Magnitude fisikoen sinboloen zerrenda
Orri honetan FrontISTR teoria-eskuliburuan erabiltzen diren magnitude fisikoen sinboloak zerrendatzen dira. Notazio-konbentzioetarako (bektore eta tentsoreen letra lodia, Einsteinen batuketa-konbentzioa eta Voigt notazioa), ikus Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak.
Konfigurazioak eta koordenatu-sistemak
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\boldsymbol{X}\) | Material-puntu baten posizio-bektorea erreferentziazko (hasierako) konfigurazioan (koordenatu materialak) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Material-puntu baten posizio-bektorea uneko konfigurazioan (koordenatu espazialak) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Higidura-mapa: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Gorputzak erreferentzia-konfigurazioan hartzen duen domeinua |
| \(\Omega\) | Gorputzak uneko konfigurazioan hartzen duen domeinua |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\)-ren muga |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\)-ren muga |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Muga geometrikoa (desplazamendua): uneko/erreferentziazko konfigurazioko muga, non \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ezartzen den |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Muga mekanikoa: uneko/erreferentziazko konfigurazioko muga, non \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (edo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) ezartzen den |
| \(\boldsymbol{n}\) | Uneko konfigurazioko gainazal baten kanporanzko normal-bektore unitarioa |
| \(\boldsymbol{N}\) | Erreferentzia-konfigurazioko gainazal baten kanporanzko normal-bektore unitarioa |
| \(t\) | Denbora |
Konbentzioa: Erreferentzia-konfigurazioko magnitude fisikoak letra larriz edo \(0\) azpiindizez adierazten dira; uneko konfiguraziokoak, berriz, letra xehez.
Denbora eta gehikuntzak (analisi inkrementala)
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\Delta t\) | Denbora-gehikuntza: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | \(t\) uneko magnitude fisikoa (ezkerreko goi-indizea). Adibidez: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) \(t\) uneko Cauchy tentsioa da |
| \(^{t}\Omega\) | Uneko konfigurazioaren domeinua \(t\) unean |
| \(^{t}\Gamma\) | Uneko konfigurazioaren muga \(t\) unean |
Konbentzioa: Analisi inkrementalean, \(t\) unera arteko egoera ezaguntzat hartzen da, eta \(t + \Delta t\) uneko egoera ezezagun gisa ebazten da. Ezkerreko goi-indizea ez da idazten denbora esplizituki adierazi beharrik ez dagoenean. Erreferentzia gisa \(\Omega_0\) erreferentzia-konfigurazioa erabiltzen duen formulazioari Total Lagrange formulazioa deritzo; gehikuntzaren hasieran \(^{t}\Omega\) uneko konfigurazioa erabiltzen duenari, berriz, Updated Lagrange formulazioa.
Desplazamendua, abiadura, azelerazioa eta bolumen-indarra
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\boldsymbol{u}\) | Desplazamendu-bektorea: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | \(\Gamma_B\) muga geometrikoan ezarritako desplazamendua |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Desplazamendu birtuala (proba-funtzioa): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) \(\Gamma_B\)-n |
| \(\boldsymbol{v}\) | Abiadura-bektorea: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Azelerazio-bektorea: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Bolumen-indarra (masa unitateko) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Trakzio-bektorea (azalera unitateko): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | \(\Gamma_t\) muga mekanikoan ezarritako trakzioa (Neumann datuak) |
Eragile diferentzialak
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Denborarekiko deribatu materiala (material-puntu berari jarraitzen dion denbora-deribatua): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Erreferentzia-konfigurazioko gradientea (\(\boldsymbol{X}\) koordenatu materialekiko gradientea): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Uneko konfigurazioko gradientea (\(\boldsymbol{x}\) koordenatu espazialekiko gradientea): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Gradiente simetrikoaren eragilea: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Oharra: \(\nabla_X\) eta \(\nabla_x\) honela erlazionatzen dira: \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Azpiindizerik gabeko \(\nabla\) gradientea erabiltzen da konfigurazioa testuingurutik argia denean edo bereizketa desagertzen denean, deformazio txikiko problemetan bezala.
