پرش به محتویات

معیارهای همگرایی

به‌عنوان شرط پایان‌دادن به تکرار Newton-Raphson (روش Newton-Raphson)، FrontISTR از دو خانواده کمیت بی‌بُعد استفاده می‌کند: معیار نرم باقیمانده و معیار نرم تصحیح. هر دو تعریف یکسانی دارند، چه نوع تحلیل (تحلیل استاتیکی، تحلیل دینامیکی ضمنی) و چه وجود یا نبود تماس در نظر گرفته شود.

تقسیم‌بندی کمیت‌های آزمون

درجات آزادی گره، مؤلفه‌هایی با ابعاد فیزیکی متفاوت را در برمی‌گیرد. در المان 6-درجه‌آزادی، باقیمانده درجات آزادی انتقالی بُعد نیرو دارد، در حالی که باقیمانده درجات آزادی دورانی بُعد ممان دارد. همچنین در تحلیل تماس با روش ضرایب لاگرانژ (تحلیل تماس)، بردار باقیمانده سطرهایی معادل گپ تماس (بُعد طول) دارد.

اگر همه‌ی این‌ها را در یک مجموع مربعات ادغام کنیم، مقدار نرم با توجه به انتخاب دستگاه واحد به‌صورت دلخواه تغییر می‌کند و معنای آستانه مشخص نمی‌شود. ازاین‌رو FrontISTR کمیت‌های آزمون را بُعد‌به‌بُعد جدا می‌کند، هر یک را با کمیت مرجعِ مناسب بی‌بُعد می‌سازد و سپس آزمون را انجام می‌دهد.

نماد مؤلفه بُعد
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) باقیمانده درجات آزادی انتقالی (درجات آزادی گره 1–3) نیرو
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) باقیمانده درجات آزادی دورانی (درجات آزادی گره 4–6، فقط المان‌های 6-درجه‌آزادی) ممان
\(d\boldsymbol{\lambda}\) تصحیح ضرایب لاگرانژ نیرو

درجه آزادی فشار المان‌های همبسته با سیال (4 درجه آزادی گره، \(u,v,w,p\)) در آزمون گنجانده نمی‌شود.

در المان‌های تیر و پوسته با 3 درجه آزادی گره (641/761/781)، دوران با درجات آزادی 1–3 گره دمی که جفت گره انتقالی است، نمایش داده می‌شود. چون آزمون گره‌های دمی را تفکیک نمی‌کند، باقیمانده گره‌های دمی (ممان‌ها) نیز در مؤلفه‌ی انتقالی \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) گنجانده می‌شود. برای معیار نرم تصحیح و آزمون بر حسب بیشینه نیز همین‌طور است.

باقیمانده \(\tilde{\boldsymbol{R}}\)، مؤلفه‌های درجات آزادی‌ای که قید جابه‌جایی روی آن‌ها اعمال شده را در بر نمی‌گیرد؛ زیرا باقیمانده‌ای که در این درجات آزادی ظاهر می‌شود معادل واکنش قید است و خطای تعادل نیست (روش Newton-Raphson).

معیار نرم باقیمانده

باقیمانده \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) در تکرار \(i\)ام را با اندازه‌ی نیروهای موجود در سیستم در آن لحظه بی‌بُعد می‌کنیم. نیروی مرجع \(F_\mathrm{ref}\) مؤلفه‌ی انتقالی و ممان مرجع \(M_\mathrm{ref}\) مؤلفه‌ی دورانی را

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

این‌گونه تعریف می‌کنیم. در اینجا \(\boldsymbol{Q}\) بردار نیروی داخلی و \(\boldsymbol{D}\) مجموع نیروهای اینرسی و میرایی است

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(روش‌های تحلیل دینامیکی)؛ در تحلیل استاتیکی \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\) است. ایندیس‌های \(t, r\) به ترتیب مؤلفه‌های انتقالی و دورانی بخش قبل را نشان می‌دهند. کمیت‌های آزمون

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

است.

دلیل آن که کمیت مرجع را بیشینه‌ی نرم‌های نیروهای داخلی و نیروهای اینرسی و میرایی می‌گیریم و نه مجموع برداری \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\)، آن است که در ارتعاش آزاد بدون نیروی خارجی، حالت تعادل \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) را برقرار می‌کند و کمیت مرجعِ مبتنی بر مجموع برداری به \(0\) می‌رسد. با بیشینه‌ی نرم‌ها چنین خنثی‌شدنی رخ نمی‌دهد.

