پرش به محتویات

تحلیل استاتیکی الاستیک خطی (مقدمه)

در این بخش فرمول‌بندی تحلیل استاتیکی الاستیک بر پایه نظریه تغییرشکل بی‌نهایت کوچک ارائه می‌شود. برای رابطه تنش-کرنش، کشسانی خطی فرض می‌شود. این فصل به‌عنوان مقدمه‌ای برای درک ساختار کلی تحلیل سازه‌ای اجزای محدود در نظر گرفته شده و به‌صورت فصلی مستقل تنظیم شده است.

برای نظریه عمومی اصل کار مجازی (فرم آرایش جاری، فرم آرایش اولیه و کاهش به تغییرشکل بی‌نهایت کوچک) به اصل کار مجازی، برای جزئیات قانون رفتاری الاستیک خطی به کشسانی خطی، برای قراردادهای نمادگذاری تانسوری و وویت به نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی، برای فرمول‌بندی عمومی تغییرشکل محدود به حرکت، تغییرشکل و کرنش و برای روش‌های حل مسائل غیرخطی به ماتریس سختی مماسی مراجعه کنید.

معادلات پایه

با فرض تغییرشکل بی‌نهایت کوچک و کشسانی خطی، مسئله مقدار مرزی در مکانیک جامدات از معادله تعادل، شرایط مرزی مکانیکی و شرایط مرزی هندسی (شرایط مرزی اساسی) تشکیل می‌شود (شکل 2.1.1 را ببینید):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

در اینجا، \(\boldsymbol{\sigma}\) تنش کوشی، \(\overline{\boldsymbol{b}}\) نیروی حجمی بر واحد حجم، \(\overline{\boldsymbol{t}}\) کشش سطحی تجویزی، \(\overline{\boldsymbol{u}}\) جابه‌جایی تجویزی و \(S_t, S_u\) به‌ترتیب مرزهای مکانیکی و هندسی هستند.

مسئله مقدار مرزی در مکانیک جامدات (مسئله تغییرشکل بی‌نهایت کوچک)

شکل 2.1.1 مسئله مقدار مرزی در مکانیک جامدات (مسئله تغییرشکل بی‌نهایت کوچک)

با استفاده از عملگر گرادیان متقارن، رابطه کرنش-جابه‌جایی به‌صورت زیر است

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

معادله رفتاری الاستیک خطی عبارت است از

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

که در آن \(\boldsymbol{C}\) تانسور الاستیسیته مرتبه چهارم است.

اصل کار مجازی

فرم‌های عمومی اصل کار مجازی (فرم آرایش جاری، فرم آرایش اولیه و کاهش به تغییرشکل بی‌نهایت کوچک) در اصل کار مجازی خلاصه شده‌اند. با فرض تغییرشکل بی‌نهایت کوچک و کشسانی خطی، فرم ضعیف عبارت است از

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

با جایگذاری معادله رفتاری \eqref{eq:2.1.5} و نوشتن \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) در نمادگذاری وویت، فرمی که مستقیماً برای گسسته‌سازی استفاده می‌شود به‌دست می‌آید:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

به‌دست می‌آید، که در آن \(D\) ماتریس الاستیک تعریف‌شده در کشسانی خطی است. معادلات \eqref{eq:2.1.10} و \eqref{eq:2.1.7} اصل کار مجازی را تشکیل می‌دهند که در ادامه گسسته می‌شود.

گسسته‌سازی و مونتاژ معادله سراسری

گسسته‌سازی اصل کار مجازی در معادله \( \eqref{eq:2.1.10} \) روی المان‌های محدود، رابطه زیر را می‌دهد

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

برای هر المان، میدان جابه‌جایی با استفاده از جابه‌جایی گره‌های تشکیل‌دهنده المان به‌صورت زیر درون‌یابی می‌شود.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

سپس کرنش با استفاده از معادله \(\eqref{eq:2.1.4}\) به‌صورت زیر داده می‌شود.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

با جایگذاری معادلات \(\eqref{eq:2.1.12}\) و \(\eqref{eq:2.1.13}\) در معادله \(\eqref{eq:2.1.11}\)، داریم

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

معادله \(\eqref{eq:2.1.14}\) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

در اینجا، مؤلفه‌های ماتریس و بردار تعریف‌شده به‌وسیله معادلات \(\eqref{eq:2.1.16}\) و \(\eqref{eq:2.1.17}\) را می‌توان برای هر المان محدود محاسبه و با روی‌هم‌گذاری مونتاژ کرد.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

از آنجا که معادله \(\eqref{eq:2.1.15}\) برای جابه‌جایی مجازی دلخواه \(\delta \boldsymbol{U}\) برقرار است، معادله زیر به‌دست می‌آید.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

در همین حال، شرط مرزی جابه‌جایی در معادله \(\eqref{eq:2.1.3}\) به‌صورت زیر بیان می‌شود.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

با حل معادله \(\eqref{eq:2.1.18}\) تحت شرط قید معادله \(\eqref{eq:2.1.19}\)، می‌توان جابه‌جایی گره‌ای \(\boldsymbol{U}\) را تعیین کرد.

موارد مرتبط