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformazio-gradientearen tentsorea: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Bolumen-erlazioa: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Eskuineko Cauchy-Green deformazio-tentsorea: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Ezkerreko Cauchy-Green deformazio-tentsorea: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Abiadura-gradientearen tentsorea: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformazio-abiaduraren tentsorea (\(\boldsymbol{L}\)-ren zati simetrikoa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spin-tentsorea (\(\boldsymbol{L}\)-ren zati antisimetrikoa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange deformazio-tentsorea (erreferentzia-konfigurazioa): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi deformazio-tentsorea (uneko konfigurazioa): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi deformazio-tentsorearen zati lineala (uneko konfigurazioko desplazamendu-gradiente simetrikoa): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Deformazio-tentsore infinitesimala (hurbilketa lineala): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Oharra: \(\boldsymbol{E}\) batez ere Total Lagrange formulazioan erabiltzen da; \(\boldsymbol{D}\), berriz, batez ere Updated Lagrange formulazioan.
Tentsio-tentsoreak
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy tentsio-tentsorea (benetako tentsioa, uneko konfigurazioa): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Lehen Piola-Kirchhoff tentsio-tentsorea (tentsio nominala): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Bigarren Piola-Kirchhoff tentsio-tentsorea (erreferentzia-konfigurazioa, simetrikoa): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Tentsio-tentsoreen arteko bihurketa-erlazioak:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konbentzioa: Total Lagrange formulazioak \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) bikotea erabiltzen du; Updated Lagrange formulazioak, berriz, \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) bikotea.
Dentsitatea eta masa
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\rho\) | Masa-dentsitatea uneko konfigurazioan |
| \(\rho_0\) | Masa-dentsitatea erreferentzia-konfigurazioan |
Masaren kontserbazioa: \(\rho_0 = J\rho\).
Material-konstanteak (elastikotasun lineala)
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(E\) | Young-en modulua |
| \(\nu\) | Poisson-en erlazioa |
| \(\lambda\) | Lehen Lamé konstantea: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Bigarren Lamé konstantea (ebakidura-modulua): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastikotasun-tentsorea (laugarren ordenakoa): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), \(C_{ijkl}\) osagaiak |
| \(D\) (edo \(\hat{\tilde{C}}\)) | Material-matrizea (Voigt notazioa, \(6\times6\) 3Dn): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Elastikotasun-tentsorearen osagaiak material elastiko lineal isotropo baterako:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Material hiperelastikoak
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Potentzial elastikoaren funtzioa (deformazio unitarioaren energia-dentsitatearen funtzioa) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | \(\boldsymbol{C}\) eskuineko Cauchy-Green tentsorearen inbariante nagusiak |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\)-ren inbariante murriztuak (bolumen-aldaketa bereizita) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlin ereduaren material-konstanteak |
| \(D\) | Bolumen-elastikotasunarekin lotutako material-konstantea |
Material elastoplastikoak
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Deformazio-abiaduraren tentsorearen osagai elastikoa |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Deformazio-abiaduraren tentsorearen osagai plastikoa |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Isurpen-funtzioa |
| \(\kappa\) | Egoera plastikoa adierazten duen barne-aldagaia (gogortze isotropoko aldagaia) |
| \(\lambda^p\) | Biderkatzaile plastikoa (deformazio unitario plastikoaren abiadura-biderkatzailea): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potentzial plastikoa (\(\Theta = F\) fluxu-arau asoziatu baterako) |
| \(\bar{\sigma}\) | Tentsio baliokidea (adib., von Mises tentsioa) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformazio unitario plastiko baliokidea |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Gogortze isotropoko funtzioa |
Osagarritasun-baldintza: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Elementu finituen metodoa
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Elementu finituen diskretizazioz hurbildutako uneko eta erreferentziazko konfigurazioen domeinuak: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementuaren domeinua uneko eta erreferentziazko konfigurazioetan |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Muga mekanikoari dagokion elementu-mugaren zatia |