اگر کمیت مرجع از حدّ پایین از پیش تعیین‌شده (\(10^{-8}\)) کمتر شود (برای نمونه، اولین تکراری که از حالت بدون بار آغاز شده)، به‌جای تقسیم بر کمیت مرجع، خودِ نرم باقیمانده به‌عنوان کمیت آزمون به‌کار می‌رود. در این حالت آزمون بر حسب مقدار مطلق باقیمانده است.

معیار نرم تصحیح

تصحیح \(d\boldsymbol{u}_i\) به‌دست‌آمده در تکرار \(i\)ام را با افزایش جابه‌جایی \(\Delta\boldsymbol{u}\) که تا آن لحظه در همان زیرگام تجمیع شده است بی‌بُعد می‌کنیم.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

کوچک شدن تصحیح نسبت به افزایش تجمعی به‌اندازه‌ای کافی به این معناست که تکرار درجا زده است. برای مسئله‌هایی که در آن‌ها باقیمانده به‌آهستگی کاهش می‌یابد، به‌عنوان آزمون کمکی به‌کار می‌رود. در حالتی که مخرج \(0\) باشد، این معیار برقرارشده به‌شمار نمی‌آید.

معیار ضریب لاگرانژ

در تحلیل تماس با روش ضرایب لاگرانژ، تصحیح ضرایب را با اندازه‌ی خودِ ضرایب بی‌بُعد کرده و رابطه‌ی زیر را به آزمون می‌افزاییم:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

چون قیدهای گپ تماس به‌صورت معادلاتی برای ضرایب لاگرانژ در دستگاه معادلات گنجانده شده‌اند، همگرایی ضرایب به‌معنای برقراری قیدها در نظر گرفته می‌شود. خودِ باقیمانده‌ی گپ که بُعد طول دارد، به‌خاطر این‌که قابل جمع با باقیمانده‌های نیرو نیست، در معیار نرم باقیمانده گنجانده نمی‌شود.

ضرایب لاگرانژ نیروی تماس‌اند و بُعدی یکسان با نیروی مرجع \(F_\mathrm{ref}\) دارند؛ ازاین‌رو مخرج را از پایین با \(F_\mathrm{ref}\) محدود می‌کنیم. اگر فقط با \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) بی‌بُعدسازی شود، در وضعیتی که تماس تقریباً هیچ باری را تحمل نکند، آزمون بی‌پایان سخت می‌شود و برای گره‌هایی که تازه وارد تماس شده‌اند، \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) در حالی که \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\) است، پس آزمون نمی‌تواند برقرار شود. رفتار در حالتی که مخرج از حدّ پایین کمتر شود با معیار نرم باقیمانده یکسان است.

آزمون بر حسب بیشینه

نرم L2 مجموع مربعات روی همه‌ی درجات آزادی است؛ ازاین‌رو باقیمانده‌ای که فقط در برخی گره‌ها باقی مانده باشد، هرچه تعداد گره‌ها بیشتر باشد، در کل رقیق‌تر و کوچک‌تر ارزیابی می‌شود. برای تشخیص وضعیتی که در آن تعادل به‌صورت موضعی برقرار نیست — مانند گره‌های تماس —، می‌توان در هر یک از معیارهای پیشین، نرم L2 را با بیشینه‌ی مقدار مطلق مؤلفه‌های درجه آزادی جایگزین کرد و آزمون به‌دست‌آمده را به‌طور موازی به‌کار برد.

بیشینه‌ی مؤلفه‌ی انتقالی بردار \(\boldsymbol{v}\) را برای گره \(I\) و درجه آزادی گره \(k\) این‌گونه تعریف می‌کنیم:

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

مؤلفه‌ی دورانی \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) به‌طور مشابه برای \(k = 4,5,6\) تعریف می‌شود و برای ضرایب لاگرانژ بیشینه‌ی مقدار مطلق همه‌ی مؤلفه‌ها به‌کار می‌رود. کمیت‌های آزمون از جایگزینی نرم L2 هر معیار — هم در صورت و هم در مخرج — با این بیشینه به‌دست می‌آیند.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

مؤلفه‌های دورانی نیز به همین ترتیب‌اند. رفتار در حالتی که کمیت مرجع از حدّ پایین کمتر شود و در حالتی که مخرج \(0\) باشد، با معیارهای نرم L2 یکسان است.

