Joan zuzenean edukira

Elastikotasun lineala

Kapitulu honek material lineal elastikoen lege konstitutiboa (Hooke-ren legea) azaltzen du. Eredua hautatzeko eta sarrera-zehaztapenei buruzko xehetasunetarako, ikus funtzioen ataleko 03_material.

Fenomenoa (erantzun elastiko lineala)

Gorputz lineal elastikoa material bat da, non kargapean deformazio unitarioa nahikoa txikia den tartean tentsioaren eta deformazio unitarioaren arteko erlazio lineala agertzen den, eta erantzuna itzulgarria eta historiatik independentea den; deskargatzean deformazio unitario guztia jatorrizko egoerara itzultzen da. Plastikotasunean edo fluentzian ez bezala, ez du egoera adierazten duen barne-aldagairik (deformazio unitario plastikoa edo deformazio unitario likatsua, adibidez), eta tentsioa uneko deformazio unitarioak soilik zehazten du modu bakarrean.

Deformazio txikien eremuan Cauchy tentsioa \(\boldsymbol{\sigma}\) eta deformazio unitario infinitesimala \(\boldsymbol{\varepsilon}\) erabiltzen dira; deformazio finituen eremuan (biraketa handiak dituzten baina deformazio unitarioa bera txikia den problemak), bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazio-tentsorea \(\boldsymbol{E}\) erabiltzen dira (St.Venant-Kirchhoff materiala).

Lege konstitutiboa

Material lineal elastiko isotropoa

Deformazio txikien eremuan, Hooke-ren lege isotropoa Lamé-ren \(\lambda, \mu\) konstanteen bidez honela adierazten da:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Osagaien forman:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

eta deformazio unitarioarekiko kontrakzio bikoitzak \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ematen du. Lamé-ren konstanteek Young-en moduluarekin \(E\) eta Poisson-en erlazioarekin \(\nu\) honako erlazioa dute:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt notazioan, deformazio unitarioaren bektorearen \(\hat{\varepsilon}\) eta tentsio-bektorearen \(\hat{\sigma}\) arteko erlazioa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) gisa idazten da, eta hiru dimentsioko material-matrizea \(D\) hau da:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Matrize-adierazpen hau erabiltzen da inplementazioan.

Material lineal elastiko ortotropoa

Ardatz nagusiaren norabidearen arabera konstante elastiko desberdinak dituzten materialetarako, bederatzi konstante independenteko eredu ortotropoa erabiltzen da: ardatz nagusietako Young-en moduluak \(E_1, E_2, E_3\), ardatz nagusien arteko Poisson-en erlazioak \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) eta ebakidura-moduluak \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) matrizearen forma espliziturako, ikus erreferentzia estandarrak.

Deformazio finituen eremua: St.Venant-Kirchhoff materiala

Biraketa handiak dituzten baina deformazio unitarioa bera txikia den problemetan, St.Venant-Kirchhoff materiala erabiltzen da bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazio-tentsorea \(\boldsymbol{E}\) lotzen dituen lege elastiko lineal gisa:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé-ren \(\lambda, \mu\) konstanteen definizioak deformazio txikiko kasuko berak dira. Hala ere, tentsio-deformazio bikotearen definizioak desberdinak direnez, lege konstitutibo hau deformazio txikietarako Hooke-ren legetik desberdina da.

Material hipoelastikoa

Lagrange eguneratuaren metodoan, material hipoelastikoa erabiltzen da, Kirchhoff-en tentsio erlatiboaren tentsorearen Jaumann tasa \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) eta deformazio-tasaren tentsorea \(\boldsymbol{D}\) lotzen dituen lege elastiko linealarekin:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Hemen ere, \(\boldsymbol{C}\)-ren definizioa Lamé-ren konstanteen bidez aurreko bera da, baina tentsio-deformazio bikotea desberdina denez, lege konstitutibo hau bestelakoa da. Denbora-integrazioaren prozeduraren bidez \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) nola eguneratzen den ikusteko (aurreranzko Euler integrazioa eta diferentzia zentralaren hurbilketa), ikus tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Bi dimentsioko analisi eta oskol-elementuetarako murrizketa

Tentsio laua (\(\sigma_{33} = 0\))

Plaka meheen eta oskolen karga adierazten duen tentsio lauan, \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) suposatzen da, eta planoz kanpoko deformazio unitarioaren osagaia \(\varepsilon_{33}\) aljebraikoki ezabatuta duen \(D\) erabiltzen da:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformazio unitario laua (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Lodiera-norabidean murriztutako egitura luze baten zeharkako sekzioa adierazten duen deformazio unitario lauan, \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) suposatzen da:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ardatz-simetrikoa

Analisi ardatz-simetrikoan, koordenatu zilindrikoetan \((r, \theta, z)\) \(\theta\) norabidean uniformeak diren problemak tratatzen dira; lau osagaiak, \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) eta \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), mantentzen dira, eta

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

lortzen da.

Oskol-elementuak (tentsio laua + zeharkako ebakidura)

Oskol-elementuetan, plano barruko tentsioa tentsio lau gisa tratatzen da, eta zeharkako ebakidura-deformazio unitarioaren osagaietarako \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), \(\kappa\) ebakidura-zuzenketa faktorea (oro har \(\kappa = 5/6\)) aplikatzen da \(\kappa\, G\) erabiltzeko. Elementu bakoitzaren formulazio xehaturako, ikus Elementu-formulazio aurreratuak. Funtzioen ataleko 03_material-eko "oskol-elementuek elastikotasun lineala bakarrik onartzen dute" zehaztapena plano barruko egoera tentsio lau gisa tratatzeko sinplifikazio honetan oinarritzen da.

Tenperaturaren mendekotasuna

Young-en modulua \(E\), Poisson-en erlazioa \(\nu\) eta dilatazio linealaren koefizientea \(\alpha\) oro har tenperaturaren \(T\) funtzio gisa zehazten dira. FrontISTR-en, propietate horien balioak \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) tenperatura-puntuen sekuentzia finitu baterako sartzen dira, eta kalkuluko \(T\) tenperaturari dagozkion propietate-balioak ondoko puntuen arteko interpolazio linealez ebaluatzen dira. Tarteaz kanpoko tenperaturetan (\(T < T_1\) edo \(T > T_n\)), hurbileneko muturreko \(T_1\) edo \(T_n\) balioa erabiltzen da estrapolaziorako (estrapolazio konstantea).

Propietate termikoen (dentsitatea, bero espezifikoa eta eroankortasun termikoa) tenperatura-mendekotasunerako, ikus Propietate termikoak. Interpolazio-arauak berdinak dira propietate horientzat.

Lotutako gaiak