پرش به محتویات

روش‌های تحلیل دینامیکی

در این بخش روش تحلیل مسائل دینامیکی با استفاده از انتگرال‌گیری مستقیم زمانی بیان می‌شود. فرمول‌بندی روش ضمنی و روش صریح در ادامه ارائه شده است.

گسسته‌سازی معادله حرکت (چارچوب مشترک)

بعداً تکمیل می‌شود (در فاز بعدی به متن کامل تبدیل خواهد شد).

روش ضمنی (روش Newmark-β)

برای مسائل دینامیکی، روش انتگرال‌گیری مستقیم زمانی برای حل معادله حرکت زیر به کار می‌رود.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

در اینجا \(M\) ماتریس جرم، \(C\) ماتریس میرایی، \(Q\) بردار نیروی داخلی و \(F\) بردار نیروی خارجی است. ماتریس جرم حتی در تحلیل غیرخطی نیز مستقل از تغییرشکل و ثابت فرض می‌شود.

تغییرات جابه‌جایی، سرعت و شتاب در گام زمانی \(\Delta t\) با روش Newmark-\(\beta\) مطابق معادلات \(\eqref{eq:2.5.2}\) و \(\eqref{eq:2.5.3}\) تقریب زده می‌شوند.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

در این روابط \(\gamma\) و \(\beta\) پارامترهای روش Newmark-\(\beta\) هستند.

همان‌گونه که شناخته شده است، انتخاب مقادیر زیر برای \(\gamma\) و \(\beta\) به‌ترتیب با روش شتاب خطی یا قاعده ذوزنقه‌ای متناظر است.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (روش شتاب خطی)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (قاعده ذوزنقه‌ای)

با جایگذاری معادلات \(\eqref{eq:2.5.2}\) و \(\eqref{eq:2.5.3}\) در معادله \(\eqref{eq:2.5.1}\)، رابطه زیر به دست می‌آید.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

به‌ویژه برای مسئله خطی، \(K_L\) ماتریس سختی خطی و \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) است. با جایگذاری آن در رابطه بالا، معادله زیر حاصل می‌شود.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

در نقاطی که شتاب به‌عنوان شرط مرزی هندسی مشخص شده است، جابه‌جایی زیر از معادله \(\eqref{eq:2.5.2}\) به دست می‌آید.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

به همین ترتیب، در نقاطی که سرعت مشخص شده است، جابه‌جایی زیر از معادله \(\eqref{eq:2.5.6}\) حاصل می‌شود.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

در اینجا، \(u_{is}(t+\Delta{t})\) جابه‌جایی گره‌ای در زمان \(t+\Delta{t}\)، \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) سرعت گره‌ای در زمان \(t+\Delta{t}\)، \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) شتاب گره‌ای در زمان \(t+\Delta{t}\)، \(i\) شماره درجه آزادی گره و \(s\) شماره گره است. همچنین، جمله‌های جرم و میرایی به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند.

نحوه برخورد با جمله جرم

ماتریس جرم اصولاً به‌صورت ماتریس جرم متمرکز در نظر گرفته می‌شود.

نحوه برخورد با جمله میرایی

جمله میرایی به‌صورت میرایی Rayleigh مطابق معادله \(\eqref{eq:2.5.8}\) در نظر گرفته می‌شود.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

در اینجا \(R_m\) و \(R_k\) پارامترهای میرایی Rayleigh هستند.

مقادیر \(R_m\) و \(R_k\) که با کارت !DYNAMIC مشخص می‌شوند، به‌طور یکنواخت به کل مدل اعمال می‌گردند. اگر لازم باشد \(R_m\) و \(R_k\) برای هر ماده متفاوت باشند، کارت !DAMPING را در بلوک !MATERIAL همان ماده تعیین کنید. برای المان‌های متعلق به ماده‌ای که !DAMPING دارد، ماتریس میرایی المان از ماتریس جرم \(M_i\) و ماتریس سختی مماسی \(K_i\) به‌صورت \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) محاسبه و در ماتریس میرایی کلی مونتاژ می‌شود. این قابلیت فقط در روش ضمنی فعال است.

روش صریح (روش تفاضل مرکزی)

در روش صریح، مبنا معادله حرکت در زمان t به صورت زیر است.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

جابه‌جایی‌ها در زمان‌های \(t + \Delta t\) و \(t - \Delta t\) با بسط Taylor حول زمان \(t\) بیان می‌شوند. با نگه‌داشتن جمله‌ها تا مرتبه دوم نسبت به \(\Delta t\)، روابط زیر به دست می‌آیند.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

از تفاضل و جمع معادلات \(\eqref{eq:2.5.3}\) و \(\eqref{eq:2.5.4}\)، روابط زیر حاصل می‌شوند.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

با جایگذاری معادلات \(\eqref{eq:2.5.12}\) و \(\eqref{eq:2.5.13}\) در معادله \(\eqref{eq:2.5.9}\)، معادله زیر به دست می‌آید.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

به‌ویژه برای مسئله خطی، \(Q(t) = K_L U(t)\) است و رابطه بالا به صورت زیر درمی‌آید.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

اگر ماتریس جرم \(M\) ماتریس جرم متمرکز و ماتریس میرایی، ماتریس میرایی متناسب به صورت \(C = R_m M\) در نظر گرفته شود، معادله \(\eqref{eq:2.5.15}\) نیازی به حل دستگاه معادلات همزمان ندارد.

بنابراین، \(U(t+\Delta t)\) را می‌توان از معادله \(\eqref{eq:2.5.15}\) با رابطه زیر محاسبه کرد.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

موارد مرتبط