کمیت‌های مرجع نیز به‌صورت بیشینه‌ی هم‌شکل گرفته شده‌اند تا اندازه‌ی کمیت‌های آزمون در سطحی هم‌اندازه با معیارهای نرم L2 حفظ شود و با آستانه‌های هم‌سطح قابل استفاده باشند. بر کمیت مرجعِ مجزّای هر مؤلفه‌ی درجه آزادی تقسیم نمی‌شود؛ زیرا در جهت‌های بدون بار، کمیت مرجع به \(0\) نزدیک می‌شود و کمیت آزمون از معنا می‌افتد.

در آزمون بر حسب بیشینه، گره و درجه آزادی‌ای که بیشینه را داده‌اند مشخص می‌شود. FrontISTR این اطلاعات را برای باقیمانده و تصحیح در گزارش هر تکرار چاپ می‌کند.

ترکیب آزمون‌ها

هر کمیت آزمون تا اینجا (باقیمانده، تصحیح و ضرایب لاگرانژ، برای مؤلفه‌های انتقالی و دورانی، و بر حسب نرم L2 یا بیشینه) را می‌توان به‌طور جداگانه مشخص کرد که در آزمون به‌کار رود (CHECK) یا نه (SKIP). به‌طور پیش‌فرض همه‌ی آزمون‌های مبتنی بر نرم L2 برابر CHECK و همه‌ی آزمون‌های مبتنی بر بیشینه برابر SKIP هستند.

معیار نرم باقیمانده و معیار نرم تصحیح را در صورت برقرار بودن یکی از آن‌ها همگرا به‌شمار می‌آوریم. در مقابل، معیار ضریب لاگرانژ آزمون برقراری قیدهای تماس است، بنابراین در تحلیل‌هایی که ضرایب لاگرانژ وجود دارند، همیشه الزامی است. درون هر معیار، همه‌ی موارد CHECK‌شده‌ی میان مؤلفه‌های انتقالی و دورانی و میان نرم L2 و بیشینه باید برقرار باشند.

برای بیان این مطلب به‌صورت رابطه، برای هر گروه \(G\) از کمیت‌های آزمون دو رابطه‌ی زیر را تعریف می‌کنیم:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{برقرار باشد} \ \vee\ m \text{SKIP باشد} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{CHECK باشد} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) در صورتی حقیقی است که در \(G\) هیچ کمیت آزمون CHECK‌شده‌ای نباشد. شرط همگرایی

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{معیار ضریب لاگرانژ}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{معیار نرم تصحیح}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{معیار نرم تصحیح}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{معیار نرم باقیمانده}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{معیار نرم باقیمانده}) \right) \right\} \]

است. دلیل آن‌که \(\mathrm{any\_check}\) را به دو گروهی که با «یا» به هم متصل‌اند افزوده‌ایم، آن است که گروهی که اصلاً هیچ کمیت CHECK‌شده‌ای ندارد نتواند بدون هیچ آزمونی از آزمون عبور کند. مؤلفه‌ی دورانی تحلیل‌هایی که درجه آزادی دورانی ندارند و معیار ضریب لاگرانژ تحلیل‌هایی که ضرایب لاگرانژ ندارند، حتی اگر CHECK تعیین شده باشد در آزمون به‌کار نمی‌روند. با تنظیمات پیش‌فرض، شرط همگرایی

\[ \left( \text{معیار ضریب لاگرانژ} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{معیار نرم تصحیح} \right) \ \vee\ \left( \text{معیار نرم باقیمانده} \right) \right\} \]

گرفته می‌شود. در تحلیل‌هایی که درجه آزادی دورانی دارند، هر دو مؤلفه‌ی انتقالی و دورانی ارزیابی می‌شوند و در تحلیل‌هایی که ضرایب لاگرانژ ندارند، شرطی بدون معیار ضریب لاگرانژ ارزیابی می‌شود.

برای نحوه‌ی تنظیم و مقادیر پیش‌فرض آستانه‌های \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) آزمون‌های مبتنی بر نرم L2 به !STEP؛ برای CHECK/SKIP و آستانه‌های آزمون‌های مبتنی بر بیشینه به !CONVERG_PARAM؛ و برای راهنمای انتخاب میان آن‌ها به تکرار غیرخطی و انتگرال‌گیری زمانی مراجعه کنید.

موارد مرتبط