Joan zuzenean edukira

Translation update pending

The Basque translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Errendimendu handiko elementu-formulazioak

3D elementu solidoen formulazioa atalean erakutsitako desplazamenduan oinarritutako formulazio estandarrak, ia konprimaezinak diren materialei edo flexioak nagusitzen diren horma meheko egiturei aplikatzean, blokeo deritzon zurruntasun artifizial gehiegizkoa erakusten du (bolumen-blokeoa eta ebakidura-blokeoa). Hori saihesteko, FrontISTR-ek B matrizearen edo deformazio-gradientearen bolumen-zatia soilik ordezkatzen duten B-bar eta F-bar metodoak, barne-askatasun-graduak sartzen dituzten elementu bateraezinak, presioa desplazamendutik independentea den eremu ezezagun gisa hartzen duten u-p elementu mistoak, eta plaka- eta habe-egituretarako MITC oskol-elementuak eta habe-elementuak eskaintzen ditu.

Kapitulu honetan errendimendu handiko elementu eta egitura-elementu horien formulazioak elementuka antolatzen dira.

B-bar metodoa

8 nodoko hexaedro-elementu lineala material ia konprimaezin batean erabiltzean, elementu bakarreko deformazio unitarioa bolumen konstantearen murriztapenarekin kontraesanean sar daiteke, eta bolumen-blokeo deritzon zurruntasun gehiegizkoa agertzen da. B-bar metodoak B matrizean bolumen-dilatazioari laguntzen dioten osagaiak elementuaren erdian ebaluatutako balioekin ordezkatzen ditu, gehiegizko murriztapenak arintzeko [Hughes1980].

Har dezagun elementuaren erdian \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) forma-funtzioen deribatu espazialetatik kalkulatutako B matrizea \(\bar{\boldsymbol{B}}\) dela, eta \(\boldsymbol{r}\) integrazio-puntuan kalkulatutako B matrize arrunta \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). \(\alpha\) nodoko \(i\) askatasun-graduaren desplazamendu-deformazio unitarioaren erlazioan, bolumen-deformazio unitarioaren osagaiei \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

gehitzen zaie, eta ebakidura-osagaietarako \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) \(\boldsymbol{B}\) arrunta erabiltzen da. Horrela lortutako B-bar matrizearekin elementu-zurruntasuna eta barne-indar bektorea muntatzen dira.

FrontISTR-ek formulazio hau 8 nodoko hexaedro linealerako soilik eskaintzen du (elementu ID 361, elementuen zenbakitze-sistema), eta deformazio txikiei, Total Lagrange eta Updated Lagrange metodoei aplika dakieke.

F-bar metodoa

Deformazio finituetan bolumen-aldaketak ez-linealki eragiten du deformazio-gradientearen \(\boldsymbol{F}\) bidez; F-bar metodoak [deSouzaNeto1996] B-bar metodoaren pareko bolumen-blokeoaren zuzenketa deformazio-gradientearen mailan egiten du.

Har dezagun elementuaren erdian \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ebaluatutako deformazio-gradientearen bolumen-erlazioa \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) dela, eta integrazio-puntuko bolumen-erlazioa \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\); integrazio-puntuko deformazio-gradientea

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

bidez ordezkatzen da. Horren ondorioz \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) da, eta bolumen-erlazioa elementu osoan elementuaren erdiko balioarekin berdintzen da. Tentsioa ebaluatzeko eta deformazio unitario-desplazamendu matrizea eraikitzeko ordezkatutako \(\bar{\boldsymbol{F}}\) erabiltzen da; elementu-zurruntasunean, ordezkapen horrek sortutako termino gehigarriak barne hartzen dituen matrize ukitzailea muntatzen da.

FrontISTR-en F-bar metodoa 8 nodoko hexaedro linealerako soilik inplementatuta dago, eta deformazio txikiei nahiz Total Lagrange / Updated Lagrange geometria ez-linealei aplika dakieke.

Elementu bateraezinak

8 nodoko hexaedro-elementu linealak ez ditu flexio-modurako behar diren deformazio unitarioaren askatasun-graduak, eta flexioak nagusitzen diren problemetan flexio-blokeoa agertzen du. Elementu bateraezinak [Taylor1976] akats hori konpontzeko desplazamendu-modu gehigarriak sartzen ditu elementuaren barruan.