| \(\boldsymbol{r}\) | Koordenatu naturalak (elementuaren koordenatu lokalak) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | \(\alpha\) nodoari dagokion koordenatu naturaletako puntua |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | \(e\) elementuko \(\alpha\) nodoari dagokion forma-funtzioa |
| \(n_e\) | Elementu bat osatzen duten nodoen kopurua |
| \(n_g\) | Nodo globalen guztizko kopurua |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Elementuko \(\alpha\) nodoaren koordenatuak eta desplazamendua |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elementu-nodoen koordenatu- eta desplazamendu-bektoreak: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etab. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Nodo globalen koordenatu- eta desplazamendu-bektoreak (nodo-zenbakiaren arabera eta ondoren askatasun-graduaren arabera ordenatuta) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Deformazio unitario-desplazamendu erlazioaren matrizea (B matrizea) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Forma-funtzioen matrizea: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) \(d \times d\) blokea da, diagonalean \(\alpha\) nodoko \(N_\alpha^e\) forma-funtzioa duena; eta \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementuaren zurruntasun-matrizea |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Elementuaren zurruntasun-matrizearen integrakizunak (erreferentziazko eta uneko konfigurazioetan adierazita): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formulazioa), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formulazioa) | Elementuaren barne-indar bektorea |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Elementuko \(\alpha\) nodoan eragiten duen kanpo-indar nodala eta elementuaren kanpo-indar nodalen bektorea: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Barne-indarren bektore globala eta kanpo-indarren bektore globala: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); era berean \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | \(i_g\) nodo globaleko barne-indar nodala eta kanpo-indar nodala (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)-ren nodo-blokeak) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Zurruntasun tangentzialeko matrize globala: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(i_g\) errenkadan eta \(i_h\) zutabean \(3\times 3\)-ko \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) blokea kokatuz osatutako matrizea |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton-Raphson iterazioko hondar-bektorea: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton-Raphson iterazioko zuzenketa (\(i\) iterazioan \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ekuazio lineala ebatzita lortua) |
| \(i_g\) | Nodo globalaren zenbakia (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | \(e\) elementuko \(\alpha\) nodo lokalari dagokion nodo globalaren zenbakia: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | \(i_g\) nodo globalaren zenbakiari dagozkion \((e, \alpha)\) bikoteen multzoa: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Muntaketa-eragiketetan erabiltzen da |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | \((i_g, i_h)\) nodo globalen zenbaki-pareari dagozkion \((e, \alpha, \beta)\) hirukoteen multzoa; zurruntasun-matrizea muntatzeko erabiltzen da |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Elementu bat osatzen duten nodoen indizeak |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Askatasun-graduen indizeak (\(1, 2, 3\) 3Dn) |
Errendimendu handiko elementuak eta egitura-elementuak
| Sinboloa | Deskribapena |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar metodoaren bidez bolumen-zatia aldatuta duen deformazio unitario-desplazamendu erlazioaren matrizea (bolumen-osagaia elementuaren zentroan ebaluatutako B matrizeaz ordezten da) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar metodoaren bidez bolumen-zatia aldatuta duen deformazio-gradientea: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Elementuaren zentroan \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ebaluatutako deformazio-gradientearen bolumen-erlazioa: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Modu bateraezineko elementu baten barne-askatasun-graduen bektorea (elementuaren mugan jarraitutasuna inposatzen ez duten desplazamendu-modu gehigarrien koefizienteak) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Modu bateraezinen forma-funtzioak: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Maskor-elementuaren lodiera |
| \(A\) | Habe-elementu baten zeharkako sekzioaren azalera |
| \(I\) | Habe-elementu baten zeharkako sekzioaren bigarren azalera-momentua |
| \(G\) | Ebakidura-modulua: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Lotutako gaiak