Füüsikaliste suuruste sümbolite loend
Sellel lehel on loetletud FrontISTR-i teooriajuhendis kasutatavate füüsikaliste suuruste sümbolid. Tähistusreeglite (vektorite ja tensorite paks kiri, Einsteini summeerimiskokkulepe ja Voigti tähistus) kohta vt Tensoritähistus ja matemaatilised alused.
Konfiguratsioonid ja koordinaatsüsteemid
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\boldsymbol{X}\) | Materiaalse punkti asukohavektor referents- ehk algkonfiguratsioonis (materiaalkoordinaadid) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Materiaalse punkti asukohavektor hetkekonfiguratsioonis (ruumikoordinaadid) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Liikumise kujutus: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Keha hõivatud piirkond referentskonfiguratsioonis |
| \(\Omega\) | Keha hõivatud piirkond hetkekonfiguratsioonis |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\) piir |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\) piir |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geomeetriline (siirde) piir: hetk-/referentskonfiguratsiooni piir, millel määratakse \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mehaaniline piir: hetk-/referentskonfiguratsiooni piir, millel määratakse \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (või \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Hetkekonfiguratsiooni pinna väljapoole suunatud ühiknormaalvektor |
| \(\boldsymbol{N}\) | Referentskonfiguratsiooni pinna väljapoole suunatud ühiknormaalvektor |
| \(t\) | Aeg |
Kokkulepe: referentskonfiguratsiooni füüsikalisi suurusi tähistatakse suurtähtede või alaindeksiga \(0\), hetkekonfiguratsiooni suurusi väiketähtedega.
Aeg ja juurdekasvud (inkrementaalanalüüs)
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\Delta t\) | Aja juurdekasv: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Füüsikaline suurus ajahetkel \(t\) (vasak ülaindeks). Näide: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) on Cauchy pinge ajahetkel \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Hetkekonfiguratsiooni piirkond ajahetkel \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Hetkekonfiguratsiooni piir ajahetkel \(t\) |
Kokkulepe: inkrementaalanalüüsis käsitletakse olekut kuni ajahetkeni \(t\) teadaolevana ning olek ajahetkel \(t + \Delta t\) lahendatakse tundmatuna. Vasak ülaindeks jäetakse ära, kui aega pole vaja selgesõnaliselt märkida. Formulatsiooni, mis kasutab referentsina referentskonfiguratsiooni \(\Omega_0\), nimetatakse Total Lagrange'i formulatsiooniks; formulatsiooni, mis kasutab referentsina juurdekasvu alguse hetkekonfiguratsiooni \(^{t}\Omega\), nimetatakse Updated Lagrange'i formulatsiooniks.
Siire, kiirus, kiirendus ja mahujõud
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\boldsymbol{u}\) | Siirdevektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Geomeetrilisel piiril \(\Gamma_B\) määratud siire |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuaalne siire (testfunktsioon): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) piiril \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Kiirusvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Kiirendusvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Mahujõud (massiühiku kohta) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Pinnajõuvektor (pinnaühiku kohta): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Mehaanilisel piiril \(\Gamma_t\) määratud pinnajõud (Neumanni andmed) |
Diferentsiaaloperaatorid
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiaalne ajatuletis (sama materiaalset punkti järgiva suuruse ajatuletis): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Referentskonfiguratsiooni gradient (gradient materiaalkoordinaatide \(\boldsymbol{X}\) järgi): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Hetkekonfiguratsiooni gradient (gradient ruumikoordinaatide \(\boldsymbol{x}\) järgi): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Sümmeetriline gradientoperaator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Märkus: \(\nabla_X\) ja \(\nabla_x\) on seotud seosega \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Alaindeksita gradienti \(\nabla\) kasutatakse siis, kui konfiguratsioon on kontekstist selge või kui erinevus kaob, näiteks väikeste deformatsioonide probleemides.
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformatsioonigradiendi tensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Mahusuhe: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Parempoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Vasakpoolne Cauchy-Greeni deformatsioonitensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Kiirusgradiendi tensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformatsioonikiiruse tensor (\(\boldsymbol{L}\) sümmeetriline osa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Pöörlemistensor (\(\boldsymbol{L}\) antisümmeetriline osa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange'i deformatsioonitensor (referentskonfiguratsioon): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi deformatsioonitensor (hetkekonfiguratsioon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi deformatsioonitensori lineaarne osa (sümmeetriline siirdegradient hetkekonfiguratsioonis): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimaalne deformatsioonitensor (lineaarne lähendus): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Märkus: \(\boldsymbol{E}\) kasutatakse peamiselt Total Lagrange'i formulatsioonis, \(\boldsymbol{D}\) peamiselt Updated Lagrange'i formulatsioonis.
Pingetensorid
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy pingetensor (tõeline pinge, hetkekonfiguratsioon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Esimene Piola-Kirchhoffi pingetensor (nominaalpinge): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Teine Piola-Kirchhoffi pingetensor (referentskonfiguratsioon, sümmeetriline): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Pingetensorite teisendusseosed:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Kokkulepe: Total Lagrange'i formulatsioon kasutab paari \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange'i formulatsioon paari \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Tihedus ja mass
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\rho\) | Massitihedus hetkekonfiguratsioonis |
| \(\rho_0\) | Massitihedus referentskonfiguratsioonis |
Massi jäävus: \(\rho_0 = J\rho\).
