پرش به محتویات

کشسانی خطی

این فصل قانون ساختاری مواد الاستیک خطی (قانون Hooke) را بررسی می‌کند. برای جزئیات انتخاب مدل و تعیین ورودی، به بخش قابلیت‌ها 03_material مراجعه کنید.

پدیده و فرضیات

ماده کشسان خطی ماده‌ای است که در محدوده کرنش‌های به‌اندازه کافی کوچک، رابطه تنش و کرنش آن خطی است و پس از برداشتن بار همه کرنش‌ها به حالت اولیه بازمی‌گردند؛ بنابراین پاسخ آن برگشت‌پذیر و مستقل از تاریخچه است. برخلاف پلاستیسیته و خزش، متغیر حالت داخلی مانند کرنش پلاستیک یا کرنش لزج ندارد و تنش فقط با کرنش فعلی به‌طور یکتا تعیین می‌شود.

در محدوده تغییرشکل کوچک از تنش Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) و کرنش کوچک \(\boldsymbol{\varepsilon}\) استفاده می‌شود؛ در محدوده تغییرشکل محدود (مسائلی با دوران بزرگ ولی کرنش کوچک)، تنش Piola-Kirchhoff دوم \(\boldsymbol{S}\) و کرنش Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) به‌کار می‌روند (ماده St.Venant-Kirchhoff).

قانون ساختاری

ماده الاستیک خطی همسانگرد

در محدوده تغییرشکل کوچک، قانون Hooke همسانگرد با استفاده از ثابت‌های Lamé یعنی \(\lambda, \mu\) به صورت زیر بیان می‌شود:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

در نمایش مؤلفه‌ای،

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

به دست می‌آید و با انقباض دوگانه با کرنش، \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) حاصل می‌شود. ثابت‌های Lamé با مدول Young یعنی \(E\) و نسبت Poisson یعنی \(\nu\) رابطه زیر را دارند:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

در نمایش Voigt، رابطه میان بردار کرنش \(\hat{\varepsilon}\) و بردار تنش \(\hat{\sigma}\) به صورت \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) نوشته می‌شود و ماتریس ماده سه‌بعدی \(D\) برابر است با

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

این نمایش ماتریسی در پیاده‌سازی استفاده می‌شود.

ماده الاستیک خطی متعامدناهمسانگرد

برای موادی که ثابت‌های الاستیک آن‌ها در راستاهای محورهای اصلی متفاوت است، مدل متعامدناهمسانگرد با 9 ثابت مستقل به‌کار می‌رود: مدول‌های Young در راستاهای اصلی \(E_1, E_2, E_3\)، نسبت‌های Poisson میان محورهای اصلی \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) و مدول‌های برشی \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). برای فرم صریح ماتریس \(D\) به منابع استاندارد مراجعه کنید.

محدوده تغییرشکل محدود: ماده St.Venant-Kirchhoff

در مسائلی که دوران بزرگ دارند اما خود کرنش کوچک است، ماده St.Venant-Kirchhoff به‌عنوان قانون الاستیک خطی میان تنش دوم Piola-Kirchhoff یعنی \(\boldsymbol{S}\) و کرنش Green-Lagrange یعنی \(\boldsymbol{E}\) به‌کار می‌رود:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

تعریف ثابت‌های Lamé یعنی \(\lambda, \mu\) همان تعریف حالت تغییرشکل کوچک است. با این حال، چون زوج تعریف‌شده برای تنش و کرنش متفاوت است، باید توجه داشت که این قانون ساختاری با قانون Hooke در تغییرشکل کوچک تفاوت دارد.

ماده هیپوالاستیک

در روش لاگرانژ به‌روزشده، قانون الاستیک خطی میان نرخ Jaumann تانسور تنش نسبی Kirchhoff یعنی \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) و تانسور نرخ تغییرشکل \(\boldsymbol{D}\) در نظر گرفته می‌شود:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

و ماده هیپوالاستیک بر این اساس به‌کار می‌رود. تعریف \(\boldsymbol{C}\) بر حسب ثابت‌های Lamé نیز همان تعریف بالا است، اما به دلیل تفاوت زوج تنش–کرنش، این یک قانون ساختاری جداگانه است. برای جزئیات به‌روزرسانی \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) در روند انتگرال‌گیری زمانی (انتگرال‌گیری Euler رو به جلو و تقریب تفاضل مرکزی)، به tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex مراجعه کنید.

کاهش برای تحلیل دوبعدی و المان‌های پوسته

تنش صفحه‌ای (\(\sigma_{33} = 0\))

در تنش صفحه‌ای که بارگذاری صفحات نازک و پوسته‌ها را مدل می‌کند، فرض می‌شود \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) و از ماتریس \(D\) استفاده می‌شود که مؤلفه کرنش خارج از صفحه \(\varepsilon_{33}\) به‌صورت جبری از آن حذف شده است:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

کرنش صفحه‌ای (\(\varepsilon_{33} = 0\))

در کرنش صفحه‌ای که مقطع یک سازه طویل مقید در راستای ضخامت را مدل می‌کند، فرض می‌شود \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

محورمتقارن

در تحلیل محورمتقارن که مسائل یکنواخت در راستای \(\theta\) را در مختصات استوانه‌ای \((r, \theta, z)\) بررسی می‌کند، چهار مؤلفه \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) و \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) نگه داشته می‌شوند و

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

به دست می‌آید.

المان‌های پوسته (تنش صفحه‌ای + برش عرضی)

در المان‌های پوسته، تنش درون‌صفحه‌ای به‌صورت تنش صفحه‌ای در نظر گرفته می‌شود. علاوه بر آن، برای مؤلفه‌های کرنش برشی عرضی \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) از \(\kappa\, G\) همراه با ضریب تصحیح برش \(\kappa\) (معمولاً \(\kappa = 5/6\)) استفاده می‌شود. برای صورت‌بندی دقیق هر المان، به صورت‌بندی‌های پیشرفته المان مراجعه کنید. مشخصه «المان‌های پوسته فقط از کشسانی خطی پشتیبانی می‌کنند» در بخش قابلیت‌ها 03_material بر همین ساده‌سازی حالت درون‌صفحه‌ای به‌صورت تنش صفحه‌ای استوار است.

وابستگی به دما

مدول Young یعنی \(E\)، نسبت Poisson یعنی \(\nu\) و ضریب انبساط خطی \(\alpha\) معمولاً به‌صورت تابعی از دما \(T\) مشخص می‌شوند. در FrontISTR، مقادیر در یک دنباله محدود از نقاط دمایی \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) وارد می‌شوند و مقدار در دمای محاسباتی \(T\) با درون‌یابی خطی میان نقاط مجاور ارزیابی می‌شود. برای دماهای خارج از بازه (\(T < T_1\) یا \(T > T_n\))، مقدار نزدیک‌ترین نقطه انتهایی \(T_1\) یا \(T_n\) برای برون‌یابی استفاده می‌شود (برون‌یابی ثابت).

برای وابستگی دمایی خواص حرارتی و هدایت گرمایی (چگالی، گرمای ویژه و رسانندگی حرارتی)، به خواص حرارتی مراجعه کنید. قواعد درون‌یابی برای این خواص نیز یکسان است.

موارد مرتبط