Keri sisuni

Soojusjuhtivuse võrrand

Selles peatükis võetakse kokku FrontISTR-is käsitletava soojusjuhtivuse juhtvõrrand pidevkeha tasandil ja selle rajatingimused. Ajaline diskreetimine ja FEM-diskreetimine on jäetud diskreetimise jaotise (L3d) ja lahendusalgoritmide jaotise (L3e: solution_methods/05_transient_heat) käsitleda.

Juhtvõrrand

Soojusjuhtivuse võrrand pidevkehas on järgmine.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Siin tähistab \(\rho=\rho(x)\) massitihedust, \(c=c(x,T)\) erisoojust, \(T=T(x,t)\) temperatuuri, \(k=k(x,T)\) soojusjuhtivust, \(Q=Q(x,T,t)\) soojuseraldust, \(x\) asukohta ja \(t\) aega. \(k_x, k_y, k_z\) on anisotroopse soojusjuhtivuse vastavate suundade soojusjuhtivused.

Konkreetsete soojusomaduste, sealhulgas temperatuurisõltuvuse ja anisotroopia kohta vt Soojusomadused.

Rajatingimused

Olgu vaadeldav domeen \(S\) ja selle piir \(\Gamma\). Eeldades, et kogu piiril \(\Gamma\) on määratud kas Dirichlet' või Neumanni tüüpi rajatingimus, on rajatingimused järgmised.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Siin eeldatakse, et \(T_1\) ja \(q\) funktsionaalne kuju on teada. \(q\) on piirilt väljuv soojusvoog. Piiri soojusvoog \(q\) koosneb järgmisest kolmest komponendist.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Siin on \(q_s\) jaotatud soojusvoog, \(q_c\) konvektiivsest soojusülekandest tingitud soojusvoog ning \(q_r\) kiirguslikust soojusülekandest tingitud soojusvoog.

Siin on \(Tc=Tc(x,t)\) konvektiivse soojusülekande ümbrustemperatuur, \(hc=hc(x,t)\) konvektiivse soojusülekande tegur, \(Tr=Tr(x,t)\) kiirgusliku soojusülekande ümbrustemperatuur, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) kiirgusliku soojusülekande tegur, \(\varepsilon\) emissioonitegur, \(\sigma\) Stefan-Boltzmanni konstant ja \(F\) vaatenurgategur.

Nende tingimuste sisendfailis määramise kohta vt funktsiooniviite jaotist Rajatingimused ja koormused.

Nõrk kuju

Sidumine struktuurianalüüsiga

Seotud teemad