Analisi modala¶

Balio propioen problema orokortua¶

Kontinuo baten bibrazio askea aztertzean, espazio-diskretizazioa egiten da, eta sistema askatasun-gradu anitzeko masa kontzentratuen sistema gisa modelatzen da, 2.3.1 irudian erakusten den bezala. Moteltzerik gabeko bibrazio askearen probleman, gobernu-ekuazioa (higidura-ekuazioa) honako hau da.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hemen, $u$ desplazamendu orokortuaren bektorea da, $M$ masa-matrizea eta $K$ zurruntasun-matrizea. Har bedi $\omega$ berezko maiztasun angeluarra, $a$ eta $b$ aldi berean zero ez diren konstante arbitrarioak, eta $x$ bektore bat; defini bedi funtzioa

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Funtzio hori definituta, haren bigarren deribatua honako hau da:

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Ekuazio $\eqref{eq:2.3.2}$ eta ekuazio $\eqref{eq:2.3.3}$ ekuazio $\eqref{eq:2.3.1}$-ean ordezkatuz,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

honako hau lortzen da.

Bibrazio ez-triviala kontuan hartuta, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ez da identikoki zero; beraz,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

lortzen da. Hortaz, $\lambda=\omega^2$ ezarriz,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

lortzen da.

$\lambda$ koefizienteari balio propioa eta $x$ bektoreari bektore propioa deritze; ekuazio $\eqref{eq:2.3.5}$-ek adierazten duen problemari balio propioen problema orokortua deritzo.

$\lambda=\omega^2$ balio propiotik $\omega$ berezko maiztasun angeluarra lortzen da, eta dagokion $x$ bektore propioak bibrazio-modua adierazten du.

Moteltzerik gabeko bibrazio askeko askatasun-gradu anitzeko sistema baten adibidea

2.3.1 irudia Moteltzerik gabeko bibrazio askeko askatasun-gradu anitzeko sistema baten adibidea

Matrizeen propietateak eta hipotesiak¶

Aurreko atalean lortutako $Kx=\lambda Mx$ balio propioen problema orokortuan, eskuliburu honek matrizeen simetria suposatzen du. Matrize konplexuen kasuan, Hermite matrizeak dira; matrize errealen kasuan, matrize simetrikoak.

$K$ matrizearen $ij$ osagaia $k_{ij}$ bada, Hermite propietatea honela adierazten da:

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

Hemen, $\bar{k}_{ji}$ $k_{ji}$-ren konjugatu konplexua da. Matrize errealetan, erlazio hori $k_{ij}=k_{ji}$ bihurtzen da.

Bestalde, $H$ matrize erreal simetrikoa positiboki definitua da, zero ez den edozein $x$ bektorerentzat

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

erlazioa betetzen bada. Kasu horretan, $H$-ren balio propio guztiak positiboak dira.

Egiturazko balio propioen problemetan, $M$ masa-matrizea positiboki definitutzat hartzen da normalean. Aitzitik, $K$ zurruntasun-matrizea positiboki erdidefinitua izan daiteke murriztapenen arabera, eta gorputz zurruneko moduei dagozkien zero balio propioak izan ditzake.

Desplazamendudun alderantzizko iterazioa¶

Elementu finituen bidezko egitura-analisian, praktikan ez dira balio propio guztiak behar; askotan nahikoa dira maila baxuko balio propio gutxi batzuk. HEC-MW eskala handiko problemak tratatzeko pentsatuta dago, eta matrizeak handiak eta oso sakabanatuak dira, zero elementu asko baitituzte. Beraz, ezaugarri horiek kontuan hartuta, maila baxuko moduen balio propioak eraginkortasunez kalkulatzea garrantzitsua da.