Materjalikonstandid (lineaarne elastsus)
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(E\) | Youngi moodul |
| \(\nu\) | Poissoni tegur |
| \(\lambda\) | Esimene Lamé konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Teine Lamé konstant (nihkemoodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastsustensor (neljandat järku): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponendid \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (või \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materjalimaatriks (Voigti tähistus, 3D-s \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Isotroopse lineaarse elastse materjali elastsustensori komponendid:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hüperelastsed materjalid
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastne potentsiaalifunktsioon (deformatsioonienergia tiheduse funktsioon) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Parempoolse Cauchy-Greeni tensori \(\boldsymbol{C}\) peainvariandid |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\) redutseeritud invariandid (mahumuutus eraldatud) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlini mudeli materjalikonstandid |
| \(D\) | Mahuelastsusega seotud materjalikonstant |
Elastoplastsed materjalid
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Deformatsioonikiiruse tensori elastne komponent |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Deformatsioonikiiruse tensori plastne komponent |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Voolavusfunktsioon |
| \(\kappa\) | Plastset olekut kirjeldav sisemuutuja (isotroopse kõvenemise muutuja) |
| \(\lambda^p\) | Plastne kordaja (plastse deformatsioonikiiruse kordaja): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastne potentsiaal (\(\Theta = F\) assotsieerunud voolureegli korral) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentpinge (nt von Misesi pinge) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentne plastne deformatsioon |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotroopse kõvenemise funktsioon |
Komplementaarsustingimus: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Lõplike elementide meetod
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Lõplike elementidega diskretiseeritud hetk- ja referentskonfiguratsiooni piirkonnad: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elemendi piirkond hetk- ja referentskonfiguratsioonis |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Elemendi piiri osa, mis kuulub mehaanilisele piirile |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturaalkoordinaadid (elemendi lokaalkoordinaadid) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Sõlmele \(\alpha\) vastav punkt naturaalkoordinaatides |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Elemendi \(e\) sõlmele \(\alpha\) vastav kujufunktsioon |
| \(n_e\) | Elementi moodustavate sõlmede arv |
| \(n_g\) | Globaalsete sõlmede koguarv |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Elemendi sõlme \(\alpha\) koordinaadid ja siire |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elemendi sõlmekoordinaatide ja siirete vektorid: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), jne |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globaalsed sõlmekoordinaatide ja siirete vektorid (järjestatud sõlmenumbri, seejärel vabadusastme järgi) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Deformatsiooni-siirde seose maatriks (B-maatriks) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Kujufunktsioonimaatriks: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) on \(d \times d\) plokk, mille diagonaalil on sõlme \(\alpha\) kujufunktsioon \(N_\alpha^e\), ja \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elemendi jäikusmaatriks |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Elemendi jäikusmaatriksi integraalialused (referents- ja hetkekonfiguratsioonis): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulatsioon), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulatsioon) | Elemendi sisejõuvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Elemendi sõlmele \(\alpha\) mõjuv sõlme välisjõud ja elemendi sõlmede välisjõuvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globaalne sisejõuvektor ja globaalne välisjõuvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analoogselt \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Globaalse sõlme \(i_g\) sõlme sisejõud ja sõlme välisjõud (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) sõlmeplokid) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globaalne puutujäikusmaatriks: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Maatriks, mis saadakse \(3\times 3\) ploki \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) paigutamisel reale \(i_g\), veergu \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newtoni-Raphsoni iteratsiooni jääkvektor: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newtoni-Raphsoni iteratsiooni parandus (saadakse iteratsioonil \(i\) lineaarvõrrandi \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) lahendamisel) |
| \(i_g\) | Globaalne sõlmenumber (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Elemendi \(e\) lokaalsele sõlmenumbrile \(\alpha\) vastav globaalne sõlmenumber: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Globaalsele sõlmenumbrile \(i_g\) vastavate paaride \((e, \alpha)\) hulk: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Kasutatakse koostamisoperatsioonides |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Globaalsete sõlmenumbrite paarile \((i_g, i_h)\) vastavate kolmikute \((e, \alpha, \beta)\) hulk; kasutatakse jäikusmaatriksi koostamisel |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Elementi moodustavate sõlmede indeksid |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Vabadusastmete indeksid (3D-s \(1, 2, 3\)) |
Täiustatud elemendid ja konstruktsioonielemendid
| Sümbol | Kirjeldus |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar meetodiga muudetud mahulise osaga deformatsiooni-siirde seose maatriks (mahuline komponent asendatakse elemendi keskmes hinnatud B-maatriksiga) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar meetodiga muudetud mahulise osaga deformatsioonigradient: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Elemendi keskmes \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) hinnatud deformatsioonigradiendi mahusuhe: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Ühildumatu moodiga elemendi sisemine vabadusastmevektor (täiendavate siirdemoodide kordajad, mis ei jõusta elemendi piiril pidevust) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Ühildumatute moodide kujufunktsioonid: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Koorelemendi paksus |
| \(A\) | Talaelemendi ristlõike pindala |
| \(I\) | Talaelemendi ristlõike teine pinnamoment |
| \(G\) | Nihkemoodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Seotud teemad