تحلیل مودال¶

مسئلهٔ مقدار ویژهٔ تعمیم‌یافته¶

در تحلیل ارتعاش آزاد یک محیط پیوسته، با گسسته‌سازی مکانی، محیط به‌صورت یک سامانهٔ چنددرجه‌آزادی با جرم‌های متمرکز، مانند شکل 2.3.1، مدل می‌شود. برای مسئلهٔ ارتعاش آزاد بدون میرایی، معادلهٔ حاکم (معادلهٔ حرکت) به‌صورت زیر است.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

در اینجا، $u$ بردار جابه‌جایی تعمیم‌یافته، $M$ ماتریس جرم و $K$ ماتریس سختی است. فرکانس زاویه‌ای طبیعی را $\omega$، ثابت‌های دلخواه $a$ و $b$ را که هم‌زمان صفر نیستند، و $x$ را یک بردار در نظر گرفته و تابع زیر را تعریف می‌کنیم:

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

مشتق مرتبهٔ دوم این تابع برابر است با

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

با جایگذاری رابطه‌های $\eqref{eq:2.3.2}$ و $\eqref{eq:2.3.3}$ در رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.1}$، داریم

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

که رابطهٔ بالا به‌دست می‌آید.

برای یک ارتعاش نابدیهی، $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ همانیِ صفر نیست؛ بنابراین

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

به‌دست می‌آید. در نتیجه، با قرار دادن $\lambda=\omega^2$،

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

حاصل می‌شود.

ضریب $\lambda$ را مقدار ویژه و بردار $x$ را بردار ویژه می‌نامند؛ مسئلهٔ بیان‌شده با رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.5}$ نیز مسئلهٔ مقدار ویژهٔ تعمیم‌یافته نام دارد.

از مقدار ویژهٔ $\lambda=\omega^2$، فرکانس زاویه‌ای طبیعی $\omega$ به‌دست می‌آید و بردار ویژهٔ متناظر $x$ شکل مود ارتعاش را نشان می‌دهد.

نمونه‌ای از سامانهٔ چنددرجه‌آزادی برای ارتعاش آزاد بدون میرایی

شکل 2.3.1　نمونه‌ای از سامانهٔ چنددرجه‌آزادی برای ارتعاش آزاد بدون میرایی

ویژگی‌ها و فرض‌های ماتریس‌ها¶

برای مسئلهٔ مقدار ویژهٔ تعمیم‌یافتهٔ $Kx=\lambda Mx$ که در بخش پیش به‌دست آمد، این راهنما تقارن ماتریس‌های مسئله را فرض می‌کند. این ویژگی برای ماتریس مختلط به‌صورت هرمیتی بودن و برای ماتریس حقیقی به‌صورت متقارن بودن بیان می‌شود.

اگر مؤلفهٔ $ij$ ماتریس $K$ را $k_{ij}$ بنامیم، شرط هرمیتی بودن به‌صورت زیر است:

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

در اینجا، $\bar{k}_{ji}$ مزدوج مختلط $k_{ji}$ است. برای ماتریس حقیقی، این رابطه به $k_{ij}=k_{ji}$ تبدیل می‌شود.

همچنین، یک ماتریس حقیقی متقارن $H$ زمانی مثبت‌معین است که برای هر بردار ناصفر $x$،

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

رابطهٔ بالا برقرار باشد. در این حالت، همهٔ مقادیر ویژهٔ $H$ مثبت‌اند.

در مسئلهٔ مقدار ویژهٔ سازه‌ای، ماتریس جرم $M$ معمولاً مثبت‌معین در نظر گرفته می‌شود. با این حال، ماتریس سختی $K$ بسته به قیود می‌تواند مثبت‌نیمه‌معین باشد و مقادیر ویژهٔ صفر متناظر با مودهای جسم صلب داشته باشد.

تکرار معکوس انتقال‌یافته¶

در تحلیل سازه‌ای به روش اجزای محدود، معمولاً به همهٔ مقادیر ویژه نیاز نیست و اغلب تنها چند مقدار ویژهٔ مرتبهٔ پایین کافی است. HEC-MW برای مسائل بزرگ‌مقیاس در نظر گرفته شده است؛ در این مسائل، ماتریس‌ها بزرگ و بسیار تنک‌اند و مؤلفه‌های صفر فراوانی دارند. بنابراین، محاسبهٔ کارآمد مقادیر ویژهٔ مودهای مرتبهٔ پایین با توجه به این ویژگی‌ها اهمیت دارد.

اگر مقدار انتقال $\sigma$ باشد، به شرط آنکه $-\sigma$ مقدار ویژه نباشد و $K+\sigma M$ غیرتکین باشد، رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.5}$ را می‌توان به صورت زیر تبدیل کرد:

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

در این تبدیل، بردار ویژهٔ $x$ تغییر نمی‌کند و مقدار ویژهٔ $\lambda$ به $1/(\lambda+\sigma)$ نگاشت می‌شود.

ازاین‌رو، هرچه $\lambda$ به $-\sigma$ نزدیک‌تر باشد، قدر مطلق مقدار ویژهٔ تبدیل‌شده بزرگ‌تر است. در مسئلهٔ مقدار ویژهٔ سازه‌ای، $\lambda \geq 0$ و $\sigma \geq 0$ است؛ بنابراین پایین‌ترین مقدار ویژه به مقدار ویژه‌ای با بیشترین قدر مطلق نگاشت می‌شود. با استفاده از این ویژگی و اعمال یک روش تکراری که معمولاً ابتدا به مقادیر ویژهٔ با قدر مطلق بزرگ همگرا می‌شود بر رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.8}$، می‌توان مقادیر ویژهٔ مرتبهٔ پایین را به‌ترتیب و به‌طور کارآمد به‌دست آورد.

این روش تکرار معکوس انتقال‌یافته نام دارد.

در FrontISTR، برای تحلیل دارای قید، $\sigma = 0$ قرار داده می‌شود و رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.8}$ به $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$، یعنی تکرار معکوس بدون انتقال، تبدیل می‌شود. در تحلیل آزاد–آزادِ بدون قید، $K$ به‌علت داشتن مقادیر ویژهٔ صفر متناظر با مودهای جسم صلب تکین است؛ با دادن مقدار مثبت به $\sigma$، ماتریس $K+\sigma M$