Desplazamendua $\sigma$ bada, $-\sigma$ balio propioa ez bada eta $K+\sigma M$ ez-singularra bada, ekuazio $\eqref{eq:2.3.5}$ honela eralda daiteke.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Eraldaketa horrek $x$ bektore propioa aldatu gabe uzten du, eta $\lambda$ balio propioa $1/(\lambda+\sigma)$-ra eramaten du.

Ondorioz, $\lambda$ $-\sigma$-tik zenbat eta hurbilago egon, orduan eta handiagoa da eraldatutako balio propioaren balio absolutua. Egiturazko balio propioen problemetan $\lambda \geq 0$ eta $\sigma \geq 0$ direnez, maila baxueneko balio propioa balio absolutu handieneko balio propiora eramaten da. Propietate hori erabiliz, balio absolutu handiko balio propioetara lehenago konbergitzen duen iterazio-metodo bat ekuazio $\eqref{eq:2.3.8}$-ari aplikatuta, maila baxuko balio propioak goranzko ordenan eraginkortasunez lor daitezke.

Metodo horri desplazamendudun alderantzizko iterazioa deritzo.

FrontISTRn, murriztapenak dituzten analisietan $\sigma = 0$ ezartzen da; orduan, ekuazio $\eqref{eq:2.3.8}$ $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ bihurtzen da, hau da, desplazamendurik gabeko alderantzizko iterazioa. Murriztapenik gabeko free-free analisietan, $K$ singularra da gorputz zurruneko moduei dagozkien zero balio propioak dituelako; $\sigma$-ri balio positiboa emanez $K+\sigma M$ erregularizatzen da. $\sigma$-ren balioa SIGMA bidez zehazten da !EIGEN atalean.

Lanczos metodoa¶

Hautatzeko arrazoia (Jacobi metodoarekiko konparazioa)¶

Metodo klasikoen artean Jacobi metodoa oso ezaguna da.

Metodo hori eraginkorra da matrizea txikia eta trinkoa denean. Hala ere, HEC-MWk erabiltzen dituen matrizeak handiak eta sakabanatuak direnez, Jacobi metodoa ez da erabiltzen; Lanczos iterazio-metodoa erabiltzen da.

Algoritmoa eta ezaugarriak¶

C. Lanczosek 1950eko hamarkadan proposatutako metodo hau matrize bat tridiagonalizatzeko algoritmoa da, eta ezaugarri hauek ditu.

Iterazio-metodoa da, eta kalkulua matrizea sakabanatua mantenduz egin daiteke.
Eragiketa nagusiak matrize-bektore biderketak dira; beraz, paralelizaziorako egokia da.
Elementu finituen sareei lotutako domeinu-deskonposizio geometrikorako egokia da.
Kalkulua eraginkortasunez egin daiteke lortu beharreko balio propioen kopurua edo moduen tartea mugatuz.

Lanczos metodoa hasierako bektore batetik abiatzen da, bektore ortogonalak sekuentzialki eraikitzen ditu eta Krylov azpiespazio baten oinarria lortzen du.

Zehaztasun finituko aritmetikan, biribiltze-erroreek bektoreen ortogonalitatea galtzea eragin dezakete. Eragin hori murrizteko, FrontISTRren inplementazioak bektoreak berriro ortogonalizatzen ditu aurretik lortutako Lanczos oinarriarekiko.

Esanahi geometrikoa (Krylov azpiespazioa)¶

Ekuazio $\eqref{eq:2.3.8}$-ari aldagai-eraldaketa hauek aplikatuz,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problema honela berridatz daiteke:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

honako ekuazioa lortzen da.

Zero ez den edozein $q_0$ bektorerentzat,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

bektore horiek sortzen duten espazioa

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov azpiespazioa da.

Lanczos metodoak Krylov azpiespazio horren oinarria sekuentzialki eraikitzen du.

FrontISTRk $M$ masa-matrizeari lotutako barne-biderkadura hau erabiltzen du:

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

oinarria ortonormalizatzeko. Ondorengo irudietan agertzen diren $\langle x,y\rangle$ barne-biderkadura eta $\|x\|$ norma FrontISTRren kalkuluetan, hurrenez hurren, $M$-barne-biderkadura hori eta hari dagokion $M$-norma

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

gisa interpretatzen dira.

