پرش به محتویات

الاستوپلاستیسیته

این فصل چارچوب رابطه ساختاری الاستوپلاستیک مورد استفاده در FrontISTR را شرح می‌دهد. برای جزئیات انتخاب و تعیین ورودی، به بخش قابلیت‌ها 03_material مراجعه کنید.

پدیده (تغییرشکل پلاستیک)

TBD (در مرحله بعد تکمیل می‌شود).

چارچوب قانون ساختاری

FrontISTR یک رابطه ساختاری الاستوپلاستیک مبتنی بر قانون جریان مرتبط را به‌کار می‌گیرد. این رابطه ساختاری ارتباط بین نرخ Jaumann تنش Kirchhoff و تانسور نرخ تغییرشکل را بیان می‌کند و تحلیل تغییرشکل با فرمول‌بندی لاگرانژی به‌روزشده انجام می‌شود.

فرض می‌کنیم شرط تسلیم ماده الاستوپلاستیک به صورت زیر داده شود.

شرط تسلیم اولیه:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

شرط تسلیم بعدی:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

که در آن،

  • \(F\): تابع تسلیم
  • \(\sigma_{y_0}\): تنش تسلیم اولیه
  • \(\sigma_y\): تنش تسلیم بعدی
  • \(\sigma\): تانسور تنش
  • \(e\): تانسور کرنش کوچک
  • \(e^p\): تانسور کرنش پلاستیک
  • \(\overline{e}^p\): کرنش پلاستیک معادل

فرض می‌شود رابطه تنش تسلیم–کرنش پلاستیک معادل با رابطه تنش–کرنش پلاستیک در حالت تک‌محوری یکسان باشد.

رابطه تنش–کرنش پلاستیک در حالت تک‌محوری

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

که در آن \(H'\) مدول سخت‌شوندگی کرنشی است.

رابطه تنش معادل–کرنش پلاستیک معادل

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

تابع تسلیم بعدی در حالت کلی تابعی از دما و کار کرنش پلاستیک است، اما برای سادگی در اینجا فرض می‌شود فقط تابعی از کرنش پلاستیک معادل \(\overline{e}^p\) باشد. در حین پیشرفت تغییرشکل پلاستیک باید \(F = 0\) همواره برقرار بماند؛ بنابراین معادله زیر باید ارضا شود.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

در اینجا \(\dot{F}\) مشتق زمانی \(F\) را نشان می‌دهد. از این پس مشتق زمانی کمیت \(A\) با \(\dot{A}\) نمایش داده می‌شود.

اکنون وجود پتانسیل پلاستیک \(\Theta\) را فرض کرده و نرخ کرنش پلاستیک را با معادله زیر بیان می‌کنیم.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

که در آن \(\dot{\lambda}\) یک ضریب است.

علاوه بر این، با فرض برابر بودن پتانسیل پلاستیک \(\Theta\) و تابع تسلیم \(F\)، قانون جریان مرتبط زیر در نظر گرفته می‌شود.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

با جایگذاری این رابطه در شرط سازگاری، معادله زیر به دست می‌آید.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

در اینجا \(D\) ماتریس الاستیک است و

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

رابطه تنش–کرنش الاستوپلاستیک را می‌توان به صورت زیر نوشت.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

اگر تابع تسلیم \(F\) ماده الاستوپلاستیک معلوم باشد، رابطه ساختاری آن از این عبارت به دست می‌آید.

توابع تسلیم

در ادامه توابع تسلیم الاستوپلاستیک مورد استفاده در FrontISTR فهرست می‌شوند.

تابع تسلیم Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

در اینجا \(J_2\) ناوردای دوم تانسور تنش انحرافی است.

تابع تسلیم Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

در اینجا \(\sigma_1, \sigma_3\) به‌ترتیب تنش‌های اصلی بیشینه و کمینه، \(c\) چسبندگی و \(\phi\) زاویه اصطکاک داخلی هستند.

تابع تسلیم Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

در اینجا ثابت‌های ماده \(\alpha\) و \(\sigma_y\) از چسبندگی و زاویه اصطکاک ماده مطابق روابط زیر محاسبه می‌شوند.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

موارد مرتبط