la pareja tensión-deformación es distinta, se trata de una ley constitutiva diferente. Para obtener detalles sobre cómo se actualiza \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) mediante el procedimiento de integración temporal (integración de Euler hacia delante y aproximación por diferencias centrales), consulte tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reducción para análisis bidimensional y elementos de lámina

Tensión plana (\(\sigma_{33} = 0\))

Para el estado de tensión plana, que representa la carga de placas delgadas y láminas, se supone \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\); la componente de deformación fuera del plano \(\varepsilon_{33}\) se elimina algebraicamente y se utiliza la matriz de material reducida \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformación plana (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Para el estado de deformación plana, que representa la sección transversal de una estructura larga restringida en la dirección del espesor, se supone \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisimétrico

En coordenadas cilíndricas \((r, \theta, z)\), el análisis axisimétrico trata problemas uniformes en la dirección \(\theta\) y conserva los cuatro componentes \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) y \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), y se obtiene

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

se obtiene.

Elementos de lámina (tensión plana + cortadura transversal)

En los elementos de lámina, la tensión en el plano se trata como tensión plana y, para las componentes de deformación por cortadura transversal \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), se aplica el factor de corrección de cortadura \(\kappa\) (generalmente \(\kappa = 5/6\)), con lo que se utiliza \(\kappa\, G\). Para la formulación detallada de cada elemento, consulte formulaciones avanzadas de elementos. La especificación de la sección de funciones 03_material según la cual «los elementos de lámina solo admiten elasticidad lineal» se basa en esta simplificación de tratar el estado en el plano como tensión plana.

Dependencia de la temperatura

El módulo de Young \(E\), el coeficiente de Poisson \(\nu\) y el coeficiente de dilatación lineal \(\alpha\) se especifican generalmente como funciones de la temperatura \(T\). En FrontISTR se introducen los valores de las propiedades correspondientes a una secuencia finita de puntos de temperatura \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\); durante el cálculo, los valores de las propiedades a la temperatura \(T\) se determinan mediante interpolación lineal entre los puntos de temperatura adyacentes. Para temperaturas fuera del intervalo (\(T < T_1\) o \(T > T_n\)), se utiliza para la extrapolación el valor del extremo más próximo, \(T_1\) o \(T_n\) (extrapolación constante).

Para la dependencia de la temperatura de las propiedades térmicas (densidad, calor específico y conductividad térmica), consulte Propiedades térmicas. Las mismas reglas de interpolación se aplican a estas propiedades.

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