Joan zuzenean edukira

Lan birtualaren printzipioa

Tentsioak eta kontserbazio-legeak atalean eratorritako oreka-ekuazioa eta muga-baldintzak abiapuntu hartuta, jarraituaren mekanikako muga-balioen problemaren forma ahula den lan birtualaren printzipioa eratortzen da. Elementu finituen metodoaren diskretizazioa forma ahul honetatik abiatzen da. Kapitulu honetan uneko konfigurazioko forma (Cauchy tentsioaren eta Almansi deformazio-tentsorearen zati linealaren bidez) eta erreferentzia-konfigurazioko forma (bigarren Piola-Kirchhoff tentsioaren eta Green-Lagrange deformazio-tentsorearen bidez) aurkezten dira; haien baliokidetasuna erakutsi ondoren, deformazio txikiko kasura nola murrizten den egiaztatzen da.

Oreka-ekuazioa eta muga-baldintzak

Har dezagun jarraituari eragiten dion gorputz-indarra (masa-unitateko) \(\boldsymbol{g}\) dela, eta uneko konfigurazioan \(\Omega\) domeinua hartzen duen gorputza. \(\Gamma\) muga bi zatitan banatzen da: desplazamendua \(\bar{\boldsymbol{u}}\) baliora aginduta duen \(\Gamma_B\) muga geometrikoa eta gainazal-indarra \(\bar{\boldsymbol{t}}\) baliora aginduta duen \(\Gamma_t\) muga mekanikoa; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) eta \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Problema estatikoetan, Tentsioak eta kontserbazio-legeak atalean emandako momentu linealaren kontserbazio-ekuaziotik inertzia-terminoa kenduta,

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{domeinuan} \ \Omega \]

hartzen da oreka-ekuazio gisa. Muga-baldintzak hauek dira:

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{mugan} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{mugan} \ \Gamma_B \]

Hemendik aurrera, lan birtualaren printzipioa oreka-ekuazioaren eta \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) muga-baldintza mekanikoaren forma ahul gisa eratortzen da. \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) muga-baldintza geometrikoa proba-funtzioaren hautaketaren bidez txertatzen da.

Uneko konfigurazioko forma ahula

Forma ahulean, desplazamendu ezezagunaren espazio onargarria eta proba-funtzioen espazioa, hurrenez hurren,

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{mugan} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{mugan} \ \Gamma_B \} \]

gisa definitzen dira. Hemen \(d\) espazio-dimentsioa da, \(H^1(\Omega)\) lehen mailako deribatu ahuletaraino karratu-integragarria den Sobolev espazioa da, eta \(\delta\) aldakuntza-sinboloa da. Uneko konfigurazioaren adierazpenean \(\Omega\) deformatutako konfigurazioa da; benetako zenbakizko ebazpenean erreferentzia-konfiguraziora edo ezaguna den bitarteko konfigurazio batera atzera eramaten da.

Oreka-ekuazioa \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) pisuarekin biderkatu eta Gaussen dibergentzia-teorema eta muga-baldintza mekanikoa aplikatuta, uneko konfigurazioko lan birtualaren printzipioa honela geratzen da.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Hemen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformazio-tentsorearen zati lineala da, eta

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

definitzen da. Haren aldakuntza \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) da. Hau da, \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) bilatzen da, eta edozein \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-rentzat lan birtualaren ekuazioa betetzea eskatzen da. Ezkerreko aldea barne-indarren lan birtuala da; eskuinekoa, agindutako gainazal-indarren eta gorputz-indarren kanpo-indarren lan birtuala.

Ekuazio hau deformatutako (uneko konfigurazioko) domeinuan idatzita dagoenez, benetako ebazpenean hasierako \(\Omega_0\) konfigurazioa (erreferentzia-konfigurazioa) edo ezaguna den bitarteko konfigurazioa erreferentziatzat hautatzen da berriro, forma inkrementalean berridatzi eta gero ebazteko. Erreferentzia-konfigurazioaren hautaketa zehatzari (Total Lagrange / Updated Lagrange) eta banaketa inkrementalari buruz, ikusi Analisi inkrementalaren esparrua.

Hasierako konfigurazioko forma ahula

Har dezagun erreferentzia-konfigurazioan \(\Omega_0\) domeinua hartzen duen gorputza, eta bana dezagun haren \(\Gamma_0\) muga \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) gisa. Uneko konfigurazioko adierazpena erreferentzia-konfiguraziora atzera eramatean, tentsio-deformazio bikote konjugatua bigarren Piola-Kirchhoff tentsioa \(\boldsymbol{S}\) eta Green-Lagrange deformazio-tentsorea \(\boldsymbol{E}\) dira. Orduan, hasierako konfigurazioko lan birtualaren printzipioa

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

gisa idatz daiteke. Hemen \(\rho_0\) erreferentzia-konfigurazioko masa-dentsitatea da, eta masa-kontserbazioaren \(\rho_0 = J\rho\) erlazioaren bidez uneko konfigurazioko bolumen-indarraren adierazpenaren baliokidea da.

Uneko eta hasierako konfigurazioetako adierazpenen baliokidetasuna

Bi adierazpenetako barne-indarren lan birtuala bat dator deformazio-gradientearen \(\boldsymbol{F}\) eta bolumen-erlazioaren \(J = \det \boldsymbol{F}\) bidezko transformazioaren ondorioz. Hau da,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

da. Kanpo-indarren terminoak ere baliokideak dira masa-kontserbazioaren eta gainazal-indarren transformazioaren bidez. Beraz, uneko konfigurazioko eta hasierako konfigurazioko lan birtualaren ekuazioek printzipio bera konfigurazio desberdinetan adierazten dute. Erreferentzia-konfigurazioa erabiltzen duen ebazpena Total Lagrange metodoari dagokio; uneko konfigurazioa (aurreko konfigurazio konbergitua) erabiltzen duena Updated Lagrange metodoari.

Deformazio txikiko kasura murriztea

Deformazio txikien \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) eta \(J \approx 1\) hipotesiekin, uneko eta erreferentzia-konfigurazioen arteko bereizketa desagertzen da; bigarren PK tentsioa Cauchy tentsioarekin bat dator (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), eta Green-Lagrange deformazio-tentsorea nahiz Almansi deformazio-tentsorearen zati lineala deformazio unitario infinitesimalera \(\boldsymbol{\varepsilon}\) murrizten dira.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Orduan, lan birtualaren printzipioa Cauchy tentsioaren \(\boldsymbol{\sigma}\) eta deformazio unitario infinitesimalaren \(\boldsymbol{\varepsilon}\) bidezko forma ahul honetara murrizten da:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{mugan} \ \Gamma_B \]

Hau deformazio txikiko analisi estatiko elastiko linealaren diskretizazioan zuzenean erabiltzen den forma ahula da (Analisi estatiko elastiko lineala (sarrera eta eranskina) atalean forma hau abiapuntu hartuta elementu-zurruntasunaren \(\boldsymbol{K}^e\) eraikuntzatik ekuazio globalaren \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) muntaketaraino erakusten da).

Lege konstitutibo elastiko lineala \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ordezkatuz eta Voigt notazioan \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) idatziz, forma ahula

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

formakoa da.

Lotutako gaiak