Translation update pending
The Persian (Iran) translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.
فهرست نمادهای کمیت‌های فیزیکی¶
این صفحه نمادهای کمیت‌های فیزیکی مورد استفاده در راهنمای نظری FrontISTR را فهرست می‌کند. برای قراردادهای نمادگذاری (نمایش پررنگ بردارها و تانسورها، قرارداد جمع Einstein و نمایش Voigt)، به نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی مراجعه کنید.
پیکربندی‌ها و دستگاه‌های مختصات¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | بردار مکان نقطه مادی در پیکربندی مرجع (اولیه) (مختصات مادی) |
| \(\boldsymbol{x}\) | بردار مکان نقطه مادی در پیکربندی جاری (مختصات فضایی) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | نگاشت حرکت: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | دامنه اشغال‌شده توسط جسم در پیکربندی مرجع |
| \(\Omega\) | دامنه اشغال‌شده توسط جسم در پیکربندی جاری |
| \(\Gamma_0\) | مرز \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | مرز \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | مرز هندسی (جابه‌جایی): مرز پیکربندی جاری/مرجع که روی آن \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) تجویز می‌شود |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | مرز مکانیکی: مرز پیکربندی جاری/مرجع که روی آن \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (یا \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) تجویز می‌شود |
| \(\boldsymbol{n}\) | بردار نرمال واحد رو به بیرون سطح در پیکربندی جاری |
| \(\boldsymbol{N}\) | بردار نرمال واحد رو به بیرون سطح در پیکربندی مرجع |
| \(t\) | زمان |
قرارداد: کمیت‌های فیزیکی در پیکربندی مرجع با حروف بزرگ یا زیرنویس \(0\) و کمیت‌های پیکربندی جاری با حروف کوچک نمایش داده می‌شوند.
زمان و افزایش‌ها (تحلیل افزایشی)¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\Delta t\) | افزایش زمان: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | کمیت فیزیکی در زمان \(t\) (بالانویس چپ). مثال: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) تنش Cauchy در زمان \(t\) است |
| \(^{t}\Omega\) | دامنه پیکربندی جاری در زمان \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | مرز پیکربندی جاری در زمان \(t\) |
قرارداد: در تحلیل افزایشی، حالت تا زمان \(t\) معلوم و حالت در زمان \(t + \Delta t\) مجهول در نظر گرفته می‌شود. اگر نیاز به ذکر صریح زمان نباشد، بالانویس چپ حذف می‌شود. صورت‌بندی با پیکربندی مرجع \(\Omega_0\) به‌عنوان مرجع، روش لاگرانژ کل و صورت‌بندی با پیکربندی جاری \(^{t}\Omega\) در آغاز افزایش به‌عنوان مرجع، روش لاگرانژ به‌روزشده نامیده می‌شود.
جابه‌جایی، سرعت، شتاب و نیروی جسمی¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | بردار جابه‌جایی: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | جابه‌جایی تجویزشده روی مرز هندسی \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | جابه‌جایی مجازی (تابع آزمون): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) روی \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | بردار سرعت: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | بردار شتاب: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | نیروی جسمی (بر واحد جرم) |
| \(\boldsymbol{t}\) | بردار کشش سطحی (بر واحد سطح): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | کشش سطحی تجویزشده روی مرز مکانیکی \(\Gamma_t\) (داده Neumann) |
عملگرهای دیفرانسیلی¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | مشتق زمانی مادی (مشتق زمانی در امتداد همان نقطه مادی): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | گرادیان پیکربندی مرجع (نسبت به مختصات مادی \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | گرادیان پیکربندی جاری (نسبت به مختصات فضایی \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | عملگر گرادیان متقارن: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
نکته: \(\nabla_X\) و \(\nabla_x\) با رابطه \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) مرتبط‌اند. گرادیان بدون زیرنویس، \(\nabla\)، زمانی استفاده می‌شود که پیکربندی از متن مشخص باشد یا مانند تغییرشکل کوچک تمایز از بین برود.
