Joan zuzenean edukira

Newton-Raphson metodoa

Linealizazioa eta errepikapen-errekurrentzia

Kanpo-indarren lan birtuala eta ekuazio globalaren muntaketa atalean \(t_{n+1}\) uneko nodo-desplazamendurako, \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), ekuazio ez-lineal bat lortzen da, eta Newton-Raphson metodoaren bidez ebazten da. \(t_n\) unera arteko nodo-desplazamendua, \(\boldsymbol{u}_n\), ezaguna dela suposatzen da, eta zehaztu beharreko aldagai ezezagun gisa desplazamendu-gehikuntza \(\Delta\boldsymbol{u}\) hartzen da:

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

Hemendik aurrera, kanpo-indarren bektoreak nodo-desplazamenduarekiko duen mendekotasuna baztertzen da, eta \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) hartuta,

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ebazten da.

Uneko \(\Delta\boldsymbol{u}\) soluzioan, zurruntasun tangentziala honela definitzen da:

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

Hori erabiliz, ekuazio ez-linealaren linealizazioak honakoa ematen du:

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

Izan bedi \(i\)-garren iterazioko zuzenketa \(d\boldsymbol{u}_i\), eta iterazioaren hasierako hondar-bektorea:

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

Orduan, errepikapen-errekurrentzia hau da:

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

Beraz, \(\boldsymbol{R}_i\) hondarra orekatik geratzen den indar-desorekaren adierazlea da.

Zurruntasun tangentzialeko matrizearen eraikuntza

\(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) zurruntasun tangentziala Barne-indarren lan birtualaren diskretizazioa atalean lortutako elementuaren barne-indarren bektorea nodo-desplazamenduarekiko partzialki deribatuz, lortutako elementu-mailako integrakizunak elementu bakoitzaren domeinuan integratuz eta muntatuz eraikitzen da. Elementu-mailako integrakizuna \(\boldsymbol{K}^e_X\) bidez (erreferentzia-konfigurazioko notazioa, TL formulazioa) edo \(\boldsymbol{K}^e_x\) bidez (uneko konfigurazioko notazioa, UL formulazioa) adierazita, elementuaren zurruntasun tangentziala hau da:

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

Jarraian TL/UL integrakizunen azken formak ematen dira. Bi kasuetan materialaren zurruntasun-terminoaren (hasierako desplazamenduaren terminoa) eta zurruntasun geometrikoaren terminoaren (hasierako tentsioaren terminoa) baturan deskonposatzen dira.

Total Lagrange formulazioa

Total Lagrange formulazioan, 2. Piola-Kirchhoff tentsioaren tasaren \(\dot{\boldsymbol{S}}\) eta Green-Lagrange deformazio-tentsorearen tasaren \(\dot{\boldsymbol{E}}\) arteko erlazio lineala suposatzen da, hau da, \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\). Hau material elastiko linealen (St. Venant-Kirchhoff materialak) eta material hiperelastikoen lege konstitutiboei dagokie, eta FrontISTR-k Total Lagrange formulazioa erabiltzen du material horietarako. Elementuaren zurruntasun tangentzialaren integrakizuna tentsore-forman honela idazten da:

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

Eskuineko aldeko 1. terminoa materialaren zurruntasun-terminoa da (hasierako desplazamenduaren terminoa), eta 2.a zurruntasun geometrikoaren terminoa (hasierako tentsioaren terminoa).

FrontISTR-ren inplementazioan, integrakizun hori matrize-forman ebaluatzen da Voigt notazioa erabiliz:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

Matrize bakoitza honakoa da. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) Barne-indarren lan birtualaren diskretizazioa atalean sartutako B matrizeak dira, eta \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) tentsore konstitutiboaren Voigt adierazpena da, hau da, \(6\times 6\) material-zurruntasuneko matrizea (Tentsore-notazioa eta oinarri matematikoak). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) zurruntasun geometrikoaren terminoa matrize-biderkadura gisa adierazteko erabiltzen diren berrantolaketa-matrizeak dira. Lehenik, \(3\times 3\) 2. ordenako \(\boldsymbol{A}\) tentsorearentzat, \([\,\cdot\,]\) notazioa definitzen da, 9 osagaiko bektore batean berrantolatzen duena:

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

Definizio horrekin, \(\boldsymbol{F}_9\)-k deformazio-gradientearen aldakuntza \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) forman adierazten du, eta \(9\times d n_e\) matrizea da. \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) elementu-nodoarentzat, dagokion \(9\times d\) blokea hau da:

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ da } 3\times 3 \text{ identitate-matrizea}) \]

eta \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) da, blokeak horizontalki elementu-nodoen ordenan antolatuta. \(\boldsymbol{S}_9\) hautatzen da matrize horrekin batera zurruntasun geometrikoaren terminoa \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) gisa adieraz dadin; ondoko \(9\times 9\) matrizea da:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Hau da lortutako matrizea.

