پرش به محتویات

کار مجازی نیروهای خارجی و مونتاژ معادلات کلی

در گسسته‌سازی کار مجازی نیروهای داخلی، سمت چپ فرم ضعیف به بردار نیروی داخلی المان \(\boldsymbol{q}^e\) (روش UL) یا \(\boldsymbol{Q}^e\) (روش TL) تقلیل داده شد. در این فصل، بردار نیروی خارجی گره‌ای المان \(\boldsymbol{F}^e\) از کار مجازی نیروهای خارجی معرفی می‌شود و سپس با عملیات مونتاژ که کمیت‌های گره‌ای المان را بر اساس شماره گره کلی مرتب و جمع می‌کند، دستگاه معادلات غیرخطی بر حسب جابه‌جایی‌های گره‌ای که تحلیل سازه‌ای غیرخطی FrontISTR باید حل کند به دست می‌آید.

تجزیه المانی کار مجازی نیروهای خارجی

سمت راست اصل کار مجازی را می‌توان المان‌به‌المان به کار مجازی نیروهای خارجی شامل نیروهای حجمی (نیروی جسمی) و کشش‌های سطحی تجویزشده روی مرزهای مکانیکی تجزیه کرد. برای نوشتن درون‌یابی جابه‌جایی معرفی‌شده در توابع شکل و تقریب اجزای محدود به صورت ماتریسی، بلوک قطری \(d \times d\) با تابع شکل \(N_\alpha^e\) گره \(\alpha\) را \(\boldsymbol{N}_\alpha\) تعریف کرده و با کنار هم قرار دادن آن‌ها \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) را می‌سازیم تا \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) باشد. با جایگذاری این رابطه در کار مجازی نیروهای خارجی نوشته‌شده در پیکربندی مرجع،

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

به دست می‌آید. در اینجا بردار نیروی خارجی گره‌ای المان به صورت \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) مرتب شده است. بدین ترتیب کار مجازی نیروی خارجی، همانند سمت نیروی داخلی، به فرم «بردار گره‌ای المان × تابع آزمون» کاهش می‌یابد (در پیکربندی جاری نیز با جایگزینی \(dV \to dv\)، \(\rho_0 \to \rho\) و \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) همین فرم حاصل می‌شود).

مونتاژ کمیت‌های گره‌ای المان

کمیت‌های گره‌ای \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) که برای هر المان به دست آمده‌اند در بردارهای کلی مرتب‌شده بر حسب شماره گره کلی جمع می‌شوند. شماره گره کلی متناظر با شماره گره محلی \(\alpha\) در المان \(\Omega^e\) را

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

می‌نامیم؛ در این صورت کمیت گره‌ای المان با مؤلفه متناظر کمیت گره‌ای کلی برابر است (برای مثال \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). چون گره \(i_g\) معمولاً میان چند المان مشترک است، مجموعه زوج‌های \((e, \alpha)\) که شماره گره کلی آن‌ها \(i_g\) است به صورت

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

تعریف می‌شود. با استفاده از آن و بازنویسی مجموع به صورت \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\)، نیروی داخلی گره‌ای و بردار نیروی داخلی کلی روی همه \(n_g\) گره به دست می‌آیند:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

در اینجا \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) برآیند نیروهای داخلی گره‌ای المان‌های وارد بر گره \(i_g\) است و اگر نیروی خارجی اعمال نشود و تعادل برقرار باشد، برابر \(\boldsymbol{0}\) می‌شود. در روش UL نیز همین فرایند \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) را می‌دهد و چون از نظر مقدار \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) است، از این پس جز در موارد نیاز به تمایز از نماد \(\boldsymbol{Q}\) استفاده می‌شود. بردار نیروی خارجی کلی \(\boldsymbol{F}\) نیز با همان جمع‌بندی به دست می‌آید.

در پیاده‌سازی، مجموعه \(\mathcal{E}(i_g)\) به‌صورت صریح ساخته نمی‌شود؛ سهم‌ها درون حلقه المان مستقیماً به مؤلفه متناظر افزوده می‌شوند.

بردار نیروی داخلی کلی Q را با 0 مقداردهی اولیه کنید: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (تعداد المان‌ها)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

بردار نیروی خارجی کلی \(\boldsymbol{F}\) نیز به همین روش ساخته می‌شود. این عملیات افزودن و ذخیره کردن کمیت‌های گره‌ای المان در بردارها و ماتریس‌های شماره‌گذاری‌شده با شماره گره کلی، مونتاژ (assemble) نامیده می‌شود. برای تانسورهای مرتبه دوم وابسته به دو شماره گره (مانند ماتریس سختی)، با استفاده از مجموعه \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) همان نوع عملیات مونتاژ انجام می‌شود (برای ساخت دقیق به ماتریس سختی مماسی مراجعه کنید).

معادلات غیرخطی مورد حل

با جایگذاری نتایج مونتاژ نیروهای داخلی و خارجی در اصل کار مجازی و استفاده از این واقعیت که رابطه برای هر تابع آزمون \(\delta\boldsymbol{u}^n\) که شرایط مرزی هندسی را ارضا کند برقرار است،

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

به دست می‌آید. در چارچوب تحلیل افزایشی (چارچوب تحلیل افزایشی) با بازگرداندن زیرنویس زمانی \(_{n+1}\) و حذف بالانویس \(^n\) که بردار گره‌ای کلی را نشان می‌دهد، معادله‌ای که باید حل شود چنین است:

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

بنابراین مسئله مقدار مرزی گسسته برای یافتن جابه‌جایی گره‌ای \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) در زمان \(t_{n+1}\) به حل این معادله غیرخطی بر حسب جابه‌جایی همراه با شرایط مرزی هندسی تقلیل می‌یابد. خطی‌سازی معادله و ساخت ماتریس سختی مماسی در ماتریس سختی مماسی و روش حل تکراری در روش Newton-Raphson توضیح داده شده‌اند.

موارد مرتبط