Translation update pending
The Estonian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.
Füüsikaliste suuruste sümbolite loend¶
Sellel lehel on loetletud FrontISTR-i teooriajuhendis kasutatavate füüsikaliste suuruste sümbolid. Tähistusreeglite (vektorite ja tensorite paks kiri, Einsteini summeerimiskokkulepe ja Voigti tähistus) kohta vt Tensoritähistus ja matemaatilised alused.
Konfiguratsioonid ja koordinaatsüsteemid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | Materiaalse punkti asukohavektor referents- ehk algkonfiguratsioonis (materiaalkoordinaadid) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Materiaalse punkti asukohavektor hetkekonfiguratsioonis (ruumikoordinaadid) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Liikumise kujutus: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Keha hõivatud piirkond referentskonfiguratsioonis |
| \(\Omega\) | Keha hõivatud piirkond hetkekonfiguratsioonis |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\) piir |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\) piir |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geomeetriline (siirde) piir: hetk-/referentskonfiguratsiooni piir, millel määratakse \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mehaaniline piir: hetk-/referentskonfiguratsiooni piir, millel määratakse \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (või \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Hetkekonfiguratsiooni pinna väljapoole suunatud ühiknormaalvektor |
| \(\boldsymbol{N}\) | Referentskonfiguratsiooni pinna väljapoole suunatud ühiknormaalvektor |
| \(t\) | Aeg |
Kokkulepe: referentskonfiguratsiooni füüsikalisi suurusi tähistatakse suurtähtede või alaindeksiga \(0\), hetkekonfiguratsiooni suurusi väiketähtedega.
Aeg ja juurdekasvud (inkrementaalanalüüs)¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\Delta t\) | Aja juurdekasv: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Füüsikaline suurus ajahetkel \(t\) (vasak ülaindeks). Näide: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) on Cauchy pinge ajahetkel \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Hetkekonfiguratsiooni piirkond ajahetkel \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Hetkekonfiguratsiooni piir ajahetkel \(t\) |
Kokkulepe: inkrementaalanalüüsis käsitletakse olekut kuni ajahetkeni \(t\) teadaolevana ning olek ajahetkel \(t + \Delta t\) lahendatakse tundmatuna. Vasak ülaindeks jäetakse ära, kui aega pole vaja selgesõnaliselt märkida. Formulatsiooni, mis kasutab referentsina referentskonfiguratsiooni \(\Omega_0\), nimetatakse Total Lagrange'i formulatsiooniks; formulatsiooni, mis kasutab referentsina juurdekasvu alguse hetkekonfiguratsiooni \(^{t}\Omega\), nimetatakse Updated Lagrange'i formulatsiooniks.
Siire, kiirus, kiirendus ja mahujõud¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | Siirdevektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Geomeetrilisel piiril \(\Gamma_B\) määratud siire |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuaalne siire (testfunktsioon): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) piiril \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Kiirusvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Kiirendusvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Mahujõud (massiühiku kohta) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Pinnajõuvektor (pinnaühiku kohta): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Mehaanilisel piiril \(\Gamma_t\) määratud pinnajõud (Neumanni andmed) |
Diferentsiaaloperaatorid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiaalne ajatuletis (sama materiaalset punkti järgiva suuruse ajatuletis): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Referentskonfiguratsiooni gradient (gradient materiaalkoordinaatide \(\boldsymbol{X}\) järgi): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Hetkekonfiguratsiooni gradient (gradient ruumikoordinaatide \(\boldsymbol{x}\) järgi): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Sümmeetriline gradientoperaator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Märkus: \(\nabla_X\) ja \(\nabla_x\) on seotud seosega \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Alaindeksita gradienti \(\nabla\) kasutatakse siis, kui konfiguratsioon on kontekstist selge või kui erinevus kaob, näiteks väikeste deformatsioonide probleemides.
Deformatsioonitensorid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformatsioonigradiendi tensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Mahusuhe: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Parempoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Vasakpoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Kiirusgradiendi tensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformatsioonikiiruse tensor (\(\boldsymbol{L}\) sümmeetriline osa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Pöörlemistensor (\(\boldsymbol{L}\) antisümmeetriline osa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Deformatsioonimõõdu tensorid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange'i deformatsioonitensor (referentskonfiguratsioon): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi deformatsioonitensor (hetkekonfiguratsioon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi deformatsioonitensori lineaarne osa (sümmeetriline siirdegradient hetkekonfiguratsioonis): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimaalne deformatsioonitensor (lineaarne lähendus): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Märkus: \(\boldsymbol{E}\) kasutatakse peamiselt Total Lagrange'i formulatsioonis, \(\boldsymbol{D}\) peamiselt Updated Lagrange'i formulatsioonis.
Pingetensorid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy pingetensor (tõeline pinge, hetkekonfiguratsioon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Esimene Piola-Kirchhoffi pingetensor (nominaalpinge): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Teine Piola-Kirchhoffi pingetensor (referentskonfiguratsioon, sümmeetriline): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Pingetensorite teisendusseosed:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Kokkulepe: Total Lagrange'i formulatsioon kasutab paari \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange'i formulatsioon paari \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Tihedus ja mass¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\rho\) | Massitihedus hetkekonfiguratsioonis |
| \(\rho_0\) | Massitihedus referentskonfiguratsioonis |
Massi jäävus: \(\rho_0 = J\rho\).