Updated Lagrange formulazioa

Updated Lagrange formulazioan, Kirchhoff tentsio-tentsore erlatiboaren Jaumann tasaren \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) eta deformazio-tasaren \(\boldsymbol{D}\) arteko erlazio lineala suposatzen da, hau da, \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\). Hau material elastiko linealetan, elastoplastikoetan eta fluentzia duten materialetan ohikoa den lege konstitutibo hipoelastikoaren forma da, eta FrontISTR-k Updated Lagrange formulazioa erabiltzen du material horietarako. Uneko konfigurazioan adierazitako elementuaren zurruntasun tangentzialaren integrakizuna tentsore-forman honela idazten da:

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

non \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell tasa den, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformazio-tentsorearen zati lineala, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) uneko konfigurazioarekiko desplazamendu-gradientea eta \(\boldsymbol{L}\) abiadura-gradientearen tentsorea. Eskuineko aldeko 1. terminoa materialaren zurruntasun-terminoa da eta 2.a zurruntasun geometrikoaren terminoa.

FrontISTR-ren inplementazioan, integrakizun hori matrize-forman ebaluatzen da Voigt notazioa erabiliz:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

Hemen, \(\boldsymbol{b}\) uneko konfigurazioan eraikitako B matrizea da (Barne-indarren lan birtualaren diskretizazioa). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) TL formulaziorako definitutako \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) matrizeetatik lortzen dira, 2. PK tentsioa \(\boldsymbol{S}\) Cauchy tentsioarekin \(\boldsymbol{\sigma}\) eta erreferentzia-konfigurazioko gradientea \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) uneko konfigurazioko gradientearekin \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ordezkatuz.

\(\boldsymbol{G}\) Cauchy tentsioaren mendeko zuzenketa-matrizea da, eta beharrezkoa da \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) lege konstitutibo hipoelastikoa Truesdell tasan oinarritutako lege konstitutibo gisa zurruntasun tangentzialaren esparruarekin bateragarria izan dadin. \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) 4. ordenako tentsorearen osagaiak \(6\times 6\) Voigt formatuan antolatuz lortzen da:

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

Hau da lortutako matrizea.

Zurruntasun-matrize globalaren muntaketa

\(\boldsymbol{K}\) zurruntasun tangentzial globala lortzeko, elementu bakoitzaren \(\boldsymbol{K}^e\) zurruntasuna nodo-bikote bakoitzerako \(d\times d\) \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) bloketan banatzen da, eta Elementu-nodoko magnitude fisikoen muntaketa atalean sartutako 2. ordenako tentsoreen muntaketa-multzoa \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) erabiltzen da:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

Lortutako balioak \(i_g\) errenkada eta \(i_h\) zutabea dituen matrize gisa antolatzen dira. Inplementazioan, \(\mathcal{E}^2\) multzoa ez da esplizituki eraikitzen; horren ordez, dagozkion blokeak zuzenean gehitzen dira elementu-begiztaren barruan. Matrizea karratua da, nodo bakoitzeko askatasun-gradu kopurua \(\times\) nodo kopuru osoa \(n_g\) dimentsioarekin; baina elementuen bidez konektatutako nodoen artekoak ez diren osagaiak \(0\) direnez, matrize sakabanatu gisa gordetzen da.

TL eta UL formulazioetako elementu-zurruntasuneko matrizeek forma bera dute, erreferentzia-konfigurazioaren aldaketa (nodo-koordenatuak eta B matrizea eraikitzeko erabilitako iturria) eta \(\boldsymbol{G}\) matrizearen presentzia edo absentzia izan ezik. Horregatik, FrontISTR-k bi formulazioak azpirrutina komun batean inplementatzen ditu.

Iterazio-algoritmoa

Aurrekoa laburbilduz, iterazioaren hasieran \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ezartzen da eta hasierako hondarra \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) kalkulatzen da. Ondoren, \(i\)-garren iterazioan, prozedura hau egiten da.

  1. Uneko \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) desplazamenduan, kalkulatu \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) zurruntasun tangentziala Zurruntasun tangentzialeko matrizearen eraikuntza atalean deskribatutako prozedurarekin.
  2. Muga-baldintza geometrikoak ezartzeko, aldatu desplazamendu-murrizketak dituzten askatasun-graduetako zurruntasun tangentzialeko matrizea eta hondar-bektorea, eta lortu \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (Muga-baldintza geometrikoen tratamendua).
  3. Ebatzi \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ekuazio lineala, \(d\boldsymbol{u}_i\) zuzenketa lortzeko. Prozedura honek sarritan iterazio-kalkuluaren kostu konputazionalaren zatirik handiena hartzen du.
  4. Eguneratu desplazamendu-gehikuntza \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) gisa, eta horren arabera kalkulatu \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) barne-indarren bektorea eta \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) hondarra.
  5. Egiaztatu konbergentzia eta amaitu iterazioa konbergentzia lortzen bada. Muga-baldintza geometrikoen menpeko askatasun-graduetan, erreakzio murriztuei dagozkien osagaiak \(\boldsymbol{R}_i\) hondarrean agertzen dira; horregatik, konbergentzia-adierazlea osagai horiek baztertu ondoren \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\)-tik eraikitzen da. Konbergentzia-adierazle eta atalase zehatzak Konbergentzia-irizpideak atalean deskribatzen dira. Konbergentzia lortzen ez bada eta iterazio-mugara iristen bada, iterazioa huts egindakotzat hartzen da.

Iterazioak konbergitzen duenean, konbergitutako \(\Delta\boldsymbol{u}\) \(\boldsymbol{u}_n\)-ri gehitzen zaio \(t_{n+1}\) uneko desplazamendu metatua lortzeko, \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), eta hurrengo denbora-urratsera igarotzen da.

Lotutako gaiak