Joan zuzenean edukira

Forma-funtzioak eta elementu finituen hurbilketa

Lan birtualaren printzipioaren forma ahula ordenagailuz tratatzeko, gorputzaren domeinua elementu kopuru finitu batean zatitzen da, eta elementu barruko puntu materialen koordenatuak, desplazamenduak eta proba-funtzioak nodo-balio eta forma-funtzioen bidez interpolatzen dira. Forma-funtzioen deribatu espazialak Forma-funtzioen deribatu espazialak atalean, forma ahularen diskretizazioa Barne-indarraren lan birtualaren diskretizazioa atalean eta elementu mota bakoitzeko forma-funtzioen adierazpen zehatzak Elementuen zenbakitze-sistema eta forma-funtzioen liburutegia ataletik aurrera azaltzen dira.

Domeinuaren zatiketa eta integralen elementu-baturak

Erreferentzia-konfigurazioko \(\Omega_0\) domeinua eta uneko konfigurazioko \(\Omega\) domeinua, hurrenez hurren, \(\Omega^e_0\) eta \(\Omega^e\) elementuen batura gisa hurbiltzen dira:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) elementu-zenbakia da, eta elementu-mugak ondoko elementuen artean partekatzen dira). Horren ondorioz, lan birtualaren printzipioko bolumen- eta azalera-integralak elementu bakoitzeko integralen batura gisa deskonposa daitezke:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Uneko konfiguraziorako ere berdin, \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) eta \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) ordezkatuz). Hemendik aurrera, forma ahularen ebaluazioa elementu bakoitzeko integralak eraikitzera murrizten da.

Nodo-balioen eta forma-funtzioen bidezko interpolazioa (elementu isoparametrikoak)

\(\Omega^e_0\) elementu bakoitzari \(n_e\) nodo esleitzen zaizkio. \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) elementu-nodoen erreferentzia-konfigurazioko koordenatuak eta nodo-desplazamenduak \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) izanik, haiek lerrokatuz osatutako elementu-nodoen bektoreak \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) eta \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) bektore globaletatik \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) nodo kopuru osoa da) \(e\) elementua osatzen duten nodoen osagaiak soilik aterata lortzen dira.

Elementu barruko koordenatu lokalak diren koordenatu naturalak \(\boldsymbol{r}\) parametro gisa dituzten forma-funtzioen \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) bidez, elementu barruko koordenatu materialak, desplazamenduak eta proba-funtzioak forma-funtzio berarekin interpolatzen dira (elementu isoparametrikoa eta Galerkin metodoa):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Forma-funtzioak honako bi propietateak betetzeko eraikitzen dira, eta elementuaren geometria hautatzen da koordenatu naturaletatik koordenatu materialetarako \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) mapaketa elementu barruan bat-batekoa izan dadin:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) \(\alpha\) nodoari dagokion koordenatu naturaletako puntua da, eta \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker-en delta). Lehen ekuazioak gorputz zurrunaren translazioa erreproduzitzea bermatzen du; bigarrenak, interpolatutako balioa nodoan nodo-balioarekin bat etortzea. Elementu mota bakoitzeko \(n_e\) eta \(N_\alpha^e\) adierazpen zehatzak Elementuen zenbakitze-sistema eta forma-funtzioen liburutegia ataletik aurrera ematen dira. Notazioa gehiegi ez konplikatzeko, elementu motarekiko mendekotasuna elementu bakoitzeko \(e\) goi-indizearen bidez adierazten da.

Interpolazio-arau horiekin, forma ahularen integrakizuna elementu-nodoen \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) balioen eta \(N_\alpha^e\) forma-funtzioen bidez soilik adieraz daiteke. Aldiz, deformazio unitarioa interpolatutako desplazamendutik eta deformazio unitario-desplazamendu erlaziotik eratorritako magnitudea da, eta tentsioa deformazio unitario horretatik eta materialaren lege konstitutibotik eratorritakoa; ez dira nodo-balioetatik zuzenean interpolatzen. Elementu barruko integrazio-puntuetan ebaluatzen dira (zenbakizko integrazioa).

Nodo-bektore globalaren ordenatze-araua

Nodoei esleitutako magnitude fisikoak nodo-bektore globalean nodo-zenbakia → askatasun-gradua ordenan gorantz antolatzen dira. \(\alpha\) nodoko \(i\) askatasun-graduaren osagaia \(u_{i\alpha}\) bada, hiru dimentsiotan (\(i=1,2,3\)) eta bi dimentsiotan (\(i=1,2\)), hurrenez hurren,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

lortzen da. \(\boldsymbol{X}^n\) koordenatuek eta \(\delta\boldsymbol{u}^n\) proba-funtzioak ere ordena bera jarraitzen dute. Hemendik aurrera, matrize- eta bektore-formako eraldaketak hiru dimentsioko kasua ordezkari gisa hartuta idatziko dira.

Lotutako gaiak