فهرست نمادهای کمیتهای فیزیکی
این صفحه نمادهای کمیتهای فیزیکی مورد استفاده در راهنمای نظری FrontISTR را فهرست میکند. برای قراردادهای نمادگذاری (نمایش پررنگ بردارها و تانسورها، قرارداد جمع Einstein و نمایش Voigt)، به نمادگذاری تانسوری و مبانی ریاضی مراجعه کنید.
پیکربندیها و دستگاههای مختصات
| نماد | توضیح |
| \(\boldsymbol{X}\) | بردار مکان نقطه مادی در پیکربندی مرجع (اولیه) (مختصات مادی) |
| \(\boldsymbol{x}\) | بردار مکان نقطه مادی در پیکربندی جاری (مختصات فضایی) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | نگاشت حرکت: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | دامنه اشغالشده توسط جسم در پیکربندی مرجع |
| \(\Omega\) | دامنه اشغالشده توسط جسم در پیکربندی جاری |
| \(\Gamma_0\) | مرز \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | مرز \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | مرز هندسی (جابهجایی): مرز پیکربندی جاری/مرجع که روی آن \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) تجویز میشود |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | مرز مکانیکی: مرز پیکربندی جاری/مرجع که روی آن \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (یا \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) تجویز میشود |
| \(\boldsymbol{n}\) | بردار نرمال واحد رو به بیرون سطح در پیکربندی جاری |
| \(\boldsymbol{N}\) | بردار نرمال واحد رو به بیرون سطح در پیکربندی مرجع |
| \(t\) | زمان |
قرارداد: کمیتهای فیزیکی در پیکربندی مرجع با حروف بزرگ یا زیرنویس \(0\) و کمیتهای پیکربندی جاری با حروف کوچک نمایش داده میشوند.
زمان و افزایشها (تحلیل افزایشی)
| نماد | توضیح |
| \(\Delta t\) | افزایش زمان: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | کمیت فیزیکی در زمان \(t\) (بالانویس چپ). مثال: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) تنش Cauchy در زمان \(t\) است |
| \(^{t}\Omega\) | دامنه پیکربندی جاری در زمان \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | مرز پیکربندی جاری در زمان \(t\) |
قرارداد: در تحلیل افزایشی، حالت تا زمان \(t\) معلوم و حالت در زمان \(t + \Delta t\) مجهول در نظر گرفته میشود. اگر نیاز به ذکر صریح زمان نباشد، بالانویس چپ حذف میشود. صورتبندی با پیکربندی مرجع \(\Omega_0\) بهعنوان مرجع، روش لاگرانژ کل و صورتبندی با پیکربندی جاری \(^{t}\Omega\) در آغاز افزایش بهعنوان مرجع، روش لاگرانژ بهروزشده نامیده میشود.
جابهجایی، سرعت، شتاب و نیروی جسمی
| نماد | توضیح |
| \(\boldsymbol{u}\) | بردار جابهجایی: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | جابهجایی تجویزشده روی مرز هندسی \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | جابهجایی مجازی (تابع آزمون): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) روی \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | بردار سرعت: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | بردار شتاب: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | نیروی جسمی (بر واحد جرم) |
| \(\boldsymbol{t}\) | بردار کشش سطحی (بر واحد سطح): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | کشش سطحی تجویزشده روی مرز مکانیکی \(\Gamma_t\) (داده Neumann) |
عملگرهای دیفرانسیلی
| نماد | توضیح |
| \(\dot{(\cdot)}\) | مشتق زمانی مادی (مشتق زمانی در امتداد همان نقطه مادی): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | گرادیان پیکربندی مرجع (نسبت به مختصات مادی \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | گرادیان پیکربندی جاری (نسبت به مختصات فضایی \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | عملگر گرادیان متقارن: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
نکته: \(\nabla_X\) و \(\nabla_x\) با رابطه \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) مرتبطاند. گرادیان بدون زیرنویس، \(\nabla\)، زمانی استفاده میشود که پیکربندی از متن مشخص باشد یا مانند تغییرشکل کوچک تمایز از بین برود.
