Keri sisuni

Kujufunktsioonide ruumtuletised

Jaotises Kujufunktsioonid ja lõplike elementide lähendus kasutusele võetud kujufunktsioonid \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) on antud elemendi lokaalsete koordinaatide ehk naturaalkoordinaatide \(\boldsymbol{r}\) funktsioonidena. Nõrga vormi integraalavaldises esinevad aga deformatsiooni ja nihke seose kaudu osatuletised füüsikaliste koordinaatide (lähtekonfiguratsiooni \(\boldsymbol{X}\) või hetkekonfiguratsiooni \(\boldsymbol{x}\)) suhtes, s.t. \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) või \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Selles peatükis kirjeldatakse nende kujufunktsioonide ruumtuletiste arvutamist elemendi sõlmekoordinaatide ja naturaalkoordinaatide tuletiste põhjal.

Ruumtuletiste esitamine ahelreegli abil

Rakendades ahelreeglit interpolatsioonivalemile \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (eelmine peatükk) ning kasutades naturaalkoordinaatidest füüsikalistesse koordinaatidesse teisenduse Jakobiaani maatriksit \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\), saadakse

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Siin on \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ja \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) maatriksid, mille reas \(\alpha\) on sõlme \(\alpha\) osatuletiste vektor; mõlemad on mõõtmetega \(n_e \times 3\).

Jakobiaani maatriksi koostamine

Diferentseerides interpolatsioonivalemit \(\boldsymbol{r}\) suhtes, saadakse

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Seega saab Jakobiaani maatriksi koostada otse elemendi sõlmekoordinaatidest \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ja naturaalkoordinaatide tuletistest \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Naturaalkoordinaatide tuletised määratakse kujufunktsioonide funktsionaalse kuju järgi ja on iga elemenditüübi jaoks eelnevalt realiseeritud.

Jakobiaani maatriksi determinant \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) kasutatakse numbrilises integreerimises ruumalaelemendi teisendamiseks \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Kui determinant muutub väärtuseks \(0\), on element degenereerunud ja arvutus nurjub.

Arvutusvoog

Eeltoodud tuletuse põhjal saab ruumtuletiste \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) arvutuse jagada 4 etapiks.

  1. Naturaalkoordinaatide tuletiste arvutamine: sisendiks võetakse elemenditüüp ja hindamispunkti naturaalkoordinaadid \(\boldsymbol{r}\) ning arvutatakse naturaalkoordinaatide tuletiste maatriks \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Kuna kujufunktsioonide funktsionaalne kuju sõltub elemenditüübist, hargneb töötlus elemenditüübi järgi.
  2. Jakobiaani maatriksi arvutamine: elemendi sõlmekoordinaatidest \(\boldsymbol{X}^e\) ja maatriksist \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) koostatakse eelmise jaotise valemi järgi Jakobiaani maatriks \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
  3. Pöördmaatriksi ja determinandi arvutamine: arvutatakse Jakobiaani maatriksi pöördmaatriks \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ja determinant. Determinanti kasutatakse numbrilise integreerimise kaaludes.
  4. Ruumtuletiste arvutamine: korrutades \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) maatriksiga \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) saadakse ruumtuletis \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

Need 4 etappi hargnevad elemenditüübi ja ruumimõõtme (2 või 3 mõõdet) järgi, kuid üldine arvutusvoog on ühine.

Lähte- ja hetkekonfiguratsiooni ühine käsitlus

Ülaltoodud protseduuris tuleb \(\boldsymbol{X}^e\) lihtsalt asendada hetkekonfiguratsiooni sõlmekoordinaatidega \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), et sama protseduuri saaks rakendada hetkekonfiguratsiooni ruumtuletisele \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\). Seetõttu saab Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i meetodites kasutada sama protseduuri, vahetades üksnes sisendina antavaid sõlmekoordinaate.

Seotud teemad