تکرار غیرخطی و انتگرالگیری زمانی¶
FrontISTR در هر زیرگام، درون کنترل افزایش هر گام، با ترکیب تکرارهای غیرخطی و انتگرالگیری زمانی جواب را پیش میبرد. این صفحه ساختارهای تکراری میان کنترل گام بیرونی و حلگر خطی درونی را توضیح میدهد: تکرارهای نیوتن-رافسون، تکرارهای تماس، انتگرالگیری زمانی تحلیل دینامیکی، و چارچوب پیشروی زمان و تکرار غیرخطی در هدایت حرارتی گذرا.
نمای کلی قابلیتها¶
حل غیرخطی و انتگرالگیری زمانی درون یک گام ساختاری تودرتو از چند حلقه، از بیرون به درون، دارد. نقش هر لایه بهصورت زیر است.
| لایه | نقش | صفحه مرجع اصلی |
|---|---|---|
| حلقه گام | کل تحلیل را به چند گام تقسیم میکند و شرایط مرزی، بارها، تماس و فعالسازی المان را تغییر میدهد. | کنترل گام |
| حلقه زیرگام | یک گام را به افزایشهای زمانی تقسیم میکند و با افزایش ثابت یا افزایش خودکار و کاهش گام پیش میرود. | کنترل گام |
| پیشروی حالت انتگرالگیری زمانی | در تحلیل دینامیکی و هدایت حرارتی گذرا، حالت زمان بعدی را از حالت گام قبلی بهدست میآورد. | این صفحه |
| حلقه جستجوی وضعیت تماس | در تحلیل تماس، تغییرات وضعیت تماس (تماس/جدایش) را جستجو میکند و ساختار ماتریس سختی را بهروزرسانی میکند. | این صفحه |
| تکرار بیرونی لاگرانژ افزوده | در تماس ALAGRANGE، دقت قید تماس را بهتدریج بهبود میدهد. | این صفحه |
| تکرار نیوتن | معادلات تعادل غیرخطی را بهطور تکراری با روش نیوتن-رافسون حل میکند. | این صفحه |
| حل دستگاه خطی | دستگاه خطی مبتنی بر ماتریس سختی مماسی را در هر تکرار نیوتن حل میکند. | حلگر و پیششرطگذاری |
اینکه کدامیک از این لایهها ظاهر شوند به نوع تحلیل بستگی دارد.
| نوع تحلیل | انتگرالگیری زمانی | جستجوی وضعیت تماس | تکرار بیرونی | تکرار نیوتن |
|---|---|---|---|---|
| تحلیل استاتیکی خطی | — | — | — | — |
| تحلیل استاتیکی غیرخطی (بدون تماس) | — | — | — | بله |
تحلیل استاتیکی غیرخطی (تماس SLAGRANGE) | — | بله | — | بله |
تحلیل استاتیکی غیرخطی (تماس ALAGRANGE) | — | بله | بله | بله |
| تحلیل دینامیکی، ضمنی | Newmark-β | — | — | بله (در صورت غیرخطی بودن) |
| تحلیل دینامیکی، صریح | تفاضل مرکزی | — | — | — |
| تحلیل پاسخ فرکانسی | برهمنهی مودال | — | — | — |
| هدایت حرارتی گذرا | Crank-Nicolson / اویلر پسرو | — | — | بله (وقتی خواص ماده به دما وابستهاند) |
| هدایت حرارتی پایا | — | — | — | بله (وقتی خواص ماده به دما وابستهاند) |
برای نحوه انتخاب خود نوع تماس و الگوریتم، به تماس و تعبیهسازی مراجعه کنید. این صفحه توضیح میدهد الگوریتم انتخابشده چگونه بهصورت یک حلقه تکراری سازماندهی میشود.
انتخاب طرح حل¶
ساختار تکراری بهطور خودکار از نوع تحلیل انتخابشده (انواع تحلیل)، وجود یا عدم وجود غیرخطی بودن (غیرخطی هندسی، غیرخطی ماده یا تماس)، و الگوریتم تماس (SLAGRANGE یا ALAGRANGE) تعیین میشود. کاربر مستقیماً حدود بالای تعداد تکرارها و معیارهای همگرایی را تنظیم میکند.
