Keri sisuni

Translation update pending

The Estonian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Täiustatud elemendiformulatsioonid

Jaotises 3D tahkiselementide formulatsioon esitatud standardne siirdepõhine formulatsioon võib peaaegu kokkusurumatute materjalide või paindedominantsete õhukeseseinaliste konstruktsioonide korral tekitada liigset kunstlikku jäikust ehk lukustumist (mahulukustumine või nihkelukustumine). Selle vältimiseks pakub FrontISTR B-bar- ja F-bar-meetodeid, mis asendavad ainult B-maatriksi või deformatsioonigradiendi mahulise osa; sisemiste vabadusastmetega mitteühilduvaid elemente; u-p segaelemente, kus rõhku käsitletakse sõltumatu tundmatu väljana; ning plaat- ja talakonstruktsioonidele mõeldud MITC koorik- ja talaelemente.

Selles peatükis võetakse nende täiustatud elementide ja konstruktsioonielementide formulatsioonid elemenditüüpide kaupa kokku.

B-bar-meetod

Kui 8-sõlmelist lineaarset heksaeedrit kasutatakse peaaegu kokkusurumatu materjali jaoks, võib ühe elemendi deformatsiooniväli minna vastuollu konstantse ruumala tingimusega ja tekitada liigset jäikust ehk mahulukustumist. B-bar-meetod vähendab seda ülepiirangut, asendades B-maatriksi mahulist paisumist mõjutavad komponendid elemendi keskpunktis hinnatud väärtustega [Hughes1980].

Olgu elemendi keskpunktis \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) kujufunktsioonide ruumilistest tuletistest arvutatud B-maatriks \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ning integraalpunktis \(\boldsymbol{r}\) tavaline B-maatriks \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Sõlme \(\alpha\) ja vabadusastme \(i\) siirde-deformatsiooni seoses muudetakse mahulise deformatsiooni komponente \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\), lisades

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Nihkekomponentide \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) jaoks kasutatakse tavalist \(\boldsymbol{B}\)-maatriksit. Elemendi jäikus ja sisejõuvektor koostatakse saadud B-bar-maatriksi abil.

FrontISTR pakub seda formulatsiooni spetsiaalselt 8-sõlmelise lineaarse heksaeedri jaoks (elemendi ID 361; vt Elemendinumbrite süsteem) ning seda saab kasutada väikeste deformatsioonide, Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i formulatsioonides.

F-bar-meetod

Lõpliku deformatsiooni korral siseneb mahumuutus mittelineaarselt deformatsioonigradiendi \(\boldsymbol{F}\) kaudu. F-bar-meetod [deSouzaNeto1996] rakendab deformatsioonigradiendi tasemel B-bar-meetodiga analoogset mahulukustumise vastast käsitlust.

Olgu elemendi keskpunktis \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) hinnatud deformatsioonigradiendi ruumalasuhe \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ja integraalpunktis \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Integraalpunkti deformatsioonigradient asendatakse kujuga

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Nii kehtib \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ja ruumalasuhe kogu elemendis ühtlustatakse elemendi keskpunkti väärtusega. Asendatud \(\bar{\boldsymbol{F}}\) kasutatakse pinge hindamisel ja deformatsiooni-siirde maatriksi moodustamisel ning elemendi puutujäikus sisaldab ka asendusega seotud lisaliikmeid.

FrontISTR rakendab F-bar-meetodit spetsiaalselt 8-sõlmelisele lineaarsele heksaeedrile ning seda saab kasutada nii väikeste deformatsioonide kui ka Total Lagrange'i / Updated Lagrange'i mittelineaarse geomeetria korral.

Mitteühilduvad elemendid

8-sõlmelisel lineaarsel heksaeedril puuduvad paindeks vajalikud deformatsioonirežiimid ning paindedominantsetes probleemides tekib paindelukustumine. Mitteühilduvad elemendid [Taylor1976] lisavad selle puuduse kompenseerimiseks elemendi sisse täiendavaid siirderežiime.

