پرش به محتویات

توابع شکل و تقریب اجزای محدود

برای حل عددی فرم ضعیف اصل کار مجازی، دامنه جسم به تعداد محدودی المان تقسیم می‌شود و مختصات نقاط مادی، جابه‌جایی و تابع آزمون داخل هر المان با مقادیر گره‌ای و توابع شکل درون‌یابی می‌شوند. مشتقات فضایی توابع شکل در مشتقات فضایی توابع شکل، گسسته‌سازی فرم ضعیف در گسسته‌سازی کار مجازی داخلی، و شکل دقیق توابع شکل برای هر نوع المان در سامانه شماره‌گذاری المان و کتابخانه توابع شکل و بخش‌های بعدی بیان می‌شوند.

تقسیم دامنه و جمع المانی انتگرال‌ها

دامنه \(\Omega_0\) در پیکربندی مرجع و دامنه \(\Omega\) در پیکربندی جاری به‌ترتیب با اجتماع المان‌های \(\Omega^e_0\) و \(\Omega^e\) تقریب زده می‌شوند:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) شماره المان است و مرز المان میان المان‌های مجاور مشترک است.) در نتیجه انتگرال‌های حجمی و سطحی در اصل کار مجازی به مجموع انتگرال‌های هر المان تجزیه می‌شوند:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(برای پیکربندی جاری نیز با جایگزینی \(dV \to dv\)، \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) و \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) همین رابطه برقرار است.) از این پس ارزیابی فرم ضعیف به ساخت انتگرال‌های المان‌به‌المان تقلیل می‌یابد.

درون‌یابی با مقادیر گره‌ای و توابع شکل (المان ایزوپارامتریک)

به هر المان \(\Omega^e_0\) تعداد \(n_e\) گره اختصاص داده می‌شود. مختصات پیکربندی مرجع و جابه‌جایی گره \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) از المان را \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) می‌نامیم. بردارهای گره‌ای المان \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) و \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) با کنار هم قرار دادن این مقادیر ساخته می‌شوند و تنها مؤلفه‌های گره‌های تشکیل‌دهنده المان \(e\) را از بردارهای گره‌ای کلی \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) استخراج می‌کنند (\(n_g\) تعداد کل گره‌ها است).

با استفاده از مختصات طبیعی \(\boldsymbol{r}\)، یعنی مختصات محلی داخل المان، به‌عنوان پارامتر، توابع شکل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) مختصات مادی، جابه‌جایی و تابع آزمون را در داخل المان با همان توابع شکل درون‌یابی می‌کنند (المان ایزوپارامتریک و روش Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

توابع شکل به گونه‌ای ساخته می‌شوند که دو خاصیت زیر را داشته باشند و هندسه المان نیز چنان انتخاب می‌شود که نگاشت \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) از مختصات طبیعی به مختصات مادی در داخل المان یک‌به‌یک باشد:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) نقطه مختصات طبیعی متناظر با گره \(\alpha\) و \(\delta_{\alpha\beta}\) دلتای Kronecker است.) رابطه اول بازتولید انتقال صلب را تضمین می‌کند و رابطه دوم تضمین می‌کند مقدار درون‌یابی‌شده در هر گره با مقدار گره‌ای همان گره برابر باشد. فرم دقیق \(n_e\) و \(N_\alpha^e\) برای هر نوع المان در سامانه شماره‌گذاری المان و کتابخانه توابع شکل و بخش‌های بعدی ارائه شده است. برای جلوگیری از پیچیدگی نمادگذاری، وابستگی به نوع المان با بالانویس المانی \(e\) نمایش داده می‌شود.

با قواعد درون‌یابی بالا، تابع زیرانتگرال فرم ضعیف را می‌توان فقط بر حسب مقادیر گره‌ای المان \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) و \(N_\alpha^e\) بیان کرد. در مقابل، کرنش از جابه‌جایی درون‌یابی‌شده و رابطه کرنش–جابه‌جایی و تنش از آن کرنش و قانون ساختاری ماده به دست می‌آید و مستقیماً از مقادیر گره‌ای درون‌یابی نمی‌شود. این کمیت‌ها در نقاط انتگرال‌گیری داخل المان ارزیابی می‌شوند (انتگرال‌گیری عددی).

قاعده ترتیب بردارهای گره‌ای کلی

کمیت‌های تخصیص‌یافته به گره‌ها در بردار گره‌ای کلی به ترتیب صعودی شماره گره → درجه آزادی چیده می‌شوند. اگر مؤلفه درجه آزادی \(i\) در گره \(\alpha\) با \(u_{i\alpha}\) نشان داده شود، در سه بعد (\(i=1,2,3\)) و دو بعد (\(i=1,2\)) به‌ترتیب داریم:

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

مختصات \(\boldsymbol{X}^n\) و تابع آزمون \(\delta\boldsymbol{u}^n\) نیز همین ترتیب را دنبال می‌کنند. از این پس تبدیل‌های ماتریسی و برداری با حالت سه‌بعدی به‌عنوان حالت نماینده نوشته می‌شوند.

موارد مرتبط