Joan zuzenean edukira

Translation update pending

The Basque translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Analisi dinamikoko metodoak

Atal honetan denboraren integrazio zuzena erabiltzen duten problema dinamikoetarako analisi-metodoak azaltzen dira. Jarraian metodo inplizituaren eta esplizituaren formulazioak aurkezten dira.

Higidura-ekuazioaren diskretizazioa (esparru komuna)

Zehazteke (hurrengo fasean osatuko da).

Metodo inplizitua (Newmark-β metodoa)

Problema dinamikoetarako, denboraren integrazio zuzeneko metodo bat aplikatzen da behean erakusten den higidura-ekuazioa ebazteko.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Hemen, \(M\) masa-matrizea da, \(C\) moteltze-matrizea, \(Q\) barne-indarren bektorea eta \(F\) kanpo-indarren bektorea. Masa-matrizea deformazioarekiko konstante mantentzen dela suposatzen da, baita analisi ez-linealean ere.

\(\Delta t\) denbora-gehikuntzan zeharreko desplazamenduaren, abiaduraren eta azelerazioaren aldaketak Newmark-\(\beta\) metodoaren bidez hurbiltzen dira, \(\eqref{eq:2.5.2}\) eta \(\eqref{eq:2.5.3}\) ekuazioetan erakusten den bezala.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Hemen, \(\gamma\) eta \(\beta\) Newmark-\(\beta\) metodoaren parametroak dira.

Jakina denez, \(\gamma\) eta \(\beta\) parametroen ondoko balioak, hurrenez hurren, azelerazio linealaren metodoari eta trapezioaren arauari dagozkie.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (azelerazio linealaren metodoa)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapezioaren araua)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) eta \(\eqref{eq:2.5.3}\) ekuazioak \(\eqref{eq:2.5.1}\) ekuazioan ordezkatuz, ondoko ekuazioa lortzen da.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Bereziki, problema lineal batean, \(K_L\) zurruntasun linealeko matrizea da eta \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Erlazio hori aurreko ekuazioan ordezkatuz, ondoko ekuazioa lortzen da.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Muga-baldintza geometriko gisa azelerazioa agintzen den tokietan, desplazamendua \(\eqref{eq:2.5.2}\) ekuaziotik honela lortzen da.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Era berean, abiadura agintzen den tokietan, desplazamendua \(\eqref{eq:2.5.6}\) ekuaziotik honela lortzen da.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Hemen, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) unean nodoaren desplazamendua da, eta \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) unean nodoaren abiadura da; \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) unean nodoaren azelerazioa da, \(i\) nodoaren askatasun-graduaren zenbakia da eta \(s\) nodoaren zenbakia. Masa- eta moteltze-terminoak honela tratatzen dira.

Masa-terminoaren tratamendua

Printzipioz, masa-matrizea masa kontzentratuaren matrize gisa tratatzen da.

Moteltze-terminoaren tratamendua

Moteltze-terminoa \(\eqref{eq:2.5.8}\) ekuazioak adierazten duen Rayleigh moteltze gisa tratatzen da.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Hemen, \(R_m\) eta \(R_k\) Rayleigh moteltzearen parametroak dira.

!DYNAMIC txartelean zehaztutako \(R_m\) eta \(R_k\) balioak modu uniformean aplikatzen zaizkio eredu osoari. Material bakoitzerako \(R_m\) eta \(R_k\) balio desberdinak esleitzeko, material horren !MATERIAL blokearen barruan zehaztu !DAMPING txartela. !DAMPING zehaztuta duen material bati dagozkion elementuetarako, elementuaren masa-matrizetik \(M_i\) eta zurruntasun tangentzialeko matrizeetik \(K_i\) abiatuta, elementuaren moteltze-matrizea \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) gisa kalkulatzen da eta moteltze-matrize globalean muntatzen da. Funtzio hau metodo inpliziturako bakarrik da eraginkorra.

Metodo esplizitua (diferentzia zentralen metodoa)

Metodo esplizitua behean erakusten den t uneko higidura-ekuazioan oinarritzen da.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) eta \(t - \Delta t\) uneetako desplazamenduak \(t\) unearen inguruko Taylor-en garapenen bidez adierazi eta \(\Delta t\)-ren 2. ordenara arteko terminoak mantenduz, ondoko ekuazioak lortzen dira.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) eta \(\eqref{eq:2.5.4}\) ekuazioen diferentzia eta batura hartuz, ondoko ekuazioak lortzen dira.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) eta \(\eqref{eq:2.5.13}\) ekuazioak \(\eqref{eq:2.5.9}\) ekuazioan ordezkatuz, ondoko ekuazioa lortzen da.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Bereziki, problema lineal batean, \(Q(t) = K_L U(t)\), eta aurreko ekuazioa honela geratzen da:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Masa-matrizea \(M\) masa kontzentratuaren matrize gisa hartzen bada eta moteltze-matrizea \(C = R_m M\) moteltze proportzionaleko matrize gisa, \(\eqref{eq:2.5.15}\) ekuazioak ez du aldibereko ekuazio-sistema bat ebaztea eskatzen.

Beraz, \(\eqref{eq:2.5.15}\) ekuaziotik, \(U(t+\Delta t)\) ondoko ekuazioaren bidez lor daiteke.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Lotutako gaiak