پرش به محتویات

انتگرال‌گیری عددی

بردارهای نیروی داخلی المان \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) و ماتریس سختی المان \(\boldsymbol{K}^e\) که در گسسته‌سازی کار مجازی داخلی و کار مجازی نیروی خارجی و مونتاژ معادله کلی به دست آمده‌اند، به صورت انتگرال روی دامنه المان \(\Omega^e\) یا \(\Omega^e_0\) هستند. FrontISTR این انتگرال‌ها را به‌صورت عددی با فرمول انتگرال‌گیری Gauss ارزیابی می‌کند.

انتگرال‌گیری Gauss و تغییر متغیر

فرمول انتگرال‌گیری Gauss، انتگرال روی دامنه مرجع \(\Xi\) را با ترکیب خطی مقادیر تابع زیرانتگرال در نقاط انتگرال‌گیری \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) و وزن‌های \(w_i\) تقریب می‌زند. اعمال آن بر دامنه المان \(\Omega^e\) با تغییر متغیر از طریق نگاشت \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) همراه است:

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

که در آن \(n_q\) تعداد نقاط انتگرال‌گیری و \(J_{\xi_i}\) دترمینان ماتریس ژاکوبین تبدیل است. دامنه مرجع \(\Xi\) برای هر نوع المان تعریف می‌شود (برای شش‌وجهی \([-1,1]^3\) و برای مثلث، چهاروجهی و گوه، شکل مرجع متناظر) و نقاط انتگرال‌گیری \(\boldsymbol{\xi}_i\) و وزن‌های \(w_i\) به صورت جدول‌های عددی داده می‌شوند. انتگرال سطحی نیز با نگاشت وجه المان از دامنه مرجع دوبعدی به همین شکل محاسبه می‌شود.

تعداد متداول نقاط انتگرال‌گیری مورد استفاده در FrontISTR در جدول زیر آمده است (برای تطابق با انواع المان، به سامانه شماره‌گذاری المان و کتابخانه توابع شکل مراجعه کنید).

نوع المان قاعده انتگرال‌گیری تعداد نقاط انتگرال‌گیری
چهاروجهی 4 گره (tet4n) قاعده 1 نقطه‌ای 1
چهاروجهی 10 گره (tet10n) قاعده 4 نقطه‌ای 4
منشور مثلثی 6 گره (prism6n) قاعده 2 نقطه‌ای 2
منشور مثلثی 15 گره (prism15n) قاعده 9 نقطه‌ای 9
شش‌وجهی 8 گره (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
شش‌وجهی 20 گره (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
چهارضلعی 4 گره (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
چهارضلعی 8 گره (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
مثلث 3 گره (tri3n) قاعده 1 نقطه‌ای 1
مثلث 6 گره (tri6n) قاعده 3 نقطه‌ای 3

برای المان‌های شش‌وجهی، چهارضلعی و خطی، حاصل‌ضرب تانسوری قاعده Gauss-Legendre در هر راستای مختصات به‌کار می‌رود. برای مثلث، چهاروجهی و منشور مثلثی از قواعد اختصاصی متناسب با هندسه سیمپلکس استفاده می‌شود (چیدمان نقاطی که چندجمله‌ای‌ها را روی خود مثلث به‌طور دقیق انتگرال می‌گیرند).

کاربرد در انتگرال‌گیری المان

در انتگرال‌گیری المان، مختصات طبیعی \(\boldsymbol{r}\) به‌عنوان مختصات دامنه مرجع (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) استفاده می‌شود و نگاشت به مختصات فیزیکی با درون‌یابی مختصات گره‌ها توسط توابع شکل داده می‌شود. بسته به انتخاب پیکربندی مرجع (چارچوب تحلیل افزایشی)، صورت‌بندی‌های زیر به‌کار می‌روند.

روش لاگرانژ کل (انتگرال‌گیری روی پیکربندی مرجع \(\Omega^e_0\)): نگاشت و ژاکوبین به صورت

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

و نیروی داخلی المان و ماتریس سختی به صورت

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

تقریب زده می‌شوند. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) همگی در نقطه انتگرال‌گیری \(\boldsymbol{r}_i\) ارزیابی می‌شوند.

روش لاگرانژ به‌روزشده (انتگرال‌گیری روی پیکربندی جاری \(\Omega^e\)): نگاشت و ژاکوبین به صورت

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

و

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

تقریب زده می‌شوند.

تنها تفاوت این دو صورت‌بندی در این است که مختصات گره‌ای ورودی نگاشت \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) است یا \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)؛ نقاط انتگرال‌گیری، وزن‌ها و ساختار حلقه نقاط انتگرال‌گیری در هر دو مشترک هستند.

انتگرال‌گیری کامل و انتگرال‌گیری کاهش‌یافته

انتگرال‌گیری با تعداد کافی نقاط برای انتگرال‌گیری دقیق درجه چندجمله‌ای تابع زیرانتگرال، انتگرال‌گیری کامل نامیده می‌شود؛ استفاده از یک مرتبه نقاط کمتر، انتگرال‌گیری کاهش‌یافته است. انتگرال‌گیری کاهش‌یافته برای کاهش قفل‌شدگی برشی و حجمی استفاده می‌شود، اما نیازمند کنترل مودهای تغییرشکل کاذب مانند مودهای ساعت‌شنی است. تعداد نقاط انتگرال‌گیری هر نوع المان و انتخاب میان انتگرال‌گیری کامل و کاهش‌یافته در سامانه شماره‌گذاری المان و کتابخانه توابع شکل و بخش‌های بعدی و نیز صورت‌بندی‌های پیشرفته المان توضیح داده شده است.

موارد مرتبط