Joan zuzenean edukira

Analisi estatiko elastiko lineala (Sarrera)

Atal honetan deformazio infinitesimalaren teorian oinarritutako analisi estatiko elastikoaren formulazioa aurkezten da. Tentsio-deformazio erlaziorako elastikotasun lineala suposatzen da. Kapitulu honek elementu finituen bidezko egitura-analisiaren ikuspegi orokorra ulertzeko sarrera gisa balio du, eta bere kabuz irakur daitekeen kapitulu gisa antolatuta dago.

Lan birtualaren printzipioaren teoria orokorrerako (uneko konfigurazioaren forma, hasierako konfigurazioaren forma eta deformazio infinitesimalerako murrizketa), ikus Lan birtualaren printzipioa; lege konstitutibo elastiko linealaren xehetasunetarako, ikus Elastikotasun lineala; tentsore-notazioaren eta Voigt notazioaren konbentzioetarako, ikus Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak; deformazio finituaren formulazio orokorrerako, ikus Higidura, deformazioa eta deformazio unitarioa; eta problema ez-linealak ebazteko metodoetarako, ikus Zurruntasun tangentzialeko matrizea.

Oinarrizko ekuazioak

Deformazio infinitesimalaren eta elastikotasun linealaren hipotesien pean, solidoen mekanikako muga-balioen problemak oreka-ekuazioa, muga-baldintza mekanikoak eta muga-baldintza geometrikoak (funtsezko muga-baldintzak) ditu (ikus 2.1.1 irudia):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{domeinuan} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{mugan} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{mugan} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hemen, \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy tentsioa da, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) bolumen-unitateko gorputz-indarra, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) agindutako gainazal-trakzioa, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) agindutako desplazamendua, eta \(S_t, S_u\) muga mekanikoa eta muga geometrikoa dira.

Solidoen mekanikako muga-balioen problema (deformazio infinitesimaleko problema)

2.1.1 irudia Solidoen mekanikako muga-balioen problema (deformazio infinitesimaleko problema)

Gradiente simetrikoaren eragilea erabiliz, deformazio unitario-desplazamendu erlazioa hau da

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Ekuazio konstitutibo elastiko lineala hau da

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

non \(\boldsymbol{C}\) laugarren ordenako elastikotasun-tentsorea den.

Lan birtualaren printzipioa

Lan birtualaren printzipioaren forma orokorrak (uneko konfigurazioaren forma, hasierako konfigurazioaren forma eta deformazio infinitesimalerako murrizketa) Lan birtualaren printzipioa atalean biltzen dira. Deformazio infinitesimalaren eta elastikotasun linealaren hipotesien pean, forma ahula hau da

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{mugan} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Ekuazio konstitutiboa \eqref{eq:2.1.5} ordezkatuz eta Voigt notazioan \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) idatziz, diskretizazioan zuzenean erabiltzen den forma hau lortzen da:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

non \(D\) Elastikotasun lineala atalean definitutako elastikotasun-matrizea den. \eqref{eq:2.1.10} eta \eqref{eq:2.1.7} ekuazioek jarraian diskretizatzen den lan birtualaren printzipioa osatzen dute.

Diskretizazioa eta ekuazio globalaren muntaketa

Lan birtualaren printzipioa \( \eqref{eq:2.1.10} \) ekuazioan elementu finitu bakoitzerako diskretizatuz, hau lortzen da.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Elementu bakoitzean, desplazamendu-eremua elementua osatzen duten nodoen desplazamenduak erabiliz honela interpolatzen da.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Orduan, deformazio unitarioa \(\eqref{eq:2.1.4}\) ekuazioa erabiliz honela ematen da.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.12}\) eta \(\eqref{eq:2.1.13}\) ekuazioak \(\eqref{eq:2.1.11}\) ekuazioan ordezkatuz, hau lortzen da.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.14}\) ekuazioa honela laburbil daiteke.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hemen, \(\eqref{eq:2.1.16}\) eta \(\eqref{eq:2.1.17}\) ekuazioek definitutako matrizearen eta bektorearen osagaiak elementu finitu bakoitzerako kalkula eta gainjar daitezke.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.15}\) ekuazioa edozein desplazamendu birtualetarako \(\delta \boldsymbol{U}\) betetzen denez, honako ekuazioa lortzen da.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Bestalde, \(\eqref{eq:2.1.3}\) ekuazioko desplazamendu-muga-baldintza honela adierazten da.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.18}\) ekuazioa \(\eqref{eq:2.1.19}\) murriztapen-baldintzapean ebatziz, nodoko desplazamendua \(\boldsymbol{U}\) zehaztu daiteke.

Lotutako gaiak