پرش به محتویات

اصل کار مجازی

بر پایه معادله تعادل و شرایط مرزی استخراج‌شده در تنش و قوانین بقا، اصل کار مجازی را که فرم ضعیف مسئله مقدار مرزی در مکانیک محیط پیوسته است، استخراج می‌کنیم. گسسته‌سازی با روش اجزای محدود از این فرم ضعیف آغاز می‌شود. در این فصل هر دو فرم پیکربندی جاری (با تنش کوشی و بخش خطی کرنش آلمنزی) و پیکربندی مرجع (با تنش دوم پیولا–کیرشهف و کرنش گرین–لاگرانژ) ارائه می‌شوند؛ پس از نشان‌دادن هم‌ارزی آن‌ها، حد تغییرشکل کوچک بررسی می‌شود.

معادله تعادل و شرایط مرزی

نیروی حجمی وارد بر محیط پیوسته (بر واحد جرم) را \(\boldsymbol{g}\) در نظر بگیرید و جسمی را فرض کنید که در پیکربندی جاری ناحیه \(\Omega\) را اشغال می‌کند. مرز \(\Gamma\) به مرز هندسی \(\Gamma_B\) که جابه‌جایی در آن برابر \(\bar{\boldsymbol{u}}\) تجویز می‌شود و مرز مکانیکی \(\Gamma_t\) که نیروی سطحی در آن برابر \(\bar{\boldsymbol{t}}\) تجویز می‌شود تقسیم می‌شود، به‌طوری‌که \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) و \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). برای مسئله استاتیکی، با حذف جمله اینرسی از قانون بقای اندازه حرکت ارائه‌شده در تنش و قوانین بقا، معادله تعادل به‌صورت

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

است. شرایط مرزی عبارت‌اند از

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

در ادامه اصل کار مجازی به‌عنوان فرم ضعیف معادله تعادل و شرط مرزی مکانیکی \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) استخراج می‌شود. شرط مرزی هندسی \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) از طریق انتخاب تابع آزمون وارد می‌شود.

فرم ضعیف در پیکربندی جاری

در فرم ضعیف، فضای مجاز جابه‌جایی مجهول و فضای تابع آزمون به‌ترتیب به‌صورت

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

تعریف می‌شوند. در اینجا \(d\) بعد فضا، \(H^1(\Omega)\) فضای Sobolev با مشتق ضعیف مرتبه اول مربع‌انتگرال‌پذیر، و \(\delta\) نماد تغییرات است. در فرم پیکربندی جاری، \(\Omega\) پیکربندی پس از تغییرشکل است و در روش عددی واقعی به پیکربندی مرجع یا یک پیکربندی میانی معلوم بازگردانده می‌شود.

با ضرب معادله تعادل در وزن \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) و اعمال قضیه واگرایی Gauss و شرط مرزی مکانیکی، اصل کار مجازی در پیکربندی جاری به‌صورت زیر به‌دست می‌آید.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

در اینجا \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) بخش خطی تانسور کرنش آلمنزی است و به‌صورت

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

تعریف می‌شود. تغییر آن \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) است. بنابراین باید \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) را به‌گونه‌ای یافت که رابطه کار مجازی برای هر \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) برقرار باشد. سمت چپ کار مجازی نیروی داخلی و سمت راست کار مجازی نیروهای خارجی ناشی از نیروی سطحی تجویزشده و نیروی حجمی است.

از آنجا که این رابطه روی ناحیه پس از تغییرشکل (پیکربندی جاری) نوشته شده است، در حل واقعی، پیکربندی اولیه \(\Omega_0\) (پیکربندی مرجع) یا یک پیکربندی میانی معلوم به‌عنوان مرجع انتخاب شده و رابطه پس از تبدیل به فرم افزایشی حل می‌شود. برای انتخاب مشخص پیکربندی مرجع (روش لاگرانژ کل / روش لاگرانژ به‌روزشده) و تجزیه افزایشی به چارچوب تحلیل افزایشی مراجعه کنید.

فرم ضعیف در پیکربندی اولیه

جسمی را در نظر بگیرید که در پیکربندی مرجع ناحیه \(\Omega_0\) را اشغال می‌کند و مرز آن \(\Gamma_0\) به \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) تقسیم شده است. با بازگرداندن فرم پیکربندی جاری به پیکربندی مرجع، زوج مزدوج تنش و کرنش به تنش دوم پیولا–کیرشهف \(\boldsymbol{S}\) و کرنش گرین–لاگرانژ \(\boldsymbol{E}\) تبدیل می‌شود. در این صورت اصل کار مجازی در پیکربندی اولیه به‌شکل

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

نوشته می‌شود. در اینجا \(\rho_0\) چگالی جرم در پیکربندی مرجع است و به‌واسطه قانون بقای جرم \(\rho_0 = J\rho\) با بیان نیروی حجمی در پیکربندی جاری هم‌ارز است.

هم‌ارزی فرم پیکربندی جاری و پیکربندی اولیه

کار مجازی نیروی داخلی در دو فرم، از طریق تبدیل بر مبنای گرادیان تغییرشکل \(\boldsymbol{F}\) و نسبت حجمی \(J = \det \boldsymbol{F}\) یکسان است؛ یعنی

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

است. جمله‌های نیروی خارجی نیز با قانون بقای جرم و تبدیل نیروی سطحی هم‌ارزند. بنابراین رابطه کار مجازی در پیکربندی جاری و رابطه کار مجازی در پیکربندی اولیه دو بیان از یک اصل در دو پیکربندی متفاوت‌اند. حل مبتنی بر پیکربندی مرجع متناظر با روش لاگرانژ کل و حل مبتنی بر پیکربندی جاری (آخرین پیکربندی همگراشده) متناظر با روش لاگرانژ به‌روزشده است.

حد تغییرشکل کوچک

تحت فرض تغییرشکل کوچک \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) و \(J \approx 1\)، تمایز میان پیکربندی جاری و مرجع از بین می‌رود، تنش دوم PK به تنش کوشی نزدیک می‌شود (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))، و کرنش گرین–لاگرانژ و بخش خطی کرنش آلمنزی هر دو به کرنش کوچک \(\boldsymbol{\varepsilon}\) تقلیل می‌یابند.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

در این صورت اصل کار مجازی به فرم ضعیف مبتنی بر تنش کوشی \(\boldsymbol{\sigma}\) و کرنش کوچک \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

تقلیل می‌یابد. این همان فرم ضعیفی است که مستقیماً برای گسسته‌سازی در تحلیل استاتیکی الاستیک خطی با تغییرشکل کوچک استفاده می‌شود (تحلیل استاتیکی الاستیک خطی (مقدمه و پیوست) از این فرم آغاز کرده و تشکیل سختی المان \(\boldsymbol{K}^e\) و مونتاژ معادله سراسری \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) را نشان می‌دهد).

با جایگذاری رابطه ساختاری کشسانی خطی \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) و نوشتن \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) در نمادگذاری Voigt، فرم ضعیف به‌شکل

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

درمی‌آید.

موارد مرتبط