پرش به محتویات

توابع شکل المان‌های جامد سه‌بعدی

در این فصل، برای تابع شکل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) که در توابع شکل و تقریب اجزای محدود معرفی شد، دستگاه مختصات طبیعی و شکل صریح توابع شکل المان‌های جامد سه‌بعدی مورد استفادهٔ FrontISTR در تحلیل محیط پیوسته جمع‌بندی می‌شود. شش نوع المان مورد نظر عبارت‌اند از: چهاروجهی مرتبهٔ اول/دوم (341 و 342)، منشور مثلثی مرتبهٔ اول/دوم (351 و 352)، و شش‌وجهی مرتبهٔ اول/دوم (361 و 362). برای ترتیب گره‌ها و شماره‌گذاری وجه‌ها در قالب مش HEC-MW، به کتابخانهٔ المان در مرجع قابلیت‌ها مراجعه کنید.

رویهٔ تشکیل انتگرال‌گیری المانی از این توابع شکل و دترمینان ژاکوبی مطابق انتگرال‌گیری عددی است. فرمول‌بندی‌های B-bar، F-bar و ناسازگار برای 361، و نیز توابع شکل المان‌های تیر و پوسته، در فرمول‌بندی المان‌های پیشرفته بررسی می‌شوند.

دستگاه مختصات طبیعی و ترتیب داخلی گره‌ها

توابع شکل روی مختصات طبیعی \(\boldsymbol{r}\) مخصوص هر المان تعریف می‌شوند. در المان‌های جامد سه‌بعدی، بسته به شکل المان، از سه نوع دستگاه مختصات طبیعی زیر استفاده می‌شود.

  • شش‌وجهی (361 و 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)، با \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • چهاروجهی (341 و 342): مختصات حجمی \((L_1, L_2, L_3, L_4)\)، با \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) و \(L_i \ge 0\). به‌عنوان متغیرهای مستقل، \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) در نظر گرفته می‌شود و \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) تعیین می‌گردد.
  • منشور مثلثی (351 و 352): مختصات حجمی مثلث قاعده \((\xi, \eta)\)، با \(0 \le \xi, \eta\) و \(\xi + \eta \le 1\)، با مختصات محوری \(\zeta \in [-1, 1]\) ترکیب می‌شوند و \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) را می‌سازند. کمیت کمکی \(a = 1 - \xi - \eta\) به‌عنوان سومین مختصهٔ حجمی قاعده استفاده می‌شود.

برای المان‌های مرتبهٔ اول، شماره‌گذاری گره‌ها در قالب ورودی HEC-MW با قالب داخلی یکسان است. در المان‌های مرتبهٔ دوم، قرارداد ترتیب گره‌های میانی یال‌ها بین این دو قالب متفاوت است. FrontISTR در ورودی، قالب HEC-MW را می‌پذیرد که در آن پس از پیمایش گره‌های گوشه، گره‌های میانی به‌ترتیب یال‌های 1-2، 2-3، … چیده می‌شوند، در حالی که توابع شکل کتابخانهٔ المان بر ترتیب دیگری از گره‌ها پیاده‌سازی شده‌اند.

این تفاوت با بازچینی هر المان توسط hecmw2fstr_mesh_conv، که بلافاصله پس از خواندن مش فراخوانی می‌شود، برطرف می‌گردد. در میان المان‌های جامد سه‌بعدی، دو نوع زیر نیاز به تبدیل دارند.

نوع المان جدول تبدیل محتوا
342 (چهاروجهی مرتبهٔ دوم) Table342 10 گره را به ترتیب \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) بازچینی می‌کند
352 (منشور مثلثی مرتبهٔ دوم) Table352 15 گره را به ترتیب \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) بازچینی می‌کند

از آنجا که بازچینی مستقیماً روی آرایهٔ ذخیره‌سازی اطلاعات اتصال المان انجام می‌شود، همهٔ فراخوانی‌های بعدی کتابخانهٔ المان از ترتیب داخلی گره‌های FrontISTR استفاده می‌کنند. برای المان شش‌وجهی مرتبهٔ دوم 362، ترتیب گره‌های میانی در قالب ورودی HEC-MW و قالب داخلی FrontISTR یکسان است، بنابراین جدول تبدیلی وجود ندارد. هنگام خروجی نیز ابتدا تبدیل معکوس fstr2hecmw_mesh_conv فراخوانی می‌شود تا ترتیب گره‌ها به قالب HEC-MW بازگردد و سپس داده نوشته شود؛ در نتیجه کاربر در ورودی و خروجی فقط لازم است قالب HEC-MW را در نظر بگیرد. شماره‌های گره در توابع شکل زیر بر اساس قالب داخلی FrontISTR پس از تبدیل هستند.

توابع شکل المان‌های مرتبهٔ اول

تابع شکل المان چهاروجهی مرتبهٔ اول (341) همان مختصات حجمی است:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

توابع شکل المان منشور مثلثی مرتبهٔ اول (351) حاصل‌ضرب توابع شکل خطی مثلث قاعده (\(a, \xi, \eta\)) و توابع شکل خطی در راستای محور (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) هستند:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

توابع شکل المان شش‌وجهی مرتبهٔ اول (361) حاصل‌ضرب تانسوری توابع شکل خطی در سه راستای محوری هستند:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

در اینجا \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) مقادیر مختصات طبیعی گره \(\alpha\) را نشان می‌دهند که هر مؤلفهٔ آن \(\pm 1\) است.

توابع شکل المان‌های مرتبهٔ دوم

توابع شکل المان چهاروجهی مرتبهٔ دوم (342) به 4 گرهٔ گوشه و 6 گرهٔ میانی یال تقسیم می‌شوند:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

گره‌های میانی 5 تا 10 به‌ترتیب متناظر با نقاط میانی یال‌های 1-2، 2-3، 1-3، 1-4، 2-4 و 3-4 هستند.

توابع شکل المان منشور مثلثی مرتبهٔ دوم (352) از 6 گرهٔ گوشه، 6 گرهٔ میانی یال روی وجه‌های مثلثی، و 3 گرهٔ میانی یال‌های محوری تشکیل می‌شوند:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

گره‌های میانی 7 تا 9 متناظر با نقاط میانی یال‌های مثلث قاعده (\(\zeta = -1\))، گره‌های 10 تا 12 متناظر با نقاط میانی یال‌های مثلث بالایی (\(\zeta = +1\))، و گره‌های 13 تا 15 متناظر با نقاط میانی یال‌های محوری هستند.

المان شش‌وجهی مرتبهٔ دوم (362) یک المان 20 گره‌ای از خانوادهٔ سرندیپیتی است. مختصات طبیعی گره \(\alpha\) را \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) می‌نامیم. برای گره‌های گوشه (\(\alpha = 1, \ldots, 8\)، که هر مؤلفهٔ آن‌ها \(\pm 1\) است):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

برای گره‌های میانی یال (\(\alpha = 9, \ldots, 20\)، که یکی از سه مختصهٔ طبیعی برابر \(0\) و دو مختصهٔ دیگر برابر \(\pm 1\) هستند)، برای گره‌هایی با \(\xi_\alpha = 0\) که راستای یال، محور \(\xi\) است، داریم:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

برای گره‌های میانی یال در راستای محورهای \(\eta\) و \(\zeta\) نیز به همین ترتیب، مختصهٔ طبیعی متناظر با جملهٔ درجه‌دوم حذف می‌شود.

موارد مرتبط