Lisaks elemendi sõlmesiiretele \(\boldsymbol{u}^e\) tuuakse sisse ainult elemendis eksisteerivad mitteühilduva režiimi vabadusastmed \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), s.o 3 suunda × 3 režiimi elemendi kohta, ning siirdevälja lähendatakse kujul

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Naturaalkoordinaatide \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) korral võetakse mitteühilduvad kujufunktsioonid \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) ja \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Need ei taga elementidevahelist pidevust, kuid lisavad sisemise ruumi, mis suudab esitada painderežiimidega seotud deformatsioone.

Elemendi jäikus koostatakse esmalt väliste ja sisemiste vabadusastmete plokkkujul

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Pärast sellisel kujul koostamist elimineerib staatiline kondenseerimine sisemised vabadusastmed seosega \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), mille tulemusel saadakse ainult väliseid vabadusastmeid sisaldav elemendi jäikus

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ning see antakse edasi globaalseks koostamiseks.

FrontISTR rakendab mitteühilduvat elementi spetsiaalselt 8-sõlmelisele lineaarsele heksaeedrile (C3D8IC) ning seda saab kasutada väikeste deformatsioonide, Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i formulatsioonides.

U-P segaelemendid

Kui B-bar- ja F-bar-meetod korrigeerivad siirdepõhises raamistikus mahulist komponenti, siis u-p segaelement (U-P) kasutab segavormulatsiooni [Bathe1996], milles rõhk \(\lambda\) tuuakse sisse siirdest sõltumatu tundmatu väljana. Peaaegu kokkusurumatute materjalide korral — näiteks kummilaadsed materjalid Poissoni teguriga väga lähedal 0,5-le või plastse deformatsiooni järel olevad metallid — põhjustab konstantse ruumala tingimuse kehtestamine üksnes siirdevälja abil mahulukustumist; rõhu käsitlemine sõltumatu muutujana lõdvendab seda piirangut.

Pinge eraldatakse deviatoorseks ja rõhukomponendiks kujul

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Siin on \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) deviatoorne elastsusmaatriks, mis saadakse elastsusmaatriksist mahumooduliga \(K\) võrdelise mahulise osa eemaldamisel. Rõhk \(\lambda\) ja mahuline deformatsioon \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) on kokkusurutavuse \(\alpha^{-1} = 1/K\) kaudu seotud tingimusega

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretiseerimine tundmatute siirde \(\boldsymbol{u}\) ja rõhuga \(\lambda\) annab elemendi seotud süsteemi

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kus \(\mathbf{K}_{uu}\) sisaldab deviatoorset elastset panust ja lõpliku deformatsiooni korral geomeetrilist jäikust; \(\mathbf{K}_{up}\) seob mahulise deformatsiooni ja rõhu; ning \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) on rõhu stabiliseerimisliige (\(\boldsymbol{N}_p\) on rõhu kujufunktsioon). Kuna rõhu vabadusastmed on elemendisisesed,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

tehakse sel kujul staatiline kondenseerimine ja globaalseks koostamiseks antakse edasi ainult väliseid (siirde) vabadusastmeid sisaldav efektiivne jäikus.

FrontISTR rakendab U-P elementi spetsiaalselt 8-sõlmelisele lineaarsele heksaeedrile, ühe rõhu vabadusastmega elemendi kohta (elemendis konstantne). Seda saab kasutada väikeste deformatsioonide, Total Lagrange'i ja Updated Lagrange'i formulatsioonides. Updated Lagrange'i korral uuendatakse deviatoorset pinget objektiivse pingekiiruse (Jaumann/Hughes-Wingeti tüüpi) abil ning seejärel rakendatakse staatilisest kondenseerimisest saadud väärtusega rõhk \(\lambda\,\boldsymbol{I}\).

