Lista de símbolos de magnitudes físicas
Esta página enumera los símbolos de las magnitudes físicas utilizadas en el manual teórico de FrontISTR. Para las convenciones de notación (negrita para vectores y tensores, convenio de suma de Einstein y notación de Voigt), consulte Notación tensorial y fundamentos matemáticos.
Configuraciones y sistemas de coordenadas
| Símbolo | Descripción |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vector de posición de un punto material en la configuración de referencia (inicial) (coordenadas materiales) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vector de posición de un punto material en la configuración actual (coordenadas espaciales) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Aplicación de movimiento: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Dominio ocupado por el cuerpo en la configuración de referencia |
| \(\Omega\) | Dominio ocupado por el cuerpo en la configuración actual |
| \(\Gamma_0\) | Contorno de \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Contorno de \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Contorno geométrico (de desplazamiento): contorno en la configuración actual/de referencia en el que \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) está prescrito |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Contorno mecánico: contorno en la configuración actual/de referencia en el que \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (o \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) está prescrito |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vector normal unitario exterior a una superficie en la configuración actual |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vector normal unitario exterior a una superficie en la configuración de referencia |
| \(t\) | Tiempo |
Convención: Las magnitudes físicas de la configuración de referencia se indican mediante letras mayúsculas o un subíndice \(0\), mientras que las magnitudes de la configuración actual se indican mediante letras minúsculas.
Tiempo e incrementos (análisis incremental)
| Símbolo | Descripción |
| \(\Delta t\) | Incremento de tiempo: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Magnitud física en el instante \(t\) (superíndice izquierdo). Ejemplo: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) es la tensión de Cauchy en el instante \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Dominio de la configuración actual en el instante \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Contorno de la configuración actual en el instante \(t\) |
Convención: En el análisis incremental, el estado hasta el instante \(t\) se considera conocido y el estado en \(t + \Delta t\) se resuelve como incógnita. El superíndice izquierdo se omite cuando no es necesario indicar explícitamente el tiempo. La formulación que utiliza la configuración de referencia \(\Omega_0\) como referencia se denomina formulación lagrangiana total, mientras que la formulación que utiliza como referencia la configuración actual \(^{t}\Omega\) al comienzo del incremento se denomina formulación lagrangiana actualizada.
Desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza de volumen
| Símbolo | Descripción |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vector de desplazamiento: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Desplazamiento impuesto en el contorno geométrico \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Desplazamiento virtual (función de prueba): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) en \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vector de velocidad: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vector de aceleración: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Fuerza de volumen (por unidad de masa) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vector de tracción (por unidad de área): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Tracción prescrita en el contorno mecánico \(\Gamma_t\) (datos de Neumann) |
Operadores diferenciales
| Símbolo | Descripción |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivada material respecto al tiempo (derivada temporal siguiendo el mismo punto material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradiente en la configuración de referencia (gradiente respecto a las coordenadas materiales \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradiente en la configuración actual (gradiente respecto a las coordenadas espaciales \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operador gradiente simétrico: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Nota: \(\nabla_X\) y \(\nabla_x\) se relacionan mediante \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Se utiliza un gradiente sin subíndice, \(\nabla\), cuando la configuración queda clara por el contexto o cuando la distinción desaparece, como en los problemas de pequeñas deformaciones.
| Símbolo | Descripción |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensor gradiente de deformación: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Relación de volumen: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensor de deformación de Cauchy-Green derecho: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensor gradiente de velocidad: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensor de velocidad de deformación (parte simétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensor de giro (parte antisimétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Símbolo | Descripción |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensor de deformación de Green-Lagrange (configuración de referencia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensor de deformación de Almansi (configuración actual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Parte lineal del tensor de deformación de Almansi (gradiente simétrico de desplazamiento en la configuración actual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensor de deformación infinitesimal (aproximación lineal): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Nota: \(\boldsymbol{E}\) se utiliza principalmente en la formulación lagrangiana total, mientras que \(\boldsymbol{D}\) se utiliza principalmente en la formulación lagrangiana actualizada.
Tensores de tensión
| Símbolo | Descripción |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensor de tensiones de Cauchy (tensión verdadera, configuración actual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff (tensión nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff (configuración de referencia, simétrico): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Relaciones de conversión entre los tensores de tensión:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Convención: La formulación lagrangiana total utiliza el par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mientras que la formulación lagrangiana actualizada utiliza el par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Densidad y masa
| Símbolo | Descripción |
| \(\rho\) | Densidad de masa en la configuración actual |
| \(\rho_0\) | Densidad de masa en la configuración de referencia |
Conservación de la masa: \(\rho_0 = J\rho\).
