Joan zuzenean edukira

Kanpo-indarren lan birtuala eta ekuazio globalen muntaketa

Barne-indarren lan birtualaren diskretizazioa atalean, forma ahularen ezkerreko aldea elementuaren barne-indarren bektorean \(\boldsymbol{q}^e\) (UL metodoa) edo \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL metodoa) bildu zen. Kapitulu honetan, kanpo-indarren lan birtualetik elementu-nodoko kanpo-indarren bektorea \(\boldsymbol{F}^e\) sartzen da; ondoren, elementu-nodoko magnitudeak nodo-zenbaki globalaren arabera berrantolatu eta metatzen dituen muntaketa eragiketa erabiliz, FrontISTR-ren egitura-analisi ez-linealean ebatzi beharreko nodo-desplazamenduei buruzko ekuazio ez-linealen sistemara iristen da.

Kanpo-indarren lan birtualaren elementu-deskonposizioa

Lan birtualaren printzipioaren eskuineko aldea elementuz elementu deskonposa daiteke, bolumen-indarrak (gorputz-indarrak) eta muga mekanikoan agindutako gainazaleko trakzioak osatzen duten kanpo-indarren lan birtual gisa. Forma-funtzioak eta elementu finituen hurbilketa atalean sartutako desplazamendu-interpolazioa matrize-forman idazteko, \(\alpha\) nodoaren forma-funtzioa \(N_\alpha^e\) \(d \times d\) blokearen diagonalean kokatzen da, eta blokea \(\boldsymbol{N}_\alpha\) izendatzen da; bloke horiek horizontalki elkartuta \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) osatzen da, eta \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) hartzen da. Erreferentzia-konfigurazioan idatzitako kanpo-indarren lan birtualean ordezkatuz,

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

lortzen da. Hemen, elementu-nodoko kanpo-indarren bektorea \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) moduan antolatu da. Horrela, kanpo-indarren lan birtuala barne-indarren aldekoaren forma berean bil daiteke, hau da, «elementu-nodoko bektorea × proba-funtzioa» forman (uneko konfigurazioan idatzita ere forma bera lortzen da \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) eta \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) ordezkapenekin).

Elementu-nodoko magnitudeen muntaketa

Elementu bakoitzean lortutako nodo-magnitudeak \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) nodo-zenbaki globalaren arabera ordenatutako bektore globaletan metatzen dira. \(\Omega^e\) elementuko \(\alpha\) nodo lokalari dagokion nodo-zenbaki globala honela adierazten da:

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Orduan, elementu-nodoko magnitudea nodo-magnitude globalaren dagokion osagaiarekin bat dator (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\), adibidez). Oro har, \(i_g\) nodoa hainbat elementuk partekatzen dute; beraz, nodo-zenbaki globala \(i_g\) duten \((e, \alpha)\) bikoteen multzoa honela definitzen da:

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Multzo hori erabiliz \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) eran berridazten bada batura, \(n_g\) nodo guztietako nodo-barne-indarra eta barne-indarren bektore globala lortzen dira:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) magnitudea \(i_g\) nodoan jarduten duten elementu-nodoko barne-indarren erresultantea da, eta \(\boldsymbol{0}\) da kanpo-indarrik ez badago eta oreka betetzen bada. UL metodoan ere prozedura berarekin \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) lortzen dira; haien balio numerikoek \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) betetzen dutenez, aurrerantzean \(\boldsymbol{Q}\) notazioa erabiliko da, bereizketa behar den kasuetan izan ezik. Kanpo-indarren bektore globala \(\boldsymbol{F}\) ere metaketa berarekin lortzen da.

Inplementazioan, \(\mathcal{E}(i_g)\) multzoa ez da esplizituki eraikitzen; elementuaren begiztaren barruan dagokion osagaiari ekarpenak gehitzen zaizkio.

Hasieratu barne-indarren bektore globala Q 0 balioarekin: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementu kopurua)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Kanpo-indarren bektore globala \(\boldsymbol{F}\) ere prozedura berarekin eraikitzen da. Elementu-nodoko magnitudeak nodo-zenbaki globalaren arabera zenbakitutako bektore eta matrizeetan gehitu eta gordetzeko eragiketa honi muntaketa (assemble) deritzo. Bi nodo-zenbakiri lotutako bigarren ordenako tentsoreentzat (zurruntasun-matrizeentzat, adibidez), muntaketa mota bera lortzen da \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{eta}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) multzoa erabiliz (eraikuntza zehatza ikusteko, kontsultatu Zurruntasun tangentzialeko matrizea).

Ebatzi beharreko ekuazio ez-linealak

Barne- eta kanpo-indarren muntaketaren emaitzak Lan birtualaren printzipioan ordezkatuz, eta muga-baldintza geometrikoak betetzen dituen edozein proba-funtziotarako \(\delta\boldsymbol{u}^n\) balio duela erabiliz,

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

lortzen da. Analisi inkrementalaren (Analisi inkrementalaren esparrua) testuinguruan, \(_{n+1}\) denbora-azpiindizea berrezarri eta nodo-bektore globala adierazten duen \(^n\) goi-indizea kentzen bada, ebatzi beharreko ekuazioa hau da:

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

\(t_{n+1}\) unean nodo-desplazamendua \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) aurkitzeko muga-balioen problema diskretizatua, beraz, desplazamenduari buruzko ekuazio ez-lineal hori muga-baldintza geometrikoekin batera ebaztera murrizten da. Ekuazioaren linearizazioa eta zurruntasun tangentzialeko matrizearen eraikuntza Zurruntasun tangentzialeko matrizea atalean azaltzen dira, eta ebazpen iteratiboa Newton-Raphson metodoa atalean.

Lotutako gaiak