Materjalikonstandid (lineaarne elastsus)¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(E\) | Youngi moodul |
| \(\nu\) | Poissoni tegur |
| \(\lambda\) | Esimene Lamé konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Teine Lamé konstant (nihkemoodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastsustensor (neljandat järku): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponendid \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (või \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materjalimaatriks (Voigti tähistus, 3D-s \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Isotroopse lineaarse elastse materjali elastsustensori komponendid:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hüperelastsed materjalid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastne potentsiaalifunktsioon (deformatsioonienergia tiheduse funktsioon) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Parempoolse Cauchy-Greeni tensori \(\boldsymbol{C}\) peainvariandid |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\) redutseeritud invariandid (mahumuutus eraldatud) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlini mudeli materjalikonstandid |
| \(D\) | Mahuelastsusega seotud materjalikonstant |
Elastoplastsed materjalid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Deformatsioonikiiruse tensori elastne komponent |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Deformatsioonikiiruse tensori plastne komponent |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Voolavusfunktsioon |
| \(\kappa\) | Plastset olekut kirjeldav sisemuutuja (isotroopse kõvenemise muutuja) |
| \(\lambda^p\) | Plastne kordaja (plastse deformatsioonikiiruse kordaja): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastne potentsiaal (\(\Theta = F\) assotsieerunud voolureegli korral) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentpinge (nt von Misesi pinge) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentne plastne deformatsioon |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotroopse kõvenemise funktsioon |
Komplementaarsustingimus: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Lõplike elementide meetod¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Lõplike elementidega diskretiseeritud hetk- ja referentskonfiguratsiooni piirkonnad: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elemendi piirkond hetk- ja referentskonfiguratsioonis |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Elemendi piiri osa, mis kuulub mehaanilisele piirile |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturaalkoordinaadid (elemendi lokaalkoordinaadid) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Sõlmele \(\alpha\) vastav punkt naturaalkoordinaatides |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Elemendi \(e\) sõlmele \(\alpha\) vastav kujufunktsioon |
| \(n_e\) | Elementi moodustavate sõlmede arv |
| \(n_g\) | Globaalsete sõlmede koguarv |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Elemendi sõlme \(\alpha\) koordinaadid ja siire |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elemendi sõlmekoordinaatide ja siirete vektorid: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), jne |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globaalsed sõlmekoordinaatide ja siirete vektorid (järjestatud sõlmenumbri, seejärel vabadusastme järgi) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Deformatsiooni-siirde seose maatriks (B-maatriks) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Kujufunktsioonimaatriks: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) on \(d \times d\) plokk, mille diagonaalil on sõlme \(\alpha\) kujufunktsioon \(N_\alpha^e\), ja \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elemendi jäikusmaatriks |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Elemendi jäikusmaatriksi integraalialused (referents- ja hetkekonfiguratsioonis): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulatsioon), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulatsioon) | Elemendi sisejõuvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Elemendi sõlmele \(\alpha\) mõjuv sõlme välisjõud ja elemendi sõlmede välisjõuvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globaalne sisejõuvektor ja globaalne välisjõuvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analoogselt \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Globaalse sõlme \(i_g\) sõlme sisejõud ja sõlme välisjõud (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) sõlmeplokid) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globaalne puutujäikusmaatriks: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Maatriks, mis saadakse \(3\times 3\) ploki \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) paigutamisel reale \(i_g\), veergu \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newtoni-Raphsoni iteratsiooni jääkvektor: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newtoni-Raphsoni iteratsiooni parandus (saadakse iteratsioonil \(i\) lineaarvõrrandi \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) lahendamisel) |
| \(i_g\) | Globaalne sõlmenumber (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Elemendi \(e\) lokaalsele sõlmenumbrile \(\alpha\) vastav globaalne sõlmenumber: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Globaalsele sõlmenumbrile \(i_g\) vastavate paaride \((e, \alpha)\) hulk: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Kasutatakse koostamisoperatsioonides |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Globaalsete sõlmenumbrite paarile \((i_g, i_h)\) vastavate kolmikute \((e, \alpha, \beta)\) hulk; kasutatakse jäikusmaatriksi koostamisel |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Elementi moodustavate sõlmede indeksid |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Vabadusastmete indeksid (3D-s \(1, 2, 3\)) |
Täiustatud elemendid ja konstruktsioonielemendid¶
| Sümbol | Kirjeldus |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar meetodiga muudetud mahulise osaga deformatsiooni-siirde seose maatriks (mahuline komponent asendatakse elemendi keskmes hinnatud B-maatriksiga) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar meetodiga muudetud mahulise osaga deformatsioonigradient: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Elemendi keskmes \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) hinnatud deformatsioonigradiendi mahusuhe: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Ühildumatu moodiga elemendi sisemine vabadusastmevektor (täiendavate siirdemoodide kordajad, mis ei jõusta elemendi piiril pidevust) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Ühildumatute moodide kujufunktsioonid: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Koorelemendi paksus |
| \(A\) | Talaelemendi ristlõike pindala |
| \(I\) | Talaelemendi ristlõike teine pinnamoment (kohalike \(y\)- ja \(z\)-telgede suhtes tähistatakse \(I_y\) ja \(I_z\)) |
| \(G\) | Nihkemoodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Talaelemendi pikkus |
| \(A_s\) | Talaelemendi ristlõike nihkepindala (FrontISTR-is \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Timoshenko tala nihkedeformatsiooni panust väljendavad tegurid: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Seotud teemad¶
- Tensoritähistus ja matemaatilised alused — Paksu kirja, Einsteini summeerimiskokkuleppe ja Voigti tähistuse reeglid
- Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt — Konfiguratsioonide, deformatsioonigradiendi ja deformatsioonimõõdu definitsioonid
- Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt — Põhivõrrandite tuletamine
- Lineaarne elastsus — Materjalimaatriksi \(D\) komponendid