پرش به محتویات

Translation update pending

The Persian (Iran) translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

فرمول‌بندی المان‌های پیشرفته

فرمول‌بندی استاندارد مبتنی بر جابه‌جایی که در فرمول‌بندی المان‌های سالید سه‌بعدی معرفی شد، هنگام کاربرد برای مواد تقریباً تراکم‌ناپذیر یا سازه‌های نازک با رفتار غالب خمشی، ممکن است سختی مصنوعی بیش از حدی موسوم به قفل‌شدگی (قفل‌شدگی حجمی و قفل‌شدگی برشی) نشان دهد. برای اجتناب از آن، FrontISTR روش‌های B-bar و F-bar را که فقط بخش حجمی ماتریس B یا گرادیان تغییرشکل را جایگزین می‌کنند، المان ناسازگار با درجات آزادی داخلی، المان مختلط u-p با فشار به‌عنوان میدان مجهول مستقل، و نیز المان‌های پوسته MITC و تیر ویژه سازه‌های صفحه‌ای و خطی فراهم می‌کند.

در این فصل، فرمول‌بندی این المان‌های پیشرفته و سازه‌ای بر حسب نوع المان سازمان‌دهی می‌شوند.

روش B-bar

اگر المان هگزاهدرال خطی 8گرهی برای ماده تقریباً تراکم‌ناپذیر به کار رود، کرنش داخل یک المان با قید حجم ثابت ناسازگار می‌شود و سختی مصنوعی موسوم به قفل‌شدگی حجمی پدید می‌آید. روش B-bar [Hughes1980] مؤلفه‌های ماتریس B که در انبساط حجمی سهم دارند را با مقادیر ارزیابی‌شده در مرکز المان جایگزین می‌کند و بیش‌قیدی را کاهش می‌دهد.

ماتریس B محاسبه‌شده از مشتقات مکانی توابع شکل در مرکز المان \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) را \(\bar{\boldsymbol{B}}\) و ماتریس B معمول در نقطه انتگرال‌گیری \(\boldsymbol{r}\) را \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) در نظر می‌گیریم. در رابطه جابه‌جایی–کرنش برای گره \(\alpha\) و درجه آزادی \(i\)، به مؤلفه‌های کرنش حجمی \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) عبارت

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

افزوده می‌شود و برای مؤلفه‌های برشی \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) از \(\boldsymbol{B}\) معمول استفاده می‌شود. ماتریس B-bar حاصل برای مونتاژ سختی المان و بردار نیروی داخلی به کار می‌رود.

FrontISTR این فرمول‌بندی را به‌طور اختصاصی برای المان هگزاهدرال خطی 8گرهی (شناسه المان 361، سامانه شماره‌گذاری المان) ارائه می‌کند و می‌توان آن را در تغییرشکل کوچک، روش لاگرانژ کل و روش لاگرانژ به‌روزشده به کار برد.

روش F-bar

در تغییرشکل محدود، تغییر حجم از طریق گرادیان تغییرشکل \(\boldsymbol{F}\) به‌صورت غیرخطی اثر می‌گذارد. روش F-bar [deSouzaNeto1996] اقدام متناظر با B-bar برای جلوگیری از قفل‌شدگی حجمی را در سطح گرادیان تغییرشکل انجام می‌دهد.

نسبت حجمی گرادیان تغییرشکل ارزیابی‌شده در مرکز المان \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) را \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) و نسبت حجمی گرادیان تغییرشکل در نقطه انتگرال‌گیری را \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) تعریف کرده و گرادیان تغییرشکل در نقطه انتگرال‌گیری را با

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

جایگزین می‌کنیم. در نتیجه \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) و نسبت حجمی در سراسر المان با مقدار مرکز المان یکسان می‌شود. برای ارزیابی تنش و ساخت ماتریس کرنش–جابه‌جایی از \(\bar{\boldsymbol{F}}\) جایگزین‌شده استفاده می‌شود و در سختی المان نیز جمله‌های اضافی ناشی از این جایگزینی در ماتریس مماسی لحاظ می‌شوند.

FrontISTR روش F-bar را به‌طور اختصاصی برای المان هگزاهدرال خطی 8گرهی پیاده‌سازی کرده است و می‌توان آن را در تغییرشکل کوچک و هندسهٔ غیرخطی با روش‌های لاگرانژ کل / لاگرانژ به‌روزشده به کار برد.

المان ناسازگار

المان هگزاهدرال خطی 8گرهی درجات آزادی کرنشی کافی برای مد خمشی ندارد و در مسائل با رفتار غالب خمشی، قفل‌شدگی خمشی نشان می‌دهد. المان ناسازگار [Taylor1976] برای جبران این نقص، مدهای جابه‌جایی اضافی را درون المان وارد می‌کند.