Constantes de material (elasticidad lineal)
| Símbolo | Descripción |
| \(E\) | Módulo de Young |
| \(\nu\) | Coeficiente de Poisson |
| \(\lambda\) | Primera constante de Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Segunda constante de Lamé (módulo de cortante): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensor de elasticidad (cuarto orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componentes \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (o \(\hat{\tilde{C}}\)) | Matriz de material (notación de Voigt, \(6\times6\) en 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Componentes del tensor de elasticidad para un material elástico lineal isótropo:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materiales hiperelásticos
| Símbolo | Descripción |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Función de potencial elástico (función de densidad de energía de deformación) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invariantes principales del tensor de Cauchy-Green derecho \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invariantes reducidos de \(\boldsymbol{C}\) (cambio volumétrico separado) |
| \(C_1, C_2\) | Constantes de material del modelo de Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Constante de material relacionada con la elasticidad volumétrica |
Materiales elastoplásticos
| Símbolo | Descripción |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Componente elástico del tensor de velocidad de deformación |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Componente plástico del tensor de velocidad de deformación |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Función de fluencia |
| \(\kappa\) | Variable interna que representa el estado plástico (variable de endurecimiento isótropo) |
| \(\lambda^p\) | Multiplicador plástico (multiplicador de la velocidad de deformación plástica): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potencial plástico (\(\Theta = F\) para una regla de flujo asociada) |
| \(\bar{\sigma}\) | Tensión equivalente (p. ej., tensión de von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformación plástica equivalente |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Función de endurecimiento isótropo |
Condición de complementariedad: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Método de los elementos finitos
| Símbolo | Descripción |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Dominios en las configuraciones actual y de referencia aproximados mediante discretización por elementos finitos: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Dominio del elemento en las configuraciones actual y de referencia |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Parte del contorno del elemento que pertenece al contorno mecánico |
| \(\boldsymbol{r}\) | Coordenadas naturales (coordenadas locales del elemento) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punto en coordenadas naturales correspondiente al nodo \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Función de forma correspondiente al nodo \(\alpha\) del elemento \(e\) |
| \(n_e\) | Número de nodos que constituyen un elemento |
| \(n_g\) | Número total de nodos globales |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coordenadas y desplazamiento del nodo del elemento \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vectores de coordenadas y desplazamientos nodales del elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vectores globales de coordenadas y desplazamientos nodales (ordenados por número de nodo y después por grado de libertad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matriz de relación deformación-desplazamiento (matriz B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matriz de funciones de forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) es un bloque \(d \times d\) con la función de forma \(N_\alpha^e\) del nodo \(\alpha\) en su diagonal, y \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matriz de rigidez del elemento |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandos de la matriz de rigidez del elemento (expresados en las configuraciones de referencia y actual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulación TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulación UL) | Vector de fuerzas internas del elemento |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Fuerza externa nodal que actúa sobre el nodo del elemento \(\alpha\), y vector de fuerzas externas nodales del elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vector global de fuerzas internas y vector global de fuerzas externas: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); de forma análoga para \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Fuerza interna nodal y fuerza externa nodal en el nodo global \(i_g\) (bloques nodales de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matriz global de rigidez tangente: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriz formada colocando el bloque \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) en la fila \(i_g\), columna \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vector residual en la iteración de Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Corrección en la iteración de Newton-Raphson (obtenida resolviendo la ecuación lineal \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) en la iteración \(i\)) |
| \(i_g\) | Número de nodo global (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Número de nodo global correspondiente al número de nodo local \(\alpha\) del elemento \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Conjunto de pares \((e, \alpha)\) correspondientes al número de nodo global \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilizado en operaciones de ensamblaje |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Conjunto de tuplas \((e, \alpha, \beta)\) correspondientes al par de números de nodo global \((i_g, i_h)\); utilizado para el ensamblaje de la matriz de rigidez |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Índices de los nodos que constituyen un elemento |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Índices de los grados de libertad (\(1, 2, 3\) en 3D) |
Elementos avanzados y elementos estructurales
| Símbolo | Descripción |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matriz de relación deformación-desplazamiento cuya parte volumétrica se modifica mediante el método B-bar (el componente volumétrico se sustituye por la matriz B evaluada en el centro del elemento) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradiente de deformación cuya parte volumétrica se modifica mediante el método F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Relación de volumen del gradiente de deformación evaluado en el centro del elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vector interno de grados de libertad para un elemento de modos incompatibles (coeficientes de modos de desplazamiento adicionales que no imponen continuidad en el contorno del elemento) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funciones de forma para modos incompatibles: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Espesor del elemento de lámina |
| \(A\) | Área de la sección transversal de un elemento de viga |
| \(I\) | Segundo momento de área de la sección transversal de un elemento de viga |
| \(G\) | Módulo de cortante: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Temas relacionados