Elementu-nodoen \(\boldsymbol{u}^e\) desplazamenduez gain, elementuaren barruan soilik dauden modu bateraezinen \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) askatasun-graduak sartzen dira, elementu bakoitzeko 3 noranzko × 3 modu, eta desplazamendu-eremua

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

bidez hurbiltzen da. \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) koordenatu naturaletarako, forma-funtzio bateraezinak \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) eta \(M_3 = 1 - \zeta^2\) gisa hartzen dira. Ez dute jarraitutasuna bermatzen elementu-mugan, baina flexio-moduaren deformazio unitarioa erreproduzitzeko espazio bat gehitzen dute elementu barruan.

Elementu-zurruntasuna kanpo- eta barne-askatasun-graduen bloke-deskonposizio gisa

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

muntatu ondoren, kondentsazio estatikoa egiten da barne-askatasun-graduak \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) bidez ezabatuz, eta kanpo-askatasun-graduetarako soilik elementu-zurruntasuna

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

muntaketa globalera pasatzen da.

FrontISTR-en elementu bateraezina 8 nodoko hexaedro linealerako (C3D8IC) soilik inplementatuta dago, eta deformazio txikiei, Total Lagrange eta Updated Lagrange metodoei aplika dakieke.

U-P elementu mistoa

B-bar eta F-bar metodoek bolumen-osagaia desplazamenduan oinarritutako esparruaren barruan zuzentzen duten bitartean, u-p elementu mistoa (U-P) presioa \(\lambda\) desplazamendutik independentea den eremu ezezagun gisa sartzen duen formulazio mistoa da [Bathe1996]. Material ia konprimaezinetan (Poisson-en erlazioa 0.5etik oso gertu duten kautxu-antzeko materialak edo deformazio plastikoaren ondorengo metalak), desplazamendu-eremuarekin soilik bolumen konstantearen murriztapena betetzen saiatzeak bolumen-blokeoa sortzen du; presioa aldagai independente gisa hartzeak murriztapen hori arintzen du.

Tentsioa osagai desbideratuan eta presioan banatzen da,

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

gisa. Hemen \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) matrize elastikotik \(K\) bolumen-moduluarekiko proportzionala den bolumen-zatia kendutako matrize elastiko desbideratua da. \(\lambda\) presioa eta \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) bolumen-deformazio unitarioa \(\alpha^{-1} = 1/K\) konprimagarritasunaren bidezko murriztapen-baldintzarekin

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

lotzen dira. \(\boldsymbol{u}\) desplazamendua eta \(\lambda\) presioa ezezagun gisa dituen diskretizaziotik, elementuaren ekuazio akoplatuak

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

lortzen dira. Hemen \(\mathbf{K}_{uu}\) osagai elastiko desbideratua eta (deformazio finituetan) zurruntasun geometrikoa dira, \(\mathbf{K}_{up}\) bolumen-deformazio unitarioa eta presioa akoplatzen dituen matrizea da, eta \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) presioaren egonkortze-terminoa da (\(\boldsymbol{N}_p\) presioaren forma-funtzioa da). Presioaren askatasun-graduak elementuaren barruan itxita daudenez,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

moduan estatikoki kondentsatzen da, eta kanpoko (desplazamendu) askatasun-graduen zurruntasun eraginkorra soilik pasatzen da muntaketa globalera.

FrontISTR-en U-P elementua 8 nodoko hexaedro linealerako soilik inplementatuta dago, presioaren askatasun-gradu bakarra elementu bakoitzeko (konstantea elementu barruan). Deformazio txikiei, Total Lagrange eta Updated Lagrange metodoei aplika dakieke; Updated Lagrange-n tentsio desbideratua tentsio-tasa objektiboarekin (Jaumann/Hughes-Winget motakoa) eguneratu eta gero, \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) presioa kondentsazio estatikoaren bidez lortutako baliotik ezartzen da.

Oskol-elementuak

Horma meheko plaka-oskol egituretarako Reissner-Mindlin plaka-oskol teorian oinarritutako oskol-elementuak erabiltzen dira. Maila baxuko desplazamenduan oinarritutako plaka-oskol-elementuetan, lodiera txikitu ahala zeharkako ebakidura-deformazio unitarioa gehiegi estimatzen da bolumen-blokeoaren antzeko mekanismo baten bidez (ebakidura-blokeoa), eta flexio-moduarekiko zurruntasuna dibergenteki handitzen da. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) metodoak [Dvorkin1984] [Bathe1986] arazo hori saihesten du ebakidura-deformazio unitarioaren osagaiak soilik elementu barruko aurrez zehaztutako lotura-puntuetan berriro laginduz eta lagin-balioak elementu barruan berrinterpolatuz.

