Joan zuzenean edukira

Elastoplastikotasuna

Kapitulu honetan FrontISTR-ek erabiltzen duen lege konstitutibo elastoplastikoaren esparrua azaltzen da. Hautapenari eta sarrera-zehaztapenei buruzko xehetasunetarako, ikusi funtzioen ataleko 03_material.

Fenomenoa (deformazio plastikoa)

Zehazteke (hurrengo fasean idatziko da).

Lege konstitutiboaren esparrua

FrontISTR-ek elkartutako fluxu-arauari jarraitzen dion ekuazio konstitutibo elastoplastikoa erabiltzen du. Ekuazio konstitutiboak Kirchhoff tentsioaren Jaumann tasaren eta deformazio-abiaduraren tentsorearen arteko erlazioa adierazten du, eta deformazio-analisian updated Lagrange metodoa erabiltzen da.

Demagun gorputz elastoplastikoaren isurpen-irizpidea honela ematen dela.

Hasierako isurpen-irizpidea:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Ondorengo isurpen-irizpidea:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

Hemen,

  • \(F\): isurpen-funtzioa
  • \(\sigma_{y_0}\): hasierako isurpen-tentsioa
  • \(\sigma_y\): ondorengo isurpen-tentsioa
  • \(\sigma\): tentsio-tentsorea
  • \(e\): deformazio-tentsore infinitesimala
  • \(e^p\): deformazio-tentsore plastikoa
  • \(\overline{e}^p\): deformazio unitario plastiko baliokidea

Demagun isurpen-tentsioaren eta deformazio unitario plastiko baliokidearen arteko erlazioa egoera uniaxialeko tentsioaren eta deformazio unitario plastikoaren arteko erlazioarekin bat datorrela.

Egoera uniaxialeko tentsio-deformazio plastiko erlazioa

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Hemen, \(H'\) deformazio unitarioaren gogortze-koefizientea da.

Tentsio baliokidearen eta deformazio unitario plastiko baliokidearen arteko erlazioa

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Ondorengo isurpen-funtzioa, oro har, tenperaturaren eta deformazio unitario plastikoaren lanaren funtzioa da; hemen, sinpletasunagatik, deformazio unitario plastiko baliokidearen \(\overline{e}^p\) funtzioa soilik dela suposatzen da. Deformazio unitario plastikoak aurrera egin bitartean \(F = 0\) betetzen jarraitu behar denez, honako ekuazioa bete behar da.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Hemen, \(\dot{F}\) \(F\)-ren denborarekiko deribatua da; aurrerantzean, \(A\) magnitude baten denborarekiko deribatua \(\dot{A}\) bidez adieraziko da.

Hemen, \(\Theta\) potentzial plastikoa badagoela suposatzen da, eta deformazio unitario plastikoaren abiadura honela adierazten da.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Hemen, \(\dot{\lambda}\) koefiziente bat da.

Gainera, \(\Theta\) potentzial plastikoa \(F\) isurpen-funtzioaren berdina dela suposatuz, honako elkartutako fluxu-araua hartzen da.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ekuazio hau bateragarritasun-baldintzan ordezkatuz, honako adierazpena lortzen da.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Hemen, \(D\) matrize elastikoa da, eta

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Tentsio-deformazio erlazio elastoplastikoa honela idatz daiteke.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Material elastoplastikoaren \(F\) isurpen-funtzioa ezagututa, ekuazio honetatik lege konstitutiboa lor daiteke.

Isurpen-funtzioak

Jarraian FrontISTR-ek erabiltzen dituen isurpen-funtzio elastoplastikoak zerrendatzen dira.

Von Mises isurpen-funtzioa

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Hemen, \(J_2\) tentsio desbideratuaren tentsorearen bigarren inbariantea da.

Mohr-Coulomb isurpen-funtzioa

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Hemen, \(\sigma_1, \sigma_3\) tentsio nagusi maximoa eta minimoa dira, \(c\) kohesioa da eta \(\phi\) barne-marruskadura angelua da.

Drucker-Prager isurpen-funtzioa

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Hemen, \(\alpha\) eta \(\sigma_y\) material-konstanteak materialaren kohesiotik eta marruskadura-angelutik honela kalkulatzen dira.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Lotutako gaiak