حرکت، تغییرشکل و کرنش¶

پیکربندی مرجع و پیکربندی جاری¶

تعریف پیکربندی‌ها¶

برای تمایز این‌که کمیت‌های فیزیکی با مبنا قرار دادن شکل در چه زمانی توصیف می‌شوند، در این راهنما از دو نوع پیکربندی استفاده می‌شود.

پیکربندی مرجع (reference configuration): شکل تغییرشکل‌نیافته در آغاز تحلیل (زمان \(0\)) که پیکربندی اولیه نیز نامیده می‌شود. نقطه‌ای در پیکربندی مرجع با مختصات مادی \(\boldsymbol{X}\) نمایش داده می‌شود و حجم و سطح آن به‌ترتیب \(V\) و \(S\) هستند.
پیکربندی جاری (current configuration): شکل تغییرشکل‌یافته در زمان \(t\). نقطه‌ای در پیکربندی جاری با مختصات فضایی \(\boldsymbol{x}\) نمایش داده می‌شود و حجم و سطح آن به‌ترتیب \(v\) و \(s\) هستند.

حرکت به‌صورت نگاشتی میان این دو پیکربندی، \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\)، بیان می‌شود و جابه‌جایی با \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) تعریف می‌شود.

قرارداد نمادگذاری وابسته به پیکربندی (حروف بزرگ/کوچک)¶

بزرگ یا کوچک بودن نماد مشخص می‌کند که یک کمیت فیزیکی به کدام پیکربندی تعلق دارد.

کمیت‌های متعلق به پیکربندی مرجع با نمادهای حروف بزرگ نوشته می‌شوند (برای مثال: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
کمیت‌های متعلق به پیکربندی جاری با نمادهای حروف کوچک نوشته می‌شوند (برای مثال: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
کمیت‌هایی که میان هر دو پیکربندی تعریف می‌شوند، مانند تنش Piola-Kirchhoff اول \(\boldsymbol{P}\)، با نماد متعارف خود نوشته می‌شوند و در متن، در صورت نیاز، صریحاً مشخص می‌شوند.
در نظریه تغییرشکل کوچک، تمایز میان دو پیکربندی از بین می‌رود؛ بنابراین فقط از نمادهای حروف کوچک (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) استفاده می‌شود.

گرادیان در پیکربندی مرجع و پیکربندی جاری¶

نماد و معنای مشتق فضایی بسته به این‌که نسبت به کدام پیکربندی گرفته شود متفاوت است.

گرادیان پیکربندی مرجع \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): گرادیان نسبت به مختصات مادی. مثال: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
گرادیان پیکربندی جاری \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): گرادیان نسبت به مختصات فضایی. مثال: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

این دو با رابطه \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) به یکدیگر مرتبط‌اند. برای قرارداد مشتق زمانی (مشتق زمانی مادی \(\dot{(\cdot)}\))، به نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی مراجعه کنید.

توصیف حرکت¶

نگاشت حرکت و توصیف مادی/فضایی¶

اگر محیط پیوسته مجموعه‌ای از نقاط مادی در نظر گرفته شود که با موقعیتشان \(\boldsymbol{X}\) در زمان \(0\) برچسب‌گذاری شده‌اند، حرکت با نگاشت \(\phi\) بیان می‌شود که هر نقطه مادی \(\boldsymbol{X}\) را به موقعیت آن \(\boldsymbol{x}\) در زمان \(t\) متناظر می‌کند:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

با قرارداد انتخاب پیکربندی مرجع به‌عنوان پیکربندی اولیه، \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) است.

بر حسب انتخاب متغیرهای مستقل، دو نوع توصیف از هم متمایز می‌شوند.

توصیف مادی (توصیف Lagrange): کمیت‌های فیزیکی را به‌صورت تابعی از \((\boldsymbol{X}, t)\) بیان می‌کند. در مکانیک جامدات، چون پیکربندی مرجع به‌صورت شکلی ثابت داده می‌شود، این انتخاب طبیعی است.
توصیف فضایی (توصیف Euler): کمیت‌های فیزیکی را به‌صورت تابعی از \((\boldsymbol{x}, t)\) بیان می‌کند. این توصیف به‌طور استاندارد در مکانیک سیالات استفاده می‌شود.

تحلیل سازه‌ای FrontISTR اساساً بر توصیف مادی استوار است، اما در روش لاگرانژ به‌روزشده از کمیت‌های توصیف فضایی نیز استفاده می‌شود، زیرا پیکربندی جاری به‌عنوان پیکربندی مرجع جدید به‌کار می‌رود.