علاوه بر جابه‌جایی‌های گره‌ای المان \(\boldsymbol{u}^e\)، درجات آزادی مد ناسازگار \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) که فقط درون المان وجود دارند، به تعداد 3 راستا × 3 مد در هر المان معرفی می‌شوند و میدان جابه‌جایی با

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

تقریب زده می‌شود. برای مختصات طبیعی \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)، توابع شکل ناسازگار به صورت \(M_1 = 1 - \xi^2\)، \(M_2 = 1 - \eta^2\) و \(M_3 = 1 - \zeta^2\) انتخاب می‌شوند. این توابع پیوستگی را روی مرز المان تضمین نمی‌کنند، اما فضایی را برای بازتولید کرنش‌های مد خمشی درون المان می‌افزایند.

پس از مونتاژ سختی المان به صورت بلوکی درجات آزادی خارجی–داخلی

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

درجات آزادی داخلی با میعان استاتیکی \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) حذف می‌شوند و سختی المان فقط برای درجات آزادی خارجی،

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

به مونتاژ کلی تحویل داده می‌شود.

FrontISTR المان ناسازگار را به‌طور اختصاصی برای المان هگزاهدرال خطی 8گرهی (C3D8IC) پیاده‌سازی کرده و می‌توان آن را در تغییرشکل کوچک، روش لاگرانژ کل و روش لاگرانژ به‌روزشده به کار برد.

المان مختلط U-P

در حالی که روش‌های B-bar و F-bar مؤلفه حجمی را در چارچوب مبتنی بر جابه‌جایی اصلاح می‌کنند، المان مختلط u-p (U-P) فشار \(\lambda\) را به‌عنوان میدان مجهولی مستقل از جابه‌جایی وارد می‌کند [Bathe1996]. در مواد تقریباً تراکم‌ناپذیر، مانند مواد لاستیکی با نسبت پواسون بسیار نزدیک به 0.5 یا فلز پس از تغییرشکل پلاستیک، تلاش برای ارضای قید حجم ثابت فقط با میدان جابه‌جایی موجب قفل‌شدگی حجمی می‌شود؛ مستقل کردن فشار این قید را تعدیل می‌کند.

تنش به بخش انحرافی و فشار تفکیک می‌شود:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

که در آن \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ماتریس الاستیک انحرافی است که از ماتریس الاستیک با حذف بخش حجمی متناسب با مدول بالک \(K\) به دست می‌آید. فشار \(\lambda\) و کرنش حجمی \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) با شرط قید مبتنی بر تراکم‌پذیری \(\alpha^{-1} = 1/K\) مرتبط می‌شوند:

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

گسسته‌سازی با جابه‌جایی \(\boldsymbol{u}\) و فشار \(\lambda\) به‌عنوان مجهول‌ها، دستگاه همزمان المان را به صورت

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

می‌دهد. در اینجا \(\mathbf{K}_{uu}\) شامل مؤلفه الاستیک انحرافی و در تغییرشکل محدود، سختی هندسی است؛ \(\mathbf{K}_{up}\) ماتریس کوپل کرنش حجمی و فشار است؛ و \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) جمله پایدارسازی فشار است (\(\boldsymbol{N}_p\) تابع شکل فشار است). چون درجات آزادی فشار درون المان بسته‌اند، با میعان استاتیکی

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

فقط سختی مؤثر درجات آزادی خارجی (جابه‌جایی) به مونتاژ کلی تحویل داده می‌شود.

FrontISTR المان U-P را به‌طور اختصاصی برای المان هگزاهدرال خطی 8گرهی پیاده‌سازی کرده و برای هر المان یک درجه آزادی فشار، ثابت درون المان، در نظر می‌گیرد. این فرمول‌بندی در تغییرشکل کوچک، روش لاگرانژ کل و روش لاگرانژ به‌روزشده قابل استفاده است. در روش لاگرانژ به‌روزشده، تنش انحرافی با نرخ تنش عینی (نوع Jaumann / Hughes-Winget) به‌روزرسانی می‌شود و سپس فشار \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) بر پایه مقداری که از میعان استاتیکی به دست می‌آید اعمال می‌گردد.

