پرش به محتویات

نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی

در این فصل، قواعد نمادگذاری تانسوری، نمادگذاری اندیسی و نمادگذاری Voigt که در فصل‌های بعدی راهنمای نظری FrontISTR استفاده می‌شوند یکجا گردآوری شده‌اند. در اینجا فقط قواعد صرفاً نمادگذاری که مستقل از تعریف کمیت‌های فیزیکی هستند بیان می‌شوند. قواعد نمادی وابسته به پیکربندی در حرکت محیط پیوسته (پیکربندی مرجع/پیکربندی جاری)، مانند تمایز حروف بزرگ و کوچک و تمایز مشتق مادی و فضایی، در حرکت، تغییرشکل و کرنش که مفهوم پیکربندی را معرفی می‌کند، آمده‌اند.

نمادگذاری تانسوری

نمایش بردارها و تانسورها با حروف پررنگ

به‌عنوان قاعده مربوط به نوع قلم، کمیت‌های اسکالر و مؤلفه‌های بردارها و تانسورها با حروف معمولی (مانند \(\rho\) و \(x_i\)) و خود کمیت‌های برداری و تانسوری با حروف پررنگ (مانند \(\boldsymbol{a}\)، \(\boldsymbol{E}\) و \(\boldsymbol{\sigma}\)) نوشته می‌شوند.

قرارداد جمع اینشتین

مگر آن‌که خلاف آن ذکر شود، اگر یک اندیس در یک جمله دو بار ظاهر شود، قرارداد جمع اینشتین اعمال می‌شود و روی آن اندیس جمع گرفته می‌شود. برای مثال

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

و مؤلفه \(i,j\) از حاصل‌ضرب تانسورهای \(\boldsymbol{A}\) و \(\boldsymbol{B}\) یعنی \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) برابر است با

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

در قرارداد اندیس‌ها، مگر آن‌که خلاف آن ذکر شود، \(i, j, k, l, \ldots\) هنگامی که به‌عنوان اندیس به‌کار می‌روند، اندیس مربوط به درجات آزادی را نشان می‌دهند (در سه بعد، \(1, 2, 3\))، و حروف کوچک یونانی \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) اندیس مربوط به گره‌های تشکیل‌دهنده المان را نشان می‌دهند.

ضرب داخلی، ترانهاده و ضرب تانسوری

ترانهاده تانسور \(\boldsymbol{A}\) با \(\boldsymbol{A}^T\) نمایش داده می‌شود. ضرب داخلی (انقباض دوگانه) دو تانسور مرتبه دوم \(\boldsymbol{A}\) و \(\boldsymbol{B}\) به‌شکل

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

نوشته می‌شود. ضرب داخلی بردارهای \(\boldsymbol{a}\) و \(\boldsymbol{b}\) برابر \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) و ضرب تانسوری آن‌ها برابر \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) است.

نمادگذاری Voigt

تنش و کرنش تانسورهای متقارن مرتبه دوم نسبت به درجات آزادی‌اند و ضرایب بیان‌کننده رابطه خطی میان آن‌ها تانسور مرتبه چهارم هستند. کار مستقیم با این شکل در برنامه از نظر هزینه محاسباتی و کدنویسی (آرایه‌های چندبعدی و حلقه‌های چندلایه عمیق) نامناسب است. بنابراین در برنامه‌های متداول اجزای محدود، با استفاده از تقارن، تنش و کرنش به بردار ستونی و تانسور الاستیسیته مرتبه چهارم به ماتریس دوبعدی فشرده می‌شوند. این روش «نمادگذاری Voigt» نام دارد.

در ادامه، نمایش ماتریسی یا برداری کمیت تانسوری \(\boldsymbol{A}\) را با \(\hat{A}\) نشان می‌دهیم تا از تانسور اصلی متمایز شود.

نمایش برداری تنش و کرنش

برای تانسور تنش متقارن \(\boldsymbol{\sigma}\) و تانسور کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\)، در دو بعد داریم

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

و در سه بعد

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

که به‌صورت بردار ستونی به‌کار می‌روند. همین قاعده برای کمیت‌های مشتق‌شده مانند تغییرات و مشتق‌ها نیز اعمال می‌شود. توجه کنید که مؤلفه‌های برشی در سمت کرنش دارای ضریب 2 هستند (در سمت تنش این ضریب وجود ندارد). به‌سبب این نامتقارنی، ضرب داخلی تانسوری را می‌توان به‌صورت ضرب داخلی برداری و به‌شکل ساده زیر نوشت:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

در پیاده‌سازی، اشتباه در ضریب 2 مؤلفه‌های کرنش برشی به‌سادگی رخ می‌دهد؛ بنابراین باید همواره قرارداد «برای تنش بدون ضریب / برای کرنش با ضریب» را در نظر داشت. دقیقاً همین قرارداد Voigt برای کمیت‌های پیکربندی مرجع، یعنی تنش دوم پیولا–کیرشهف \(\boldsymbol{S}\) و کرنش گرین–لاگرانژ \(\boldsymbol{E}\) نیز اعمال می‌شود.

نمایش ماتریسی تانسور مرتبه چهارم

برای رابطه خطی تنش و کرنش \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (در نمایش مؤلفه‌ای \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))، با استفاده از تقارن \(\boldsymbol{\varepsilon}\) می‌توان نوشت

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

در سه بعد، اگر \(\tilde{C}\) به‌صورت ماتریس ماده 6×6 یعنی \(\hat{\tilde{C}}\) چیده شود، رابطه تانسوری اصلی به‌شکل

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

بیان می‌شود. در ادامه این راهنما، مگر آن‌که خلاف آن ذکر شود، ماتریس ماده با \(D\) (یا \(\hat{C}\)) نمایش داده می‌شود. برای مؤلفه‌های مشخص در کشسانی خطی همسانگرد به کشسانی خطی مراجعه کنید.

قرارداد عملگرهای دیفرانسیلی

عملگر گرادیان متقارن

عملگر گرادیان متقارن \(\nabla_S\) برای میدان برداری \(\boldsymbol{u}\) به‌صورت

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

تعریف می‌شود. در نمایش مؤلفه‌ای، \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) است. کرنش تغییرشکل کوچک \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) را می‌توان با این عملگر به‌صورت فشرده بیان کرد. تمایز پیکربندی مورد استفاده برای گرفتن گرادیان (مرجع/جاری) در تغییرشکل محدود در حرکت، تغییرشکل و کرنش بررسی می‌شود.

مشتق مادی نسبت به زمان

مشتق مادی نسبت به زمان برای کمیت \(A\) (مشتق زمانی با دنبال‌کردن همان نقطه مادی) با نقطه بالانویس و به‌صورت \(\dot{A}\) نشان داده می‌شود:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

سرعت و شتاب از این قرارداد پیروی می‌کنند.

موارد مرتبط