پرش به محتویات

معادله هدایت حرارتی

در این فصل، معادله حاکم هدایت حرارتی (در سطح محیط پیوسته) و شرایط مرزی مورد استفاده در FrontISTR سازمان‌دهی می‌شوند. گسسته‌سازی زمانی و گسسته‌سازی FEM به بخش گسسته‌سازی (L3d) و الگوریتم حل (L3e: solution_methods/05_transient_heat) واگذار می‌شوند.

معادله حاکم

معادله هدایت حرارتی در محیط پیوسته به صورت زیر است.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

در این رابطه، \(\rho=\rho(x)\) جرم حجمی (چگالی)، \(c=c(x,T)\) گرمای ویژه، \(T=T(x,t)\) دما، \(k=k(x,T)\) رسانندگی حرارتی، \(Q=Q(x,T,t)\) نرخ تولید گرما، \(x\) موقعیت و \(t\) زمان را نشان می‌دهند. \(k_x, k_y, k_z\) رسانندگی‌های حرارتی در هر راستا برای هدایت حرارتی ناهمسانگرد هستند.

برای خواص حرارتی مشخص، از جمله وابستگی به دما و ناهمسانگردی، به خواص حرارتی مراجعه کنید.

شرایط مرزی

ناحیه مورد بررسی را \(S\) و مرز پیرامون آن را \(\Gamma\) می‌نامیم. با فرض اینکه در تمام نقاط \(\Gamma\) یکی از شرایط مرزی نوع Dirichlet یا Neumann داده شده باشد، شرایط مرزی به صورت زیر هستند.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

در اینجا، شکل تابعی \(T_1\) و \(q\) معلوم فرض می‌شود. \(q\) شار حرارتی خروجی از مرز است. شار حرارتی مرزی \(q\) از سه مؤلفه زیر تشکیل می‌شود.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

در این روابط، \(q_s\) شار حرارتی توزیع‌شده، \(q_c\) شار حرارتی ناشی از انتقال حرارت همرفتی و \(q_r\) شار حرارتی ناشی از انتقال حرارت تابشی است.

همچنین \(Tc=Tc(x,t)\) دمای محیط همرفتی، \(hc=hc(x,t)\) ضریب انتقال حرارت همرفتی، \(Tr=Tr(x,t)\) دمای محیط تابشی، \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) ضریب انتقال حرارت تابشی، \(\varepsilon\) گسیلندگی، \(\sigma\) ثابت Stefan-Boltzmann و \(F\) ضریب شکل است.

برای روش تعیین این شرایط در فایل ورودی، به بخش مرجع قابلیت‌ها، شرایط مرزی و بار، مراجعه کنید.

فرم ضعیف

مرز کوپل با تحلیل سازه

موارد مرتبط