المان پوسته

برای سازه‌های صفحه و پوسته نازک از المان پوسته مبتنی بر نظریه صفحه Reissner-Mindlin استفاده می‌شود. در المان‌های صفحه/پوسته مرتبه پایین مبتنی بر جابه‌جایی، با کاهش ضخامت، کرنش برشی عرضی به‌وسیله سازوکاری مشابه قفل‌شدگی حجمی بیش از حد برآورد می‌شود (قفل‌شدگی برشی) و سختی نسبت به مد خمشی به‌صورت واگرا افزایش می‌یابد. روش MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] با نمونه‌برداری مجدد فقط از مؤلفه‌های کرنش برشی در نقاط تایینگ ازپیش‌تعیین‌شده داخل المان و درون‌یابی دوباره این مقادیر در المان، از این مشکل جلوگیری می‌کند.

گره‌های المان پوسته MITC روی سطح میانی پوسته قرار دارند و هر گره 6 درجه آزادی شامل 3 مؤلفه انتقال و 3 مؤلفه دوران نسبت به نرمال سطح میانی دارد. سختی المان با انتگرال‌گیری گاوسی سه‌بعدی شامل مختصات طبیعی سطح میانی و راستای ضخامت ارزیابی می‌شود و ضخامت صفحه \(h\) هنگام محاسبه رابطه ساختاری به‌عنوان ویژگی المان داده می‌شود.

FrontISTR المان‌های MITC3 (شناسه 731)، MITC4 (741) و MITC9 (743) با یک لایه روی سطح میانی، و المان‌های پوسته لایه‌ای MITC3-shell361 (761، تعداد گره 3\(\times\)2 و 3 درجه آزادی در هر گره) و MITC4-shell361 (781، تعداد گره 4\(\times\)2 و 3 درجه آزادی در هر گره) با دو لایه گره در راستای ضخامت را ارائه می‌کند. در المان‌های پوسته لایه‌ای فقط 3 مؤلفه انتقال به‌عنوان درجات آزادی گره‌ای در نظر گرفته می‌شوند و مد خمشی متناظر با درجات آزادی دوران با آرایش دولایه بیان می‌شود.

المان تیر

اعضای خطی مانند تیرها و سازه‌های قاب با المان تیر گسسته می‌شوند. المان تیر کشش محوری، خمش و پیچش را فقط با جابه‌جایی و دوران گره‌های واقع بر محور تیر نمایش می‌دهد و تغییرشکل داخل مقطع با ثابت‌های مقطع بازنمایی می‌شود.

هر گره تیر شش درجه آزادی دارد: سه مؤلفه انتقال و سه مؤلفه دوران. سختی المان با تشکیل ماتریس‌های سختی فرم‌بسته برای کشش محوری، خمش در دو راستا و پیچش در یک دستگاه مختصات محلی که با محور المان و محور مرجع مشخص‌شده در داده‌های مقطع تعریف می‌شود، و سپس تبدیل آن‌ها به دستگاه مختصات سراسری به دست می‌آید. مساحت مقطع \(A\)، ممان‌های دوم سطح \(I_y\) و \(I_z\) نسبت به محورهای محلی \(y\) و \(z\) و ثابت پیچشی به‌عنوان داده‌های مقطع مشخص می‌شوند؛ این کمیت‌ها همراه با مدول یانگ \(E\) ماده و مدول برشی \(G\) که از مدول یانگ و نسبت پواسون به دست می‌آید، ضرایب سختی متناظر را تعریف می‌کنند.

برای خمش دو فرمول‌بندی موجود است: تیر برنولی–اویلر که فرض می‌کند مقطع پس از تغییرشکل نیز بر محور تیر عمود می‌ماند و تغییرشکل برشی را نادیده می‌گیرد، و تیر تیموشنکو که تغییرشکل برشی را در نظر می‌گیرد. برای المان تیر دوگرهی 611 می‌توان هر دو را انتخاب کرد و حالت پیش‌فرض تیر برنولی–اویلر است. برای تیر تیموشنکو با طول المان \(L\)، ضرایب بیان‌کننده سهم تغییرشکل برشی،

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

در ضرایب سختی هر صفحه خمش وارد می‌شوند. برای مثال، ضریب سختی خیز در راستای محلی \(y\) برابر \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) است. در این‌جا \(A_s\) مساحت برشی است. چون داده‌های مقطع FrontISTR مقدار \(A_s\) را جداگانه ندارند، \(A_s = A\) استفاده می‌شود. این معادل ضریب تصحیح برش برابر 1 است. با قرار دادن \(\Phi_y = \Phi_z = 0\)، سختی تیر برنولی–اویلر به دست می‌آید.

المان 641 یک المان با درجات آزادی مختلط است که تیر را با دو گره دارای درجات آزادی انتقالی و دو گره دارای درجات آزادی دورانی نمایش می‌دهد و با فرمول‌بندی تیر برنولی–اویلر تعریف شده است.

موارد مرتبط