Aplikatu $A$ matrizeak definitutako transformazio lineala edozein $q_0$ bektoreri (ikus 2.3.2 irudia).

$$A$ matrizearen bidezko $q_0$ bektorearen transformazio lineala$

2.3.2 irudia $A$ matrizearen bidezko $q_0$ bektorearen transformazio lineala

Eraldatutako bektorea bera eta jatorrizko bektorea barne hartzen dituen espazioan ortogonalizatzen da. Zehazki, Gram-Schmidt ortogonalizazioa egiten da 2.3.3 irudian erakusten den bezala. Lortutako bektoreari $r_1$ deituta, hura normalizatuz $q_1$ lortzen da.

$$q_0$-rekiko ortogonala den $q_1$ bektorea$

2.3.3 irudia $q_0$-rekiko ortogonala den $q_1$ bektorea

Prozedura berarekin, $q_1$-etik $q_2$ lortzen da. Orduan, $q_2$ ortogonala da bai $q_1$-ekiko bai $q_0$-rekiko (2.3.4 irudia).

$$q_1$ eta $q_0$-rekiko ortogonala den $q_2$ bektorea$

2.3.4 irudia $q_1$ eta $q_0$-rekiko ortogonala den $q_2$ bektorea

Horrela, Lanczos metodoak Krylov azpiespazioaren oinarri ortonormala sekuentzialki eraikitzen du. Teorian, balio propioen problemaren simetria erabiliz, iterazio hori azken oinarri-bektoreak erabiltzen dituen hiru gaiko errekurrentzia gisa adieraz daiteke.

FrontISTRren inplementazioak, ordea, zehaztasun finituko aritmetikak eragindako ortogonalitate-galera murrizteko, bektoreak berriro ortogonalizatzen ditu aurretik lortutako Lanczos oinarriarekiko $M$-barne-biderkadura erabiliz.

Tridiagonalizazioa¶

FrontISTRren Lanczos iterazioan, oinarri-bektoreak aurreko atalean azaldu den $M$-barne-biderkadurarekiko ortonormalizatzen dira; beraz,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

erlazioa betetzen da.

Ekuazio $\eqref{eq:2.3.10}$-eko $A$ matrizea erabiliz, Lanczos iterazio teorikoa

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

honela adierazten da.

Lehenik, $\alpha_i$ honela definitzen da:

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

eta behin-behineko hondarra honela hartzen da:

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

Horrela definitzen da behin-behineko hondarra.

FrontISTRren inplementazioan, zehaztasun finituko aritmetikak eragindako ortogonalitate-galera murrizteko, $\tilde{r}_{i+1}$ berriro ortogonalizatzen da aurretik lortutako Lanczos oinarriarekiko $M$-barne-biderkadura erabiliz. Berrortogonalizazioaren ondorengo hondarra $r_{i+1}$ bada,

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

honako erlazioak betetzen dira.

Lanczos iterazioak emandako $m$ oinarri-bektoreak honela bilduz,

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Lanczos iterazioen kopuru finitu baten ondoren,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

erlazio hau betetzen da.

Hemen, $e_m$ $m$ dimentsioko bektore unitarioa da, haren $m$-garren osagaia 1 eta gainerakoak zero direlarik, eta

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

matrize simetriko tridiagonala da.

Beraz, jatorrizko eskala handiko balio propioen problemaren balio propioak hurbil daitezke $T_m$ matrize tridiagonalaren balio propioak kalkulatuz.

Lotutako gaiak¶

Maiztasun-erantzunaren analisia — analisi modalaren emaitzak erabiltzen dituen maiztasun-erantzuna
Analisi motak — analisi modalaren funtzioen ikuspegi orokorra