تانسورهای تغییرشکل
| نماد | توضیح |
| \(\boldsymbol{F}\) | تانسور گرادیان تغییرشکل: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | نسبت تغییر حجم: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | تانسور تغییرشکل راست Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | تانسور تغییرشکل چپ Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | تانسور گرادیان سرعت: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | تانسور نرخ تغییرشکل (بخش متقارن \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | تانسور اسپین (بخش پادمتقارن \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
تانسورهای کرنش
| نماد | توضیح |
| \(\boldsymbol{E}\) | تانسور کرنش Green-Lagrange (پیکربندی مرجع): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | تانسور کرنش Almansi (پیکربندی جاری): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | بخش خطی تانسور کرنش Almansi (گرادیان متقارن جابهجایی در پیکربندی جاری): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | تانسور کرنش کوچک (تقریب خطی): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
نکته: \(\boldsymbol{E}\) عمدتاً در روش لاگرانژ کل و \(\boldsymbol{D}\) عمدتاً در روش لاگرانژ بهروزشده استفاده میشود.
تانسورهای تنش
| نماد | توضیح |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | تانسور تنش Cauchy (تنش واقعی، پیکربندی جاری): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | تانسور تنش اول Piola-Kirchhoff (تنش اسمی): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff (پیکربندی مرجع، متقارن): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
روابط تبدیل میان تانسورهای تنش:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
قرارداد: روش لاگرانژ کل از زوج \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) و روش لاگرانژ بهروزشده از زوج \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) استفاده میکند.
چگالی و جرم
| نماد | توضیح |
| \(\rho\) | چگالی جرم در پیکربندی جاری |
| \(\rho_0\) | چگالی جرم در پیکربندی مرجع |
قانون بقای جرم: \(\rho_0 = J\rho\).
ثابتهای ماده (کشسانی خطی)
| نماد | توضیح |
| \(E\) | مدول Young |
| \(\nu\) | نسبت Poisson |
| \(\lambda\) | ثابت اول Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | ثابت دوم Lamé (مدول برشی): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | تانسور الاستیسیته (مرتبه چهارم): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)، مؤلفهها \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (یا \(\hat{\tilde{C}}\)) | ماتریس ماده (نمایش Voigt، در 3D برابر \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
مؤلفههای تانسور الاستیسیته برای ماده الاستیک خطی همسانگرد:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
مواد هایپرالاستیک
| نماد | توضیح |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | تابع پتانسیل الاستیک (تابع چگالی انرژی کرنشی) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | ناورداهای اصلی تانسور راست Cauchy-Green یعنی \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | ناورداهای کاهشیافته \(\boldsymbol{C}\) (با جداسازی تغییر حجمی) |
| \(C_1, C_2\) | ثابتهای ماده مدل Mooney-Rivlin |
| \(D\) | ثابت ماده مرتبط با الاستیسیته حجمی |
مواد الاستوپلاستیک
| نماد | توضیح |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | مؤلفه الاستیک تانسور نرخ تغییرشکل |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | مؤلفه پلاستیک تانسور نرخ تغییرشکل |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | تابع تسلیم |
| \(\kappa\) | متغیر داخلی نمایشدهنده حالت پلاستیک (متغیر سختشوندگی همسانگرد) |
| \(\lambda^p\) | ضریب پلاستیک (ضریب نرخ کرنش پلاستیک): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | پتانسیل پلاستیک (در قانون جریان مرتبط \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | تنش معادل (برای مثال تنش فونمیزس) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | کرنش پلاستیک معادل |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | تابع سختشوندگی همسانگرد |
شرط مکملیت: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)، \(\lambda^p \geq 0\)، \(F \leq 0\).