MITC oskol-elementuaren nodoak gainazal kurbatuaren erdiko gainazaleko nodoak dira; nodo bakoitzak 6 askatasun-gradu ditu: 3 translazio-osagai eta erdiko gainazalaren normalaren inguruko 3 biraketa-osagai. Elementu-zurruntasuna erdiko gainazaleko koordenatu naturalen eta lodiera-noranzkoaren hiru dimentsioko Gauss integrazioarekin ebaluatzen da, eta \(h\) plaka-lodiera elementu-atributu gisa ematen da lege konstitutiboa kalkulatzean.

FrontISTR-ek erdiko gainazaleko geruza bakarrean tratatzen diren MITC3 (elementu ID 731), MITC4 (741) eta MITC9 (743), eta lodieraren zehar bi nodo-geruza dituzten MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nodo, 3 askatasun-gradu nodoko) eta MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nodo, 3 askatasun-gradu nodoko) geruzadun oskol-elementuak eskaintzen ditu. Geruzadun oskol-elementuetan nodoen askatasun-graduak 3 translazio-osagai baino ez dira, eta biraketa-askatasun-graduen pareko flexio-moduak bi geruzen antolaketaren bidez adierazten dira.

Habe-elementuak

Habeak eta egitura-sareak bezalako lerro-egiturak habe-elementuekin diskretizatzen dira. Habe-elementuek luzapena, flexioa eta tortsioa adierazten dituzte habe-ardatzeko nodoen translazioak eta biraketak soilik erabiliz; sekzio barruko deformazioa sekzio-konstanteen bidez adierazten da.

Habe-nodo bakoitzak sei askatasun-gradu ditu: hiru translazio-osagai eta hiru biraketa-osagai. Elementu-zurruntasuna elementu-ardatzak eta sekzio-datuetan emandako erreferentzia-ardatzak definitutako koordenatu-sistema lokalean luzapenerako, bi norabidetako flexiorako eta tortsiorako forma itxiko zurruntasun-matrizeak eratuz eta gero koordenatu-sistema globalera eraldatuz lortzen da. Sekzioaren azalera \(A\), lokaleko \(y\) eta \(z\) ardatzekiko sekzioaren bigarren inertzia-momentuak \(I_y\) eta \(I_z\), eta tortsio-konstantea sekzio-datu gisa ematen dira; materialaren Young modulua \(E\) eta Young modulutik eta Poisson erlaziotik kalkulatutako ebakidura-modulua \(G\) erabilita, dagokien zurruntasun-koefizienteak osatzen dituzte.

Flexiorako bi formulazio daude: Bernoulli-Euler habea, zeinak sekzioa deformazioaren ondoren ere habe-ardatzarekiko perpendikular mantentzen dela suposatzen duen eta ebakidura-deformazioa baztertzen duen, eta Timoshenko habea, ebakidura-deformazioa kontuan hartzen duena. Biak hauta daitezke 611 bi nodoko habe-elementuan; lehenetsia Bernoulli-Euler habea da. Timoshenko habearentzat, elementu-luzera \(L\) izanik, ebakidura-deformazioaren ekarpena adierazten duten koefizienteak

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

dagokien flexio-planoetako zurruntasun-koefizienteetan sartzen dira. Adibidez, lokaleko \(y\) norabideko geziari dagokion zurruntasun-koefizientea \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) da. Hemen \(A_s\) ebakidura-azalera da. FrontISTR-en sekzio-datuek \(A_s\) bereizita ematen ez dutenez, \(A_s = A\) erabiltzen da. Horrek ebakidura-zuzenketa koefizientea 1 hartzea esan nahi du. \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) ezarriz Bernoulli-Euler habearen zurruntasuna lortzen da.

641 elementua askatasun-gradu mistoko elementua da: translazio-askatasun-graduak dituzten bi nodo eta biraketa-askatasun-graduak dituzten beste bi nodo erabiliz habe bat adierazten du, eta Bernoulli-Euler habe gisa formulatuta dago.

Lotutako gaiak