هنگام تنظیم این مقادیر، راهنماهای زیر به کار میروند.
- در تحلیلهای استاندارد، حد بالای پیشفرض تعداد تکرارها عموماً کافی است. اگر مسئلهای با همگرایی دشوار بدون همگرا شدن به بیشینه تعداد تکرارها برسد، ابتدا از کاهش گام (کنترل گام) استفاده کنید؛ فقط اگر این کار همگرایی را بهبود نداد، حد بالا را افزایش دهید.
- معیارهای همگرایی را برای برقراری توازن میان پایداری تحلیل و زمان محاسبه تنظیم کنید. معیارهای سختگیرانهتر دقت تعادل را افزایش میدهند اما تعداد تکرارها را بیشتر میکنند. در تحلیل تماس و تحلیلهای دارای ضرایب لاگرانژ، ترکیب معیار افزایش جابهجایی یا معیار لاگرانژ با معیار باقیمانده میتواند پایداری را بهبود دهد.
- برای پارامترهای انتگرالگیری زمانی در تحلیل دینامیکی (ضرایب Newmark-β)، از یک ترکیب استاندارد مقادیر شروع کنید و هنگام تغییر ویژگیهای میرایی عددی پاسخ ارتعاشی آنها را تنظیم کنید.
- برای طرح انتگرالگیری زمانی در هدایت حرارتی گذرا، برای مسائل با تغییرات دمایی نرم از Crank-Nicolson و زمانی که تغییرات تند یا پایداری بلندمدت مهمتر است از اویلر پسرو استفاده کنید.
تکرار نیوتن-رافسون در تحلیل استاتیکی¶
در تحلیل استاتیکی غیرخطی، معادلات تعادل شامل غیرخطی هندسی یا مادی بهطور تکراری با روش نیوتن-رافسون حل میشوند. هر تکرار بهصورت زیر پیش میرود.
- بردار باقیمانده \(\boldsymbol{R}\) را در جواب جاری ارزیابی کنید.
- ماتریس سختی مماسی \(\boldsymbol{K}_T\) را مونتاژ کنید.
- دستگاه خطی \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) را حل کنید تا تصحیح جابهجایی \(\Delta \boldsymbol{u}\) بهدست آید.
- جواب را بهصورت \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) بهروزرسانی کنید.
- با معیارهای همگرایی مقایسه کنید. اگر همگرایی حاصل شده است، تکرار را پایان دهید؛ در غیر این صورت به گام 1 بازگردید.
حلگر خطی، حل دستگاه خطی (گام 3) را انجام میدهد. برای انتخاب حلگر و پیششرطگذار به حلگر و پیششرطگذاری مراجعه کنید.
تکرار با پارامترهای کنترل گام !STEP کنترل میشود. مقادیر کنترلی اصلی بهصورت زیر هستند.
| نقش | پارامتر |
|---|---|
| حد بالای تعداد تکرارها. اگر بدون همگرایی به این حد برسد، زیرگام مشمول کاهش گام میشود. | MAXITER |
| معیار همگرایی بر پایه نرم نسبی باقیمانده. | CONVERG |
| معیار همگرایی بر پایه نسبت نرم تصحیح جابهجایی. برای بهبود پایداری همراه با معیار باقیمانده استفاده میشود. | CONVERG_DDISP |
| معیار واگرایی برای نرم باقیمانده. در صورت عبور از این مقدار، تکرار خاتمه مییابد. | MAXRES |
بیشینه تعداد تکرار نیوتن که در تصمیمهای افزایش خودکار و کاهش گام در کنترل گام به آن ارجاع میشود، همان تعداد تکرارهای نیوتن توضیحدادهشده در این صفحه است. کنترل افزایش خودکار پس از زیرگامی که با تکرارهای کم همگرا شده افزایش زمانی را بزرگتر و پس از زیرگامی که به تکرارهای زیادی نیاز داشته آن را کوچکتر میکند.
