پرش به محتویات

تنش و قوانین بقا

این فصل تعریف و روابط متقابل تانسورهای تنش را همراه با معادلات تعادل و تقارن تنش که از بقای جرم، تکانه خطی و تکانه زاویه‌ای به‌دست می‌آیند سامان‌دهی می‌کند. سه تانسور تنش—تنش کوشی \(\boldsymbol{\sigma}\)، تنش پیولا-کیرشهف اول \(\boldsymbol{P}\) و تنش پیولا-کیرشهف دوم \(\boldsymbol{S}\)—بر اساس این‌که سطح مرجع و بردار نیرو در کدام آرایش تعریف می‌شوند معرفی می‌شوند. برای تعریف آرایش، حرکت و گرادیان تغییرشکل به حرکت، تغییرشکل و کرنش و برای فهرست نمادها به فهرست نمادهای کمیت‌های فیزیکی مراجعه کنید.

تانسور تنش کوشی

نیروی وارد بر یک سطح بی‌نهایت کوچک در نقطه \(\boldsymbol{x}\) از آرایش جاری (مساحت \(d\Gamma\) و بردار نرمال واحد رو به بیرون \(\boldsymbol{n}\)) را \(d\boldsymbol{f}\) می‌گیریم و بردار کشش \(\boldsymbol{t}\) را به‌صورت نیروی واحد سطح با رابطه \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) تعریف می‌کنیم. \(\boldsymbol{t}\) هم به مکان \(\boldsymbol{x}\) و هم به نرمال \(\boldsymbol{n}\) وابسته است. اعمال بقای تکانه به یک چهاروجهی بی‌نهایت کوچک نشان می‌دهد که \(\boldsymbol{t}\) نسبت به \(\boldsymbol{n}\) خطی است، بنابراین تانسور مرتبه دوم \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) وجود دارد به‌طوری‌که

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

برای هر \(\boldsymbol{n}\) برقرار است (قضیه تنش کوشی). این تانسور \(\boldsymbol{\sigma}\) تانسور تنش کوشی نامیده می‌شود و چون نیرو بر واحد سطح را نسبت به هندسه آرایش جاری بیان می‌کند، تنش حقیقی نیز نام دارد. مؤلفه \(\sigma_{ij}\) مؤلفه \(x_i\) نیروی واحد سطح وارد بر یک سطح بی‌نهایت کوچک عمود بر محور مختصات \(x_j\) در آرایش جاری را نشان می‌دهد.

همان‌طور که در ادامه از بقای تکانه زاویه‌ای نشان داده می‌شود، تنش کوشی یک تانسور متقارن است:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ازاین‌رو در سه بعد شش مؤلفه مستقل دارد (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). بردارسازی تنش در نمادگذاری وویت این تقارن را فرض می‌کند (به نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی مراجعه کنید). تنش کوشی برای خروجی تنش در تحلیل غیرخطی هندسی FrontISTR با روش لاگرانژ به‌روزشده و نیز در تحلیل تغییرشکل کوچک استفاده می‌شود.

تنش‌های پیولا-کیرشهف اول و دوم

در تغییرشکل محدود، اغلب مناسب است تنش نسبت به سطوح و بردارهای آرایش مرجع بیان شود؛ ازاین‌رو دو تانسور تنش پیولا-کیرشهف معرفی می‌شوند. مساحت یک سطح بی‌نهایت کوچک در آرایش مرجع را \(d\Gamma_0\) و بردار نرمال واحد رو به بیرون آن را \(\boldsymbol{N}\) می‌گیریم.

تنش پیولا-کیرشهف اول (تنش PK اول، تنش اسمی) \(\boldsymbol{P}\) به‌عنوان تانسور تنشی تعریف می‌شود که وقتی نیروی \(d\boldsymbol{f}\) در آرایش جاری بر یک سطح بی‌نهایت کوچک در آرایش مرجع اعمال می‌شود به‌دست می‌آید:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

با استفاده از رابطه نانسون \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) همراه با قضیه تنش کوشی، رابطه با تنش کوشی به‌صورت زیر است

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

تنش PK اول عموماً نامتقارن است.