تانسورهای تغییرشکل¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | تانسور گرادیان تغییرشکل: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | نسبت تغییر حجم: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | تانسور تغییرشکل راست Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | تانسور تغییرشکل چپ Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | تانسور گرادیان سرعت: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | تانسور نرخ تغییرشکل (بخش متقارن \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | تانسور اسپین (بخش پادمتقارن \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
تانسورهای کرنش¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | تانسور کرنش Green-Lagrange (پیکربندی مرجع): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | تانسور کرنش Almansi (پیکربندی جاری): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | بخش خطی تانسور کرنش Almansi (گرادیان متقارن جابه‌جایی در پیکربندی جاری): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | تانسور کرنش کوچک (تقریب خطی): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
نکته: \(\boldsymbol{E}\) عمدتاً در روش لاگرانژ کل و \(\boldsymbol{D}\) عمدتاً در روش لاگرانژ به‌روزشده استفاده می‌شود.
تانسورهای تنش¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | تانسور تنش Cauchy (تنش واقعی، پیکربندی جاری): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | تانسور تنش اول Piola-Kirchhoff (تنش اسمی): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff (پیکربندی مرجع، متقارن): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
روابط تبدیل میان تانسورهای تنش:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
قرارداد: روش لاگرانژ کل از زوج \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) و روش لاگرانژ به‌روزشده از زوج \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) استفاده می‌کند.
چگالی و جرم¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\rho\) | چگالی جرم در پیکربندی جاری |
| \(\rho_0\) | چگالی جرم در پیکربندی مرجع |
قانون بقای جرم: \(\rho_0 = J\rho\).
ثابت‌های ماده (کشسانی خطی)¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(E\) | مدول Young |
| \(\nu\) | نسبت Poisson |
| \(\lambda\) | ثابت اول Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | ثابت دوم Lamé (مدول برشی): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | تانسور الاستیسیته (مرتبه چهارم): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)، مؤلفه‌ها \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (یا \(\hat{\tilde{C}}\)) | ماتریس ماده (نمایش Voigt، در 3D برابر \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
مؤلفه‌های تانسور الاستیسیته برای ماده الاستیک خطی همسانگرد:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
مواد هایپرالاستیک¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | تابع پتانسیل الاستیک (تابع چگالی انرژی کرنشی) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | ناورداهای اصلی تانسور راست Cauchy-Green یعنی \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | ناورداهای کاهش‌یافته \(\boldsymbol{C}\) (با جداسازی تغییر حجمی) |
| \(C_1, C_2\) | ثابت‌های ماده مدل Mooney-Rivlin |
| \(D\) | ثابت ماده مرتبط با الاستیسیته حجمی |
مواد الاستوپلاستیک¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | مؤلفه الاستیک تانسور نرخ تغییرشکل |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | مؤلفه پلاستیک تانسور نرخ تغییرشکل |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | تابع تسلیم |
| \(\kappa\) | متغیر داخلی نمایش‌دهنده حالت پلاستیک (متغیر سخت‌شوندگی همسانگرد) |
| \(\lambda^p\) | ضریب پلاستیک (ضریب نرخ کرنش پلاستیک): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | پتانسیل پلاستیک (در قانون جریان مرتبط \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | تنش معادل (برای مثال تنش فون‌میزس) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | کرنش پلاستیک معادل |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | تابع سخت‌شوندگی همسانگرد |
شرط مکملیت: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)، \(\lambda^p \geq 0\)، \(F \leq 0\).
