Joan zuzenean edukira

Analisi dinamikoko metodoak

Atal honetan denboraren integrazio zuzena erabiltzen duten problema dinamikoetarako analisi-metodoak azaltzen dira. Jarraian metodo inplizituaren eta esplizituaren formulazioak aurkezten dira.

Higidura-ekuazioaren diskretizazioa (esparru komuna)

Zehazteke (hurrengo fasean osatuko da).

Metodo inplizitua (Newmark-β metodoa)

Problema dinamikoetarako, denboraren integrazio zuzeneko metodo bat aplikatzen da behean erakusten den higidura-ekuazioa ebazteko.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Hemen, \(M\) masa-matrizea da, \(C\) moteltze-matrizea, \(Q\) barne-indarren bektorea eta \(F\) kanpo-indarren bektorea. Masa-matrizea deformazioarekiko konstante mantentzen dela suposatzen da, baita analisi ez-linealean ere.

\(\Delta t\) denbora-gehikuntzan zeharreko desplazamenduaren, abiaduraren eta azelerazioaren aldaketak Newmark-\(\beta\) metodoaren bidez hurbiltzen dira, \(\eqref{eq:2.5.2}\) eta \(\eqref{eq:2.5.3}\) ekuazioetan erakusten den bezala.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Hemen, \(\gamma\) eta \(\beta\) Newmark-\(\beta\) metodoaren parametroak dira.

Jakina denez, \(\gamma\) eta \(\beta\) parametroen ondoko balioak, hurrenez hurren, azelerazio linealaren metodoari eta trapezioaren arauari dagozkie.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (azelerazio linealaren metodoa)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapezioaren araua)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) eta \(\eqref{eq:2.5.3}\) ekuazioak \(\eqref{eq:2.5.1}\) ekuazioan ordezkatuz, ondoko ekuazioa lortzen da.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Bereziki, problema lineal batean, \(K_L\) zurruntasun linealeko matrizea da eta \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Erlazio hori aurreko ekuazioan ordezkatuz, ondoko ekuazioa lortzen da.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Muga-baldintza geometriko gisa azelerazioa agintzen den tokietan, desplazamendua \(\eqref{eq:2.5.2}\) ekuaziotik honela lortzen da.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Era berean, abiadura agintzen den tokietan, desplazamendua \(\eqref{eq:2.5.6}\) ekuaziotik honela lortzen da.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Hemen, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) unean nodoaren desplazamendua da, eta \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) unean nodoaren abiadura da; \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) unean nodoaren azelerazioa da, \(i\) nodoaren askatasun-graduaren zenbakia da eta \(s\) nodoaren zenbakia. Masa- eta moteltze-terminoak honela tratatzen dira.

Masa-terminoaren tratamendua

Printzipioz, masa-matrizea masa kontzentratuaren matrize gisa tratatzen da.

Moteltze-terminoaren tratamendua

Moteltze-terminoa \(\eqref{eq:2.5.8}\) ekuazioak adierazten duen Rayleigh moteltze gisa tratatzen da.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Hemen, \(R_m\) eta \(R_k\) Rayleigh moteltzearen parametroak dira.

!DYNAMIC txartelean zehaztutako \(R_m\) eta \(R_k\) balioak modu uniformean aplikatzen zaizkio eredu osoari. Material bakoitzerako \(R_m\) eta \(R_k\) balio desberdinak esleitzeko, material horren !MATERIAL blokearen barruan zehaztu !DAMPING txartela. !DAMPING zehaztuta duen material bati dagozkion elementuetarako, elementuaren masa-matrizetik \(M_i\) eta zurruntasun tangentzialeko matrizeetik \(K_i\) abiatuta, elementuaren moteltze-matrizea \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) gisa kalkulatzen da eta moteltze-matrize globalean muntatzen da. Funtzio hau metodo inpliziturako bakarrik da eraginkorra.

Metodo esplizitua (diferentzia zentralen metodoa)

Metodo esplizitua behean erakusten den t uneko higidura-ekuazioan oinarritzen da.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) eta \(t - \Delta t\) uneetako desplazamenduak \(t\) unearen inguruko Taylor-en garapenen bidez adierazi eta \(\Delta t\)-ren 2. ordenara arteko terminoak mantenduz, ondoko ekuazioak lortzen dira.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) eta \(\eqref{eq:2.5.4}\) ekuazioen diferentzia eta batura hartuz, ondoko ekuazioak lortzen dira.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) eta \(\eqref{eq:2.5.13}\) ekuazioak \(\eqref{eq:2.5.9}\) ekuazioan ordezkatuz, ondoko ekuazioa lortzen da.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Bereziki, problema lineal batean, \(Q(t) = K_L U(t)\), eta aurreko ekuazioa honela geratzen da:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Masa-matrizea \(M\) masa kontzentratuaren matrize gisa hartzen bada eta moteltze-matrizea \(C = R_m M\) moteltze proportzionaleko matrize gisa, \(\eqref{eq:2.5.15}\) ekuazioak ez du aldibereko ekuazio-sistema bat ebaztea eskatzen.

Beraz, \(\eqref{eq:2.5.15}\) ekuaziotik, \(U(t+\Delta t)\) ondoko ekuazioaren bidez lor daiteke.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Lotutako gaiak