پرش به محتویات

گسسته‌سازی کار مجازی نیروهای داخلی

معادلهٔ کار مجازی در زمان \(t + \Delta t\) که در چارچوب تحلیل افزایشی ارائه شد، بسته به انتخاب پیکربندی مرجع به دو صورت روش لاگرانژی به‌روزشده (Updated Lagrange) و روش لاگرانژی کل (Total Lagrange) تقسیم می‌شود. در این فصل، با استفاده از تقریب اجزای محدود معرفی‌شده در توابع شکل و تقریب اجزای محدود و مشتق فضایی توابع شکل، کار مجازی نیروهای داخلی در هر دو فرمول‌بندی به‌صورت فضایی گسسته می‌شود و بردارهای نیروی داخلی المان \(\boldsymbol{q}^e\) برای روش UL و \(\boldsymbol{Q}^e\) برای روش TL به دست می‌آیند.

برای گره‌های تشکیل‌دهندهٔ المان \(e\) با \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)، جابه‌جایی را \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) در نظر می‌گیریم و بردار جابه‌جایی گره‌ای المان را به‌صورت \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) مرتب می‌کنیم. جابه‌جایی مجازی \(\delta \boldsymbol{u}^e\) نیز با همین ترتیب تعریف می‌شود. جابه‌جایی درون المان با توابع شکل به‌صورت \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) درون‌یابی می‌شود.

کار مجازی نیروهای داخلی در روش لاگرانژی به‌روزشده

در روش لاگرانژی به‌روزشده، پیکربندی جاری \({}^{t}\Omega\) در زمان \(t\) به‌عنوان پیکربندی مرجع در نظر گرفته می‌شود و کار مجازی نیروهای داخلی با تنش کوشی \(\boldsymbol{\sigma}\) و بخش خطی کرنش آلمانسی \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

هر مؤلفهٔ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) را می‌توان با استفاده از مشتق توابع شکل نسبت به مختصات پیکربندی جاری \(\boldsymbol{x}\)، یعنی \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)، و جابه‌جایی‌های مجازی گره‌ای \(\delta u^e_{i\alpha}\) به‌صورت یک ترکیب خطی بیان کرد. در نمادگذاری وُیگت، این رابطه به صورت

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

جمع‌بندی می‌شود. بلوک گره‌ای \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) یک ماتریس \(6 \times 3\) است که با چیدمان \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) طبق قرارداد وُیگت ساخته می‌شود، و \(\boldsymbol{B}_L\) ماتریس رابطهٔ کرنش–جابه‌جایی در روش UL است. با جایگذاری این رابطه در کار مجازی نیروهای داخلی و خارج کردن \(\delta \boldsymbol{u}^e\)، داریم:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

بلوک گره‌ای \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) از \(\boldsymbol{q}^e\)، نیروی داخلی المان \(\Omega^e\) است که بر گره تشکیل‌دهندهٔ \(\alpha\) وارد می‌شود.

کار مجازی نیروهای داخلی در روش لاگرانژی کل

در روش لاگرانژی کل، پیکربندی اولیه \(\Omega_0\) به‌عنوان پیکربندی مرجع در نظر گرفته می‌شود و کار مجازی نیروهای داخلی با تنش دوم پیولا–کیرشهف \(\boldsymbol{S}\) و کرنش گرین–لاگرانژ \(\boldsymbol{E}\) به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

\(\delta \boldsymbol{E}\) به یک جملهٔ خطی نسبت به جابه‌جایی مجازی و یک جملهٔ غیرخطی شامل حاصل‌ضرب با گرادیان جابه‌جایی جاری \(\partial u_k/\partial X_j\) تفکیک می‌شود:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

جملهٔ خطی را می‌توان با اعمال همان قاعدهٔ چیدمان روش UL به \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) و با بلوک گره‌ای \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) به‌صورت

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

نوشت. به‌علت تفاوت پیکربندی مرجع، فقط مؤلفه‌ها از \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) به \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) تغییر می‌کنند و همان نماد روش UL به کار می‌رود. جملهٔ غیرخطی با بلوک گره‌ای \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ساخته می‌شود که از چیدمان حاصل‌ضرب‌های گرادیان جابه‌جایی جاری \(\partial u_k/\partial X_j\) و \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) طبق قرارداد وُیگت به دست می‌آید:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

بنابراین \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) و \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ماتریس رابطهٔ کرنش–جابه‌جایی در روش TL است. با جایگذاری آن در کار مجازی نیروهای داخلی، داریم:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

بلوک گره‌ای \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) نیروی داخلی المان \(\Omega^e_0\) است که بر گره تشکیل‌دهندهٔ \(\alpha\) وارد می‌شود.

رابطهٔ متناظر UL/TL و روند محاسبه

بردارهای نیروی داخلی المان در روش لاگرانژی به‌روزشده و روش لاگرانژی کل به صورت زیر با یکدیگر متناظرند.

مورد روش لاگرانژی به‌روزشده روش لاگرانژی کل
پیکربندی مرجع پیکربندی جاری \({}^{t}\Omega^e\) پیکربندی اولیه \(\Omega^e_0\)
تانسور تنش تنش کوشی \(\boldsymbol{\sigma}\) تنش دوم PK \(\boldsymbol{S}\)
تغییرات کرنش \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
ماتریس B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\)، \(\partial u/\partial X\))
نیروی داخلی المان \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

هر دو با یک رویه پردازش می‌شوند: \(\boldsymbol{B}_L\) از مشتق‌های فضایی توابع شکل ساخته می‌شود؛ در روش TL، \(\boldsymbol{B}_{NL}\) از گرادیان جابه‌جایی جاری ساخته و افزوده می‌شود؛ تنش (\(\boldsymbol{\sigma}\) یا \(\boldsymbol{S}\)) مطابق قانون رفتاری به‌روزرسانی می‌شود؛ و \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) یا \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) در نقاط انتگرال روی دامنهٔ المان به‌صورت عددی انتگرال‌گیری می‌شود (انتگرال‌گیری عددی). به‌جز تغییر پیکربندی مرجع، یعنی مختصات گره‌ها و نحوهٔ تشکیل ماتریس \(\boldsymbol{B}\)، و جایگزینی تانسور تنش، بقیهٔ پردازش مشترک است؛ بنابراین محاسبات نیروی داخلی هر دو روش در FrontISTR با زیربرنامه‌های مشترک پیاده‌سازی می‌شود. مونتاژ بردارهای نیروی داخلی المان \(\boldsymbol{q}^e\) و \(\boldsymbol{Q}^e\) در بردار نیروی داخلی سراسری در کار مجازی نیروهای خارجی و مونتاژ معادلات سراسری بررسی می‌شود.

موارد مرتبط