تنش پیولا-کیرشهف دوم (تنش PK دوم) \(\boldsymbol{S}\) به‌عنوان تانسور تنشی تعریف می‌شود که با بازگرداندن نیروی آرایش جاری \(d\boldsymbol{f}\) به آرایش مرجع به‌وسیله \(\boldsymbol{F}^{-1}\) و اعمال آن به یک سطح بی‌نهایت کوچک در آرایش مرجع به‌دست می‌آید:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

هم بردار نیرو و هم سطحی که نیرو بر آن وارد می‌شود با کمیت‌های آرایش مرجع بیان می‌شوند؛ در نتیجه نسبت به دوران جسم صلب ناوردا و متقارن است. رابطه آن با تنش PK اول و تبدیل آن از تنش کوشی عبارت است از

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

تنش PK دوم از تابع انرژی کرنشی هایپرالاستیک \(W(\boldsymbol{C})\) به صورت \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) به‌دست می‌آید و در روش لاگرانژ کل همراه با کرنش گرین-لاگرانژ \(\boldsymbol{E}\) به‌عنوان جفت مزدوج کاری \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) استفاده می‌شود.

آرایش‌های مرجع و ویژگی‌های تقارن در جدول زیر خلاصه شده‌اند. در حد تغییرشکل کوچک (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)، \(J \to 1\))، هر سه تنش با هم یکسان می‌شوند.

تانسور تنش سطح مرجع بردار نیرو تقارن کاربرد
تنش کوشی \(\boldsymbol{\sigma}\) آرایش جاری \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) آرایش جاری \(d\boldsymbol{f}\) متقارن روش لاگرانژ به‌روزشده / تحلیل تغییرشکل کوچک
تنش PK اول \(\boldsymbol{P}\) آرایش مرجع \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) آرایش جاری \(d\boldsymbol{f}\) عموماً نامتقارن معادلات تعادل در آرایش مرجع
تنش PK دوم \(\boldsymbol{S}\) آرایش مرجع \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) آرایش مرجع \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) متقارن روش لاگرانژ کل / هایپرالاستیسیته

بقای جرم و تکانه و معادلات تعادل

چگالی جرم در آرایش جاری را \(\rho\) و چگالی جرم در آرایش مرجع را \(\rho_0\) می‌گیریم. قانون بقای جرم \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) همراه با تبدیل عنصر حجم \(dv = J\, dV\) به فرم موضعی زیر کاهش می‌یابد

\[ \rho_0 = J \rho \]

این رابطه موضعی بقای جرم است.

نیروی حجمی بر واحد جرم را \(\boldsymbol{g}\) و شتاب را \(\boldsymbol{a}\) می‌گیریم. اعمال قضیه تنش کوشی و قضیه واگرایی گاوس به بقای تکانه خطی (قانون اول حرکت اویلر)، معادله تعادل (معادله حرکت) موضعی را در آرایش جاری می‌دهد:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

بازنویسی انتگرال در آرایش مرجع با استفاده از رابطه نانسون و \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) فرم موضعی زیر را در آرایش مرجع می‌دهد:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

این دو فرم از طریق قانون تبدیل تنش و \(\rho_0 = J\rho\) هم‌ارزند. با صرف‌نظر کردن از جمله اینرسی داریم

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

که معادله تعادل ایستا است و نقطه آغاز تحلیل استاتیکی FrontISTR (خطی و غیرخطی) را تشکیل می‌دهد.

بقای تکانه زاویه‌ای و تقارن تنش

ترکیب بقای تکانه زاویه‌ای (قانون دوم حرکت اویلر) با معادله تعادل حاصل از بقای تکانه خطی، تقارن تانسور تنش کوشی را به‌دست می‌دهد:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

بنابراین در سه بعد شش مؤلفه مستقل دارد. با ترانهاده گرفتن از دو طرف تبدیل \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) و استفاده از غیرتکین بودن \(\boldsymbol{F}\)، تنش PK دوم نیز متقارن است:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

و بنابراین آن نیز شش مؤلفه مستقل دارد. در مقابل، تنش PK اول \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) عموماً متقارن نیست؛ فقط رابطه \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) برقرار است (یعنی \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) متقارن است) و این تانسور نه مؤلفه مستقل دارد.

این تقارن‌ها مبنای بیان تنش به‌صورت یک بردار شش‌مؤلفه‌ای در نمادگذاری وویت هستند. برای قراردادهای نمادگذاری وویت و ساخت ماتریس‌های ماده به نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی و کشسانی خطی مراجعه کنید.

موارد مرتبط