تکرار تماس در تحلیل استاتیکی¶
در تحلیل تماس، به دلیل تماس، جدایش و لغزش در سطوح تماس، وضعیت تماس در طول تکرار تغییر میکند؛ بنابراین تکرار نیوتن با بهروزرسانی وضعیت تماس ترکیب میشود. ساختار به الگوریتم حل تماس بستگی دارد.
هر دو الگوریتم یک حلقه جستجوی وضعیت تماس را در بیرونیترین سطح قرار میدهند. در هر عبور از این حلقه، پس از همگرایی تکرار نیوتن داخلی، وضعیت تماس (تماس/جدایش) دوباره ارزیابی میشود. اگر وضعیت تغییر کرده باشد، ساختار ماتریس سختی بهروزرسانی میشود و تکرار داخلی دوباره اجرا میشود. حلقه زمانی پایان مییابد که وضعیت تماس نسبت به عبور قبلی تغییر نکرده باشد و معیارهای همگرایی تماس (معیار نیروی تماس و ضریب لاگرانژ) ارضا شوند. حد بالای تعداد عبورها با MAXCONTITER از !STEP مشخص میشود.
در تماس SLAGRANGE، درجات آزادی تماس با روش استاندارد ضریب لاگرانژ در دستگاه خطی وارد میشوند و ساختاری دولایه شکل میگیرد که تکرار نیوتن مستقیماً درون حلقه جستجوی وضعیت تماس قرار دارد. تکرار لاگرانژ افزوده وجود ندارد.
در تماس ALAGRANGE، یک تکرار لاگرانژ افزوده داخل حلقه جستجوی وضعیت تماس اضافه میشود و تکرار نیوتن درون آن انجام میگیرد؛ در نتیجه ساختار سهلایه است. در هر تکرار لاگرانژ افزوده، قید تماس با ترکیب جمله جریمه و ضریب لاگرانژ دوباره ارزیابی میشود و دقت قید بهتدریج بهبود مییابد. حد بالای تعداد تکرارهای لاگرانژ افزوده با AUGITER از !CONTACT_ALGO مشخص میشود.
مقادیر کنترلی تکرار تماس بهصورت زیر هستند.
| نقش | محل مشخصسازی |
|---|---|
حد بالای تعداد تکرارهای حلقه جستجوی وضعیت تماس. برای هر دو SLAGRANGE و ALAGRANGE استفاده میشود. | !STEP MAXCONTITER |
حد بالای تعداد تکرارهای لاگرانژ افزوده. فقط برای ALAGRANGE استفاده میشود. | !CONTACT_ALGO AUGITER |
| معیار همگرایی برای تصحیح ضریب لاگرانژ. در تحلیل تماس همراه با معیار باقیمانده استفاده میشود. | !STEP CONVERG_LAG |
تعداد تکرار تماس که در تصمیمهای افزایش خودکار در کنترل گام به آن ارجاع میشود، تعداد تکرارهای توضیحدادهشده در این صفحه را شامل میشود و بهروزرسانی وضعیت تماس نیز در آن محسوب است. تحلیلهایی که تماس و جدایش در آنها مکرراً رخ میدهد معمولاً به تکرارهای تماس بیشتری نیاز دارند و این امر بر تصمیمهای افزایش خودکار و کاهش گام نیز اثر میگذارد. برای خود انواع تماس، تعریف جفتها و انتخاب الگوریتم به تماس و تعبیهسازی و برای نحوه حل دستگاه خطی شامل درجات آزادی تماس به حلگر و پیششرطگذاری مراجعه کنید.
انتگرالگیری زمانی در تحلیل دینامیکی (روش ضمنی)¶
روش ضمنی تحلیل دینامیکی از روش Newmark-β استفاده میکند تا در هر گام زمانی جابهجایی، سرعت و شتاب در زمان بعدی را به هم مرتبط کند و با ترکیب این روابط با معادله حرکت، حالت در زمان \(t + \Delta t\) را بهدست آورد. محدودیت پایداری بر گام زمانی \(\Delta t\) ملایم است و اجازه میدهد پاسخهای سازهای غالباً شامل مؤلفههای کمفرکانس بهطور کارآمد حل شوند.