روش اجزای محدود
| نماد | توضیح |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | دامنههای پیکربندی جاری و مرجع که با تقسیمبندی اجزای محدود تقریب زده شدهاند: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | دامنه المان در پیکربندی جاری و مرجع |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | بخش مرز المان که متعلق به مرز مکانیکی است |
| \(\boldsymbol{r}\) | مختصات طبیعی (مختصات محلی المان) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | نقطه در مختصات طبیعی متناظر با گره \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | تابع شکل متناظر با گره \(\alpha\) از المان \(e\) |
| \(n_e\) | تعداد گرههای تشکیلدهنده المان |
| \(n_g\) | تعداد کل گرههای کلی |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | مختصات و جابهجایی گره \(\alpha\) از المان |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | بردارهای مختصات و جابهجایی گرهای المان: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) و مانند آن |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | بردارهای مختصات و جابهجایی گرهای کلی (به ترتیب شماره گره، سپس درجه آزادی) |
| \(\boldsymbol{B}\) | ماتریس رابطه کرنش–جابهجایی (ماتریس B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | ماتریس تابع شکل: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) یک بلوک \(d \times d\) با تابع شکل \(N_\alpha^e\) گره \(\alpha\) روی قطر است و \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | ماتریس سختی المان |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | توابع زیرانتگرال ماتریس سختی المان (در پیکربندی مرجع و جاری): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (روش TL)، \(\boldsymbol{q}^e\) (روش UL) | بردار نیروی داخلی المان |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | نیروی خارجی گرهای وارد بر گره \(\alpha\) المان و بردار نیروی خارجی گرهای المان: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | بردار نیروی داخلی کلی و بردار نیروی خارجی کلی: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)؛ برای \(\boldsymbol{F}\) نیز مشابه است |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | نیروی داخلی و خارجی گرهای در گره کلی \(i_g\) (بلوکهای گرهای \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | ماتریس سختی مماسی کلی: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). ماتریسی که بلوک \(3\times 3\) یعنی \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) را در سطر \(i_g\) و ستون \(i_h\) قرار میدهد |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | بردار باقیمانده در تکرار Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | اصلاح در تکرار Newton-Raphson (با حل معادله خطی \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) در تکرار \(i\) به دست میآید) |
| \(i_g\) | شماره گره کلی (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | شماره گره کلی متناظر با شماره گره محلی \(\alpha\) در المان \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | مجموعه زوجهای \((e, \alpha)\) متناظر با شماره گره کلی \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). در عملیات مونتاژ استفاده میشود |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | مجموعه سهتاییهای \((e, \alpha, \beta)\) متناظر با زوج شماره گرههای کلی \((i_g, i_h)\)؛ برای مونتاژ ماتریس سختی استفاده میشود |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | اندیسهای گرههای تشکیلدهنده المان |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | اندیسهای درجات آزادی (در 3D برابر \(1, 2, 3\)) |
المانهای پیشرفته و المانهای سازهای
| نماد | توضیح |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | ماتریس رابطه کرنش–جابهجایی با بخش حجمی اصلاحشده در روش B-bar (مؤلفه حجمی با ماتریس B ارزیابیشده در مرکز المان جایگزین میشود) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | گرادیان تغییرشکل با بخش حجمی اصلاحشده در روش F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | نسبت حجمی گرادیان تغییرشکل ارزیابیشده در مرکز المان \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | بردار درجات آزادی داخلی در المان با مود ناسازگار (ضرایب مودهای جابهجایی اضافی که پیوستگی را روی مرز المان تحمیل نمیکنند) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | توابع شکل مودهای ناسازگار: \(M_1=1-\xi^2\)، \(M_2=1-\eta^2\)، \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | ضخامت المان پوسته |
| \(A\) | مساحت مقطع المان تیر |
| \(I\) | ممان دوم سطح مقطع المان تیر |
| \(G\) | مدول برشی: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
موارد مرتبط