پرش به محتویات

چارچوب تحلیل افزایشی

ضرورت تحلیل افزایشی

همان‌گونه که پیش‌تر گفته شد، در تحلیل مسائل تغییرشکل کوچک می‌توان با استفاده از اصل کار مجازی که معادل معادلات پایه‌ای مانند معادله تعادل است، و با گسسته‌سازی این رابطه به روش اجزای محدود، تحلیل اجزای محدود را انجام داد. در تحلیل مسائل تغییرشکل محدود که تغییرشکل‌های بزرگ سازه را در بر می‌گیرند نیز اساساً همان اصل کار مجازی به‌کار می‌رود.

با این حال، در مسئله تغییرشکل محدود، حتی اگر رفتار ماده خطی فرض شود، معادله اصل کار مجازی نسبت به جابه‌جایی غیرخطی می‌شود. برای حل معادلات غیرخطی معمولاً از محاسبات تکراری با روش‌های تکراری استفاده می‌شود.

در این محاسبات تکراری، روش تحلیل افزایشی به‌کار می‌رود که در آن محاسبه برای افزایش‌های کوچک بار به‌صورت قطعه‌ای انجام شده و با انباشتن آن‌ها به حالت نهایی تغییرشکل می‌رسد. در فرض تغییرشکل کوچک، پیکربندی مورد استفاده برای تعریف کرنش و تنش پیش و پس از تغییرشکل به‌طور ویژه از یکدیگر تفکیک نمی‌شد. یعنی با فرض تغییرشکل کوچک، تفاوتی نداشت که معادلات پایه در پیکربندی پیش از تغییرشکل یا پس از تغییرشکل نوشته شوند.

هنگام انجام تحلیل افزایشی در مسئله تغییرشکل محدود، فرمول‌بندی بسته به این‌که پیکربندی اولیه یا پیکربندی آغاز افزایش به‌عنوان پیکربندی مرجع انتخاب شود متفاوت است. روش نخست «لاگرانژ کل» (total Lagrange) و روش دوم «لاگرانژ به‌روزشده» (updated Lagrange) نام دارد. برای جزئیات به منابع انتهای فصل و موارد مشابه مراجعه کنید.

رابطه آغازین: اصل کار مجازی در زمان \(t'\)

تحلیل افزایشی‌ای را در نظر بگیرید که در آن حالت تا زمان \(t\) معلوم و حالت در زمان \(t' = t + \Delta t\) مجهول است (به شکل 2.2.1 مراجعه کنید). معادله تعادل، شرایط مرزی و اصل کار مجازی در زمان \(t'\) (بیان در پیکربندی جاری با تنش کوشی \(^{t'}\sigma\) و بخش خطی کرنش آلمنزی \(^{t'} A_{(L)}\)) همان است که در اصل کار مجازی ارائه شده است.

مفهوم تحلیل افزایشی

شکل 2.2.1 مفهوم تحلیل افزایشی

اما چون این رابطه آغازین در پیکربندی (مجهول) زمان \(t'\) نوشته شده است، در حل واقعی، پیکربندی اولیه در زمان \(0\)، یعنی \(V\)، یا پیکربندی جاری در زمان \(t\)، یعنی \(^{t'} v\)، دوباره به‌عنوان پیکربندی مرجع انتخاب می‌شود؛ سپس رابطه به فرم افزایشی بازنویسی و حل می‌شود:

  • روش لاگرانژ کل — پیکربندی اولیه \(V\) را مرجع می‌گیرد. از تنش دوم پیولا–کیرشهف \(\boldsymbol{S}\) و کرنش گرین–لاگرانژ \(\boldsymbol{E}\) استفاده می‌کند.
  • روش لاگرانژ به‌روزشده — پیکربندی جاری \(^{t}v\) در آغاز افزایش را مرجع می‌گیرد. از تنش کوشی \(\boldsymbol{\sigma}\) و بخش خطی کرنش آلمنزی \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) استفاده می‌کند.

برای گسسته‌سازی فضایی هر دو روش (ماتریس B و بردار نیروی داخلی) به گسسته‌سازی کار مجازی نیروی داخلی و برای خطی‌سازی و تشکیل سختی مماسی به ماتریس سختی مماسی مراجعه کنید.

موارد مرتبط