پرش به محتویات

مشتقات فضایی توابع شکل

توابع شکل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) که در توابع شکل و تقریب اجزای محدود معرفی شدند، تابعی از مختصات طبیعی \(\boldsymbol{r}\) یعنی مختصات محلی المان هستند. از سوی دیگر، در تابع زیرانتگرال فرم ضعیف، از طریق رابطه کرنش–جابه‌جایی مشتقات جزئی نسبت به مختصات فیزیکی (پیکربندی مرجع \(\boldsymbol{X}\) یا پیکربندی جاری \(\boldsymbol{x}\))، یعنی \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) یا \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) ظاهر می‌شوند. این فصل روش محاسبه این مشتقات فضایی توابع شکل را از مختصات گره‌های المان و مشتقات نسبت به مختصات طبیعی جمع‌بندی می‌کند.

بیان مشتقات فضایی با قاعده زنجیره‌ای

با اعمال قاعده زنجیره‌ای به رابطه درون‌یابی \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (فصل قبل) و استفاده از ماتریس ژاکوبین \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) برای نگاشت از مختصات طبیعی به مختصات فیزیکی، داریم:

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

در اینجا \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) و \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ماتریس‌های \(n_e \times 3\) هستند که سطر \(\alpha\) در آن‌ها بردار مشتق جزئی گره \(\alpha\) را نشان می‌دهد.

ساخت ماتریس ژاکوبین

با مشتق‌گیری از رابطه درون‌یابی نسبت به \(\boldsymbol{r}\)،

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

به دست می‌آید و بنابراین ماتریس ژاکوبین را می‌توان مستقیماً از مختصات گره‌های المان \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) و مشتقات مختصات طبیعی \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ساخت. مشتقات مختصات طبیعی از فرم تابعی توابع شکل تعیین می‌شوند و برای هر نوع المان از پیش پیاده‌سازی شده‌اند.

دترمینان ماتریس ژاکوبین \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) در انتگرال‌گیری عددی برای تبدیل المان حجمی \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) استفاده می‌شود. اگر دترمینان \(0\) شود، المان واگرا یا دژنره است و محاسبه شکست می‌خورد.

جریان محاسباتی

از استنتاج بالا، محاسبه مشتقات فضایی \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) را می‌توان به چهار مرحله زیر تقسیم کرد.

  1. محاسبه مشتقات نسبت به مختصات طبیعی: با نوع المان و مختصات طبیعی \(\boldsymbol{r}\) نقطه ارزیابی به‌عنوان ورودی، ماتریس مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) را محاسبه کنید. چون فرم توابع شکل با نوع المان متفاوت است، پردازش بر اساس نوع المان شاخه‌بندی می‌شود.
  2. محاسبه ماتریس ژاکوبین: از مختصات گره‌ای المان \(\boldsymbol{X}^e\) و \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)، ماتریس ژاکوبین \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) را طبق رابطه بخش قبل مونتاژ کنید.
  3. محاسبه معکوس و دترمینان: معکوس \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) و دترمینان ماتریس ژاکوبین را محاسبه کنید. دترمینان در وزن انتگرال‌گیری عددی استفاده می‌شود.
  4. محاسبه مشتقات فضایی: مشتقات فضایی \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) را به‌صورت حاصل‌ضرب \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) و \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) به دست آورید.

این چهار مرحله با نوع المان و بعد فضایی (دوبعدی یا سه‌بعدی) شاخه‌بندی می‌شوند، اما جریان کلی مشترک است.

یکسان‌سازی پیکربندی مرجع و جاری

روش بالا با جایگزینی \(\boldsymbol{X}^e\) با مختصات گره‌ای جاری \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) برای محاسبه مشتقات فضایی \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) در پیکربندی جاری نیز قابل استفاده است. بنابراین در روش‌های لاگرانژ کل و لاگرانژ به‌روزشده می‌توان همان روش را تنها با تغییر مختصات گره‌ای ورودی به‌طور مشترک استفاده کرد.

موارد مرتبط