Koorikelemendid

Õhukeseseinaliste plaat- ja koorikkonstruktsioonide jaoks kasutatakse Reissner-Mindlini plaadi-/koorikuteoorial põhinevaid koorikelemente. Paksuse vähenedes hindavad madalat järku siirdepõhised plaadi-/koorikelemendid ristnihkedeformatsiooni üle mahulukustumisega analoogse mehhanismi tõttu (nihkelukustumine), mistõttu painderežiimide jäikus muutub liigselt suureks. MITC-meetod (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] väldib seda, proovistades ainult nihkedeformatsiooni komponente uuesti elemendi etteantud sidumispunktides (tying points) ning interpoleerides need väärtused üle elemendi tagasi.

MITC koorikelemendi sõlmed paiknevad keskpinnal ning igal sõlmel on kuus vabadusastet: kolm translatsioonikomponenti ja kolm pöördekomponenti keskpinna normaalkoordinaadistiku ümber. Elemendi jäikus hinnatakse kolmemõõtmelise Gaussi integreerimisega keskpinna naturaalkoordinaatide ja paksussuuna üle ning paksus \(h\) antakse materjaliseose hindamisel elemendi omadusena.

FrontISTR pakub ühe keskpinnakihiga MITC3 (elemendi ID 731), MITC4 (741) ja MITC9 (743) elemente, samuti kihilisi koorikelemente MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 sõlme, 3 DOF-i sõlme kohta) ja MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 sõlme, 3 DOF-i sõlme kohta), mille sõlmed paiknevad paksussuunas kahes kihis. Kihilistes koorikelementides koosnevad sõlme vabadusastmed ainult kolmest translatsioonikomponendist, pöördevabadusastmetele vastavaid painderežiime esitab kahekihiline paigutus.

Talaelemendid

Lineaarseid konstruktsioonielemente, nagu kandurid ja raamid, diskretiseeritakse talaelementidega. Talaelemendid esitavad pikenemist, painet ja väändumist ainult tala teljel paiknevate sõlmede translatsioonide ja pöörete abil, kusjuures ristlõike sisemist deformatsiooni kirjeldatakse ristlõike konstantidega.

Igal tala sõlmel on kuus vabadusastet: kolm translatsioonikomponenti ja kolm pöördekomponenti. Elemendi jäikus saadakse pikenemise, kahes suunas painde ja väände suletud kujul jäikusmaatriksite moodustamisega lokaalses koordinaatsüsteemis, mille määravad elemendi telg ja ristlõikeandmetes määratud võrdlustelg, ning nende teisendamisega globaalsesse koordinaatsüsteemi. Ristlõike pindala \(A\), lokaaltelgede \(y\) ja \(z\) suhtes võetud pindala teised momendid \(I_y\) ja \(I_z\) ning väändekonstant määratakse ristlõikeandmetena; koos materjali Youngi mooduli \(E\) ja Youngi moodulist ning Poissoni tegurist tuletatud nihkemooduliga \(G\) määravad need vastavad jäikuskoefitsiendid.

Painde jaoks on saadaval kaks formulatsiooni: Bernoulli-Euleri tala, mille korral eeldatakse, et ristlõige jääb pärast deformatsiooni tala teljega risti ja nihkedeformatsioon jäetakse arvestamata, ning Timoshenko tala, mis võtab nihkedeformatsiooni arvesse. Mõlemat saab valida kahesõlmelise talaelemendi 611 jaoks, vaikevalik on Bernoulli-Euleri tala. Timoshenko tala korral, kui elemendi pikkus on \(L\), nihkedeformatsiooni panust kirjeldavad koefitsiendid

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

lisatakse vastavate paindetasandite jäikuskoefitsientidesse. Näiteks lokaalsuunalise \(y\) läbipainde jäikuskoefitsient on \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Siin on \(A_s\) nihkepindala. Kuna FrontISTR-i ristlõikeandmetes ei anta \(A_s\) eraldi, kasutatakse \(A_s = A\). See vastab nihkekorrektsioonitegurile 1. Kui seada \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), saadakse Bernoulli-Euleri tala jäikus.

Element 641 on segavabadusastmetega element, mis esitab tala kahe translatsioonivabadusastmetega sõlme ja kahe pöördevabadusastmetega sõlme abil ning on formuleeritud Bernoulli-Euleri talana.

Seotud teemad