Joan zuzenean edukira

Barne-indarraren lan birtualaren diskretizazioa

Analisi inkrementalaren esparrua atalean \(t + \Delta t\) unean emandako lan birtualaren ekuazioa bi motatan banatzen da erreferentzia-konfigurazioaren arabera: Updated Lagrange eta Total Lagrange metodoak. Kapitulu honetan, Forma-funtzioak eta elementu finituen hurbilketa eta Forma-funtzioen deribatu espazialak ataletan sartutako elementu finituen hurbilketa erabiliz, bi formulazioetako barne-indarraren lan birtuala espazioan diskretizatzen da eta elementuaren barne-indar bektoreak \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) eta \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) lortzen dira.

\(e\) elementua osatzen duten \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) nodoen desplazamenduak \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) gisa eta elementu-nodoen desplazamendu-bektorea \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) gisa antolatzen dira; \(\delta \boldsymbol{u}^e\) desplazamendu birtuala ordena berean definitzen da. Elementu barruko desplazamendua forma-funtzioen bidez \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) gisa interpolatzen da.

Updated Lagrange metodoaren barne-indarraren lan birtuala

Updated Lagrange metodoak \(t\) uneko \({}^{t}\Omega\) konfigurazioa erreferentziatzat hartzen du, eta Cauchy tentsioaren \(\boldsymbol{\sigma}\) eta Almansi deformazio-tentsorearen zati linealaren \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) bidez barne-indarraren lan birtuala

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

gisa idazten du. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-ren osagai bakoitza forma-funtzioaren uneko konfigurazioko \(\boldsymbol{x}\) koordenatuekiko \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) deribatuaren eta nodo-desplazamendu birtualaren \(\delta u^e_{i\alpha}\) konbinazio lineal gisa adieraz daiteke, eta Voigt notazioan

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

gisa laburbiltzen da. \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) nodo-blokea \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) Voigt arauaren arabera antolatutako \(6 \times 3\) matrizea da, eta \(\boldsymbol{B}_L\) UL metodoaren deformazio unitario-desplazamendu matrizea da. Barne-indarraren lan birtualean ordezkatu eta \(\delta \boldsymbol{u}^e\) bereiziz,

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

lortzen da. \(\boldsymbol{q}^e\)-ren \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) nodo-blokea \(\Omega^e\) elementuaren \(\alpha\) nodoan eragiten duen barne-indarra da.

Total Lagrange metodoaren barne-indarraren lan birtuala

Total Lagrange metodoak \(\Omega_0\) erreferentzia-konfigurazioa hartzen du, eta bigarren Piola-Kirchhoff tentsioaren \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazio-tentsorearen \(\boldsymbol{E}\) bidez

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

gisa idazten da. \(\delta \boldsymbol{E}\) desplazamendu birtualarekiko termino linealean eta uneko desplazamendu-gradientearen \(\partial u_k/\partial X_j\) biderkadura duen termino ez-linealean banatzen da:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Termino lineala, UL metodoko antolaketa-arau bera \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ri aplikatuz osatutako \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) nodo-blokearen bidez

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

gisa idatz daiteke (erreferentzia-konfigurazioaren aldeagatik osagaiak \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-tik \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ra aldatzen dira soilik; ikurra UL metodoarekin partekatzen da). Termino ez-lineala uneko desplazamendu-gradientearen \(\partial u_k/\partial X_j\) eta \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) biderkadura Voigt arauaren arabera antolatutako \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) nodo-blokearen bidez

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

gisa idatz daiteke. Hortaz, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) eta \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL metodoaren deformazio unitario-desplazamendu matrizea da. Barne-indarraren lan birtualean ordezkatuz,

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

lortzen da. \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) nodo-blokea \(\Omega^e_0\) elementuaren \(\alpha\) nodoan eragiten duen barne-indarra da.

UL/TL korrespondentzia eta kalkulu-fluxua

Updated Lagrange eta Total Lagrange metodoetako elementuaren barne-indar bektoreek honako korrespondentzia dute.

Elementua Updated Lagrange metodoa Total Lagrange metodoa
Erreferentzia-konfigurazioa Uneko konfigurazioa \({}^{t}\Omega^e\) Erreferentzia-konfigurazioa \(\Omega^e_0\)
Tentsio-tentsorea Cauchy tentsioa \(\boldsymbol{\sigma}\) 2. PK tentsioa \(\boldsymbol{S}\)
Deformazio unitarioaren aldakuntza \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B matrizea \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elementuaren barne-indarra \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Biak prozedura berarekin trata daitezke: "\(\boldsymbol{B}_L\) forma-funtzioen deribatu espazialetatik eraiki", "TL metodoan \(\boldsymbol{B}_{NL}\) uneko desplazamendu-gradientetik eraiki eta gehitu", "tentsioa (\(\boldsymbol{\sigma}\) edo \(\boldsymbol{S}\)) lege konstitutiboaren arabera eguneratu", eta "integrazio-puntuetan \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) edo \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) elementu-domeinuan zenbakiz integratu (Zenbakizko integrazioa)". Erreferentzia-konfigurazioa aldatzea (nodo-koordenatuak eta \(\boldsymbol{B}\) matrizea eraikitzea) eta tentsio-tentsorea ordezkatzea salbu, gainerakoa komuna denez, FrontISTR-en bi metodoetako barne-indarraren kalkulua azpirrutina komun batean inplementatuta dago. \(\boldsymbol{q}^e\) eta \(\boldsymbol{Q}^e\) elementuaren barne-indar bektoreetatik barne-indar bektore globalerako muntaketa Kanpo-indarraren lan birtuala eta ekuazio globalaren muntaketa atalean lantzen da.

Lotutako gaiak