جابه‌جایی، سرعت و شتاب¶

همان‌گونه که در بخش قبل بیان شد، جابه‌جایی \(\boldsymbol{u}\) با \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) تعریف می‌شود. هیچ فرضی درباره اندازه آن در نظر گرفته نمی‌شود و بنابراین تغییرشکل محدود نیز پوشش داده می‌شود. بردارهای سرعت و شتاب به‌صورت مشتق زمانی مادی \(\boldsymbol{u}\) با ثابت نگه داشتن نقطه مادی تعریف می‌شوند:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

این روابط به‌ترتیب سرعت و شتاب را تعریف می‌کنند.

گرادیان تغییرشکل و تانسورهای تغییرشکل¶

تانسور گرادیان تغییرشکل¶

کمیت بنیادی در مکانیک محیط‌های پیوسته با تغییرشکل محدود، تانسور گرادیان تغییرشکل \(\boldsymbol{F}\) است. این تانسور نگاشت خطی‌ای است که المان خطی بی‌نهایت کوچک \(d\boldsymbol{X}\) در پیکربندی مرجع را به المان خطی بی‌نهایت کوچک \(d\boldsymbol{x}\) در پیکربندی جاری می‌برد و به‌صورت گرادیان نگاشت حرکت نسبت به مختصات مادی تعریف می‌شود:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

با این تعریف (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\))، در حالت بدون تغییرشکل \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) است. \(\boldsymbol{F}\) به‌طور گسترده برای تعریف کرنش و تنش و نیز تبدیل کمیت‌های فیزیکی بین پیکربندی‌ها استفاده می‌شود.

نسبت تغییر حجم¶

نسبت حجم بی‌نهایت کوچک \(dV\) در پیکربندی مرجع به حجم متناظر \(dv\) در پیکربندی جاری، نسبت تغییر حجم \(J\) نامیده می‌شود:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

برای وارون‌پذیری محیط پیوسته فرض می‌شود \(J > 0\). قانون بقای جرم به‌صورت \(\rho_0 = J\rho\) بیان می‌شود.

تانسورهای تغییرشکل Cauchy-Green راست و چپ¶

از آنجا که گرادیان تغییرشکل \(\boldsymbol{F}\) شامل دوران جسم صلب نیز هست، برای سنجش خود تغییرشکل از کمیت‌هایی استفاده می‌شود که اثر دوران جسم صلب را حذف می‌کنند. تانسور تغییرشکل Cauchy-Green راست \(\boldsymbol{C}\) (پیکربندی مرجع) و تانسور تغییرشکل Cauchy-Green چپ \(\boldsymbol{b}\) (پیکربندی جاری) به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

هر دو تانسور متقارن‌اند و مقادیر ویژه یکسانی دارند (مربع کشیدگی‌های اصلی). ناورداهای اصلی تابع انرژی کرنشی هایپرالاستیک با استفاده از این تانسورها بیان می‌شوند.

تانسورهای کرنش¶

تانسور کرنش Green-Lagrange¶

به‌عنوان معیار کرنش نسبت به پیکربندی مرجع، تانسور کرنش Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

این تانسوری متقارن است که تغییر حاصل‌ضرب داخلی بردارهای بی‌نهایت کوچک در پیکربندی مرجع را بیان می‌کند، نسبت به دوران جسم صلب ناوردا است و در حالت بدون تغییرشکل \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) می‌شود. با استفاده از \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) داریم:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

بدین ترتیب کرنش به‌صورت مجموع جمله‌های مرتبه اول و دوم گرادیان جابه‌جایی بیان می‌شود؛ جمله مرتبه دوم نشان‌دهنده غیرخطی بودن هندسی است. در روش لاگرانژ کل از زوج هم‌کار \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) استفاده می‌شود.

تانسور کرنش Almansi¶

به‌عنوان معیار کرنش نسبت به پیکربندی جاری، تانسور کرنش Almansi \(\boldsymbol{e}\) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

این تانسور با کرنش Green-Lagrange از طریق \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back) مرتبط است.

تانسور کرنش بی‌نهایت کوچک¶

هنگامی که گرادیان جابه‌جایی کوچک باشد (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\))، جمله مرتبه دوم کرنش Green-Lagrange را می‌توان نادیده گرفت. از آنجا که تمایز میان دو پیکربندی نیز از بین می‌رود، رابطه به تانسور کرنش بی‌نهایت کوچک \(\boldsymbol{\varepsilon}\) با گرادیان نسبت به مختصات فضایی تقلیل می‌یابد:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR از این معیار کرنش در تحلیل استاتیکی خطی، تحلیل مودال، تحلیل پاسخ فرکانسی و تحلیل دینامیکی خطی استفاده می‌کند. در تحلیل تغییرشکل محدود، روش لاگرانژ کل از \(\boldsymbol{E}\) و روش لاگرانژ به‌روزشده از تانسور نرخ تغییرشکل \(\boldsymbol{D}\) نسبت به پیکربندی جاری استفاده می‌کند.