Joan zuzenean edukira

3D elementu solidoen forma-funtzioak

Forma-funtzioak eta elementu finituen hurbilketa atalean sartutako \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) forma-funtzioei dagokienez, kapitulu honetan FrontISTR-ek jarraituen analisian erabiltzen dituen 3D elementu solidoen koordenatu naturalen sistemak eta forma zehatzak laburbiltzen dira. Sei mota hartzen dira: lehen/bigarren mailako tetraedroak (341, 342), lehen/bigarren mailako prisma triangeluarrak (351, 352) eta lehen/bigarren mailako hexaedroak (361, 362). HEC-MW sare-formatuko nodo-ordena eta aurpegi-zenbakiak ikusteko, kontsultatu funtzio-erreferentziako Elementuen liburutegia.

Forma-funtzio horietatik eta jacobiarraren determinantetik elementu-integralak eraikitzeko prozedura Zenbakizko integrazioa atalari jarraitzen dio. 361 elementuaren B-bar, F-bar eta formulazio bateraezinak, eta habe- eta oskol-elementuen forma-funtzioak Errendimendu handiko elementu-formulazioak atalean lantzen dira.

Koordenatu naturalen sistema eta barneko nodo-ordena

Forma-funtzioak elementu bakoitzaren \(\boldsymbol{r}\) koordenatu naturaletan definitzen dira. 3D elementu solidoetan, elementuaren geometriaren arabera, honako hiru koordenatu naturalen sistemak erabiltzen dira.

  • Hexaedroak (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedroak (341, 342): \((L_1, L_2, L_3, L_4)\) bolumen-koordenatuak, \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Aldagai independente gisa \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) hartzen da, eta \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) bidez definitzen da.
  • Prisma triangeluarrak (351, 352): oinarriko triangeluaren \((\xi, \eta)\) bolumen-koordenatuak (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) eta ardatz-noranzkoko \(\zeta \in [-1, 1]\) koordenatua konbinatzen dira \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) osatzeko. \(a = 1 - \xi - \eta\) magnitude osagarria oinarriko hirugarren bolumen-koordenatu gisa erabiltzen da.

Lehen mailako elementuetan, elementu-nodoen zenbakiak bat datoz HEC-MW sarrera-formatuan eta barne-formatuan. Bigarren mailako elementuetan, ertz erdiko nodoen ordenaren konbentzioa desberdina da bi formatuetan: FrontISTR-ek HEC-MW formatua onartzen du sarreran (izkina-nodoak inguratu ondoren, ertz 1-2, 2-3, ... ordenan antolatzen dira erdiko nodoak), baina elementuen liburutegiko forma-funtzioak beste nodo-ordena baten arabera inplementatuta daude.

Bi formatuen arteko aldea sarearen irakurketaren ondoren berehala deitzen den hecmw2fstr_mesh_conv funtzioak elementu bakoitzeko berrantolaketa eginez konpontzen du. 3D elementu solidoen artean, honako bi motak bihurtzen dira.

Elementu mota Bihurketa-taula Edukia
342 (bigarren mailako tetraedroa) Table342 10 nodoak \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) ordenan berrantolatzen ditu
352 (bigarren mailako prisma triangeluarra) Table352 15 nodoak \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) ordenan berrantolatzen ditu

Berrantolaketa elementu-konektibitatea gordetzen duen array-ean zuzenean egiten denez, ondorengo elementu-liburutegiko dei guztiek FrontISTR-en barneko nodo-ordena erabiltzen dute. 362 bigarren mailako hexaedro-elementuan HEC-MW sarrera-formatuko eta FrontISTR barne-formatuko ertz erdiko nodoen ordena bat dator, beraz ez dago bihurketa-taularik. Emaitzak irtetean fstr2hecmw_mesh_conv alderantzizko bihurketa deitzen da, HEC-MW formatuko nodo-ordena berreskuratu eta gero idazteko; hortaz, erabiltzaileak sarreran zein irteeran HEC-MW formatua soilik hartu behar du kontuan. Jarraian ematen diren forma-funtzioen nodo-zenbakiak bihurketaren ondorengo FrontISTR barne-formatukoak dira.

Lehen mailako elementuen forma-funtzioak

Lehen mailako tetraedro-elementuaren (341) forma-funtzioak bolumen-koordenatuak berak dira:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Lehen mailako prisma triangeluarreko elementuaren (351) forma-funtzioak oinarriko triangeluaren forma-funtzio linealen (\(a, \xi, \eta\)) eta ardatz-noranzkoko forma-funtzio linealen (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) biderkadurak dira:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Lehen mailako hexaedro-elementuaren (361) forma-funtzioak hiru ardatzetako forma-funtzio linealen tentsore-biderkadura dira:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Hemen \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) \(\alpha\) nodoaren koordenatu naturalak dira (osagai bakoitza \(\pm 1\) da).

Bigarren mailako elementuen forma-funtzioak

Bigarren mailako tetraedro-elementuaren (342) forma-funtzioak lau izkina-nodotan eta sei ertz erdiko nodotan banatzen dira:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

5〜10 erdiko nodoak, hurrenez hurren, 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 eta 3-4 ertzen erdiguneei dagozkie.

Bigarren mailako prisma triangeluarreko elementuaren (352) forma-funtzioak sei izkina-nodo, aurpegi triangeluarretako sei ertz erdiko nodo eta ardatz-noranzkoko ertzetako hiru erdiko nodok osatzen dituzte:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

7〜9 erdiko nodoak beheko triangeluaren (\(\zeta = -1\)) ertzen erdiguneei, 10〜12 goiko triangeluaren (\(\zeta = +1\)) ertzen erdiguneei, eta 13〜15 ardatz-noranzkoko ertzen erdiguneei dagozkie.

Bigarren mailako hexaedro-elementua (362) Serendipity familiako 20 nodoko elementua da. Har ditzagun \(\alpha\) nodoaren koordenatu naturalak \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Izkina-nodoetarako (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), osagai bakoitza \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Ertz erdiko nodoetarako (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), hiru koordenatu naturaletatik bat \(0\) eta beste biak \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) duten nodoak (\(\xi\) ardatzaren noranzkoko ertzak) honela dira:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Era berean, \(\eta\) eta \(\zeta\) ardatzen noranzkoko ertz erdiko nodoak dagokien koordenatu naturala termino karratu baten bidez ezabatuta ematen dira.

Lotutako gaiak