روش اجزای محدود¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | دامنه‌های پیکربندی جاری و مرجع که با تقسیم‌بندی اجزای محدود تقریب زده شده‌اند: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | دامنه المان در پیکربندی جاری و مرجع |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | بخش مرز المان که متعلق به مرز مکانیکی است |
| \(\boldsymbol{r}\) | مختصات طبیعی (مختصات محلی المان) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | نقطه در مختصات طبیعی متناظر با گره \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | تابع شکل متناظر با گره \(\alpha\) از المان \(e\) |
| \(n_e\) | تعداد گره‌های تشکیل‌دهنده المان |
| \(n_g\) | تعداد کل گره‌های کلی |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | مختصات و جابه‌جایی گره \(\alpha\) از المان |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | بردارهای مختصات و جابه‌جایی گره‌ای المان: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) و مانند آن |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | بردارهای مختصات و جابه‌جایی گره‌ای کلی (به ترتیب شماره گره، سپس درجه آزادی) |
| \(\boldsymbol{B}\) | ماتریس رابطه کرنش–جابه‌جایی (ماتریس B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | ماتریس تابع شکل: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) یک بلوک \(d \times d\) با تابع شکل \(N_\alpha^e\) گره \(\alpha\) روی قطر است و \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | ماتریس سختی المان |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | توابع زیرانتگرال ماتریس سختی المان (در پیکربندی مرجع و جاری): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (روش TL)، \(\boldsymbol{q}^e\) (روش UL) | بردار نیروی داخلی المان |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | نیروی خارجی گره‌ای وارد بر گره \(\alpha\) المان و بردار نیروی خارجی گره‌ای المان: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | بردار نیروی داخلی کلی و بردار نیروی خارجی کلی: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)؛ برای \(\boldsymbol{F}\) نیز مشابه است |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | نیروی داخلی و خارجی گره‌ای در گره کلی \(i_g\) (بلوک‌های گره‌ای \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | ماتریس سختی مماسی کلی: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). ماتریسی که بلوک \(3\times 3\) یعنی \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) را در سطر \(i_g\) و ستون \(i_h\) قرار می‌دهد |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | بردار باقیمانده در تکرار Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | اصلاح در تکرار Newton-Raphson (با حل معادله خطی \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) در تکرار \(i\) به دست می‌آید) |
| \(i_g\) | شماره گره کلی (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | شماره گره کلی متناظر با شماره گره محلی \(\alpha\) در المان \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | مجموعه زوج‌های \((e, \alpha)\) متناظر با شماره گره کلی \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). در عملیات مونتاژ استفاده می‌شود |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | مجموعه سه‌تایی‌های \((e, \alpha, \beta)\) متناظر با زوج شماره گره‌های کلی \((i_g, i_h)\)؛ برای مونتاژ ماتریس سختی استفاده می‌شود |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | اندیس‌های گره‌های تشکیل‌دهنده المان |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | اندیس‌های درجات آزادی (در 3D برابر \(1, 2, 3\)) |
المان‌های پیشرفته و المان‌های سازه‌ای¶
| نماد | توضیح |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | ماتریس رابطه کرنش–جابه‌جایی با بخش حجمی اصلاح‌شده در روش B-bar (مؤلفه حجمی با ماتریس B ارزیابی‌شده در مرکز المان جایگزین می‌شود) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | گرادیان تغییرشکل با بخش حجمی اصلاح‌شده در روش F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | نسبت حجمی گرادیان تغییرشکل ارزیابی‌شده در مرکز المان \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | بردار درجات آزادی داخلی در المان با مود ناسازگار (ضرایب مودهای جابه‌جایی اضافی که پیوستگی را روی مرز المان تحمیل نمی‌کنند) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | توابع شکل مودهای ناسازگار: \(M_1=1-\xi^2\)، \(M_2=1-\eta^2\)، \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | ضخامت المان پوسته |
| \(A\) | مساحت مقطع المان تیر |
| \(I\) | ممان دوم سطح مقطع المان تیر (برای محورهای محلی \(y\) و \(z\) به‌ترتیب با \(I_y\) و \(I_z\) نوشته می‌شود) |
| \(G\) | مدول برشی: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | طول المان تیر |
| \(A_s\) | مساحت برشی سطح مقطع المان تیر (در FrontISTR، \(A_s = A\) است) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | ضرایبی که سهم تغییرشکل برشی را در تیر Timoshenko نشان می‌دهند: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\)، \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
موارد مرتبط¶
- نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی — قواعد نمایش پررنگ، قرارداد جمع Einstein و نمایش Voigt
- حرکت، تغییرشکل و کرنش — تعریف پیکربندی‌ها، گرادیان تغییرشکل و کرنش
- حرکت، تغییرشکل و کرنش — استخراج معادلات حاکم
- کشسانی خطی — مؤلفه‌های صریح ماتریس ماده \(D\)