دو پارامتر انتگرالگیری زمانی زیر استفاده میشوند.
| پارامتر | نقش |
|---|---|
| \(\beta\) | ضریب مرتبط با درونیابی زمانی جابهجایی. |
| \(\gamma\) | ضریب مرتبط با درونیابی زمانی سرعت. |
ترکیب \(\beta = 1/4\) و \(\gamma = 1/2\) روش شتاب متوسط نامیده میشود و یک انتخاب استاندارد است که بدون شرط پایدار و بدون میرایی عددی است. برای افزودن میرایی عددی، \(\gamma\) را بزرگتر از \(1/2\) انتخاب کنید. برای جزئیات ریاضی ترکیب پارامترها، پایداری و ویژگیهای خطا به راهنمای نظریه مراجعه کنید.
وقتی غیرخطی بودن (غیرخطی هندسی، غیرخطی ماده یا تماس) وجود دارد، در هر گام زمانی تکرار نیوتن انجام میشود؛ دستگاه خطی درون تکرار حل و حالت بهروزرسانی میشود. معیارهای همگرایی از CONVERG و مقادیر مرتبط مشترک با تحلیل استاتیکی استفاده میکنند. در تحلیل دینامیکی دارای تماس، همان ساختار تکراری تکرار تماس در تحلیل استاتیکی در هر گام زمانی گنجانده میشود.
گام زمانی در تحلیل دینامیکی عمدتاً با شرایط زمانی !STEP کنترل میشود. در افزایش ثابت، !STEP، DTIME را بهعنوان گام زمانی و ETIME را بهعنوان مدت گام مشخص میکند. مقادیر n_step و t_delta در !DYNAMIC در صورت حذف !STEP و نیز برای سازگاری با نسخههای پیشین بهعنوان مقادیر پیشفرض در نظر گرفته میشوند. در روش ضمنی غیرخطی، !STEP با INC_TYPE=AUTO افزایش خودکار و کاهش گام را فعال میکند و گام زمانی را بر اساس وضعیت تکرارهای نیوتن و تماس افزایش یا کاهش میدهد. چه افزایش ثابت و چه خودکار استفاده شود، گام زمانی را با توجه همزمان به همگرایی و دقت مورد نیاز تنظیم کنید.
انتگرالگیری زمانی در تحلیل دینامیکی (روش صریح)¶
روش صریح تحلیل دینامیکی از روش تفاضل مرکزی استفاده میکند تا حالت زمان بعدی را مستقیماً فقط از اطلاعات جابهجایی، سرعت و شتاب در زمان قبلی محاسبه کند. چون معادلات همزمان حل نمیشوند، هزینه محاسبه هر گام کم است. حتی با وجود غیرخطی بودن، هر گام زمانی یک بهروزرسانی تکمرحلهای بدون تکرار نیوتن است.
گام زمانی دارای حد بالایی است که شرط پایداری مبتنی بر کمینه دوره طبیعی دستگاه (شرط CFL) اعمال میکند. گام زمانی بزرگتر از این حد موجب واگرایی جواب عددی میشود، بنابراین نمیتوان مانند روش ضمنی از گامهای زمانی بزرگ استفاده کرد. روش صریح برای پدیدههایی مانند ضربه، انتشار موج و تماس پرسرعت که ذاتاً به گامهای زمانی کوچک نیاز دارند مزیت دارد.
هنگام وجود تماس، روش Forward Increment Lagrange برای اعمال قیود تماس استفاده میشود. نیروهای تماس به روشی سازگار با بهروزرسانی تکمرحلهای روش صریح ارزیابی میشوند.
روش حل تحلیل پاسخ فرکانسی¶
تحلیل پاسخ فرکانسی با استفاده از روش برهمنهی مودال، پاسخ تناوبی حالت پایا را مستقیماً در حوزه فرکانس بهدست میآورد. پاسخ با تغییر فرکانس تحریک ارزیابی میشود و نیازی به دنبال کردن تاریخچه زمانی از طریق تکرارها نیست. نه تکرار غیرخطی و نه انتگرالگیری زمانی انجام نمیشود.
پیش از انجام تحلیل پاسخ فرکانسی، باید برای همان دستگاه تحلیل مودال انجام و تعداد لازم مودهای طبیعی استخراج شود. فقط مدلهای خطی پشتیبانی میشوند؛ وقتی غیرخطی هندسی یا غیرخطی ماده فعال باشد، تحلیل قابل انجام نیست. برای جایگاه این نوع تحلیل به انواع تحلیل مراجعه کنید.
پیشروی زمان و تکرار غیرخطی در هدایت حرارتی گذرا¶
هدایت حرارتی گذرا حلقه زمانی مستقلی دارد که درون !HEAT کامل میشود. گام زمانی از مسیری جدا از !STEP و !AUTOINC_PARAM تحلیل سازهای کنترل میشود و وقتی خواص ماده به دما وابسته باشند، در هر گام زمانی تکرار غیرخطی انجام میشود.
طرح انتگرالگیری زمانی با پارامتر \(\beta\) در !HEAT انتخاب میشود.
| \(\beta\) | طرح | ویژگیها |
|---|---|---|
| 0.5 | روش Crank-Nicolson | دقت مرتبه دوم. مناسب مسائل با تغییرات دمایی نرم. |
| 1.0 | روش اویلر پسرو | دقت مرتبه اول. بدون شرط پایدار است و برای تحلیلهای بلندمدت و تغییرات تند دما پایداری فراهم میکند. |
گام زمانی با ترکیب گام زمانی اولیه، کمینه گام زمانی و بیشینه تغییر دما در هر گام بهصورت تطبیقی کنترل میشود. اگر پس از محاسبه در یک گام زمانی، تغییر دما از DELTMX بیشتر شود، گام زمانی کاهش مییابد و گام دوباره محاسبه میشود. اگر گام زمانی از کمینه گام زمانی DTMIN کمتر شود، تحلیل متوقف میشود.
وقتی خواص ماده به دما وابسته باشند، در هر گام زمانی تکرار غیرخطی انجام میشود. تکرار بهصورت زیر کنترل میشود.
| نقش | پارامتر |
|---|---|
| حد بالای تکرارهای غیرخطی. | !HEAT ITMAX |
| معیار همگرایی. | !HEAT EPS |
هدایت حرارتی پایا از گامگذاری زمانی استفاده نمیکند؛ فقط زمانی که خواص ماده به دما وابسته باشند تکرار غیرخطی انجام میشود. چون کنترل زمان در تحلیل هدایت حرارتی مستقل از !STEP تحلیل سازهای است، هنگام تنظیم گام زمانی، تنظیمات !HEAT را بررسی کنید.
موارد مرتبط¶
- انواع تحلیل — جایگاه هر نوع تحلیل.
- تماس و تعبیهسازی — انتخاب انواع تماس، تعریف جفتها و الگوریتمهای حل.
- حلگر و پیششرطگذاری — حل معادلات خطی همزمان که درون تکرار نیوتن فراخوانی میشوند.
- کنترل گام — کنترل بیرونی گام/زیرگام و افزایش خودکار/کاهش گام.
- روش نیوتن-رافسون (نظریه) — فرمولبندی روش حل تکراری.
- معیارهای همگرایی (نظریه) — تعریفهای ریاضی شاخصهای همگرایی.
- روشهای تحلیل دینامیکی (نظریه) — فرمولبندی روشهای Newmark-β و تفاضل مرکزی.
- تحلیل هدایت حرارتی گذرا (نظریه) — فرمولبندی انتگرالگیری زمانی برای هدایت حرارتی.
- تحلیل تماس (نظریه) — فرمولبندی روش ضریب لاگرانژ.
- مرجع کلیدواژه: !STEP، !CONTACT_ALGO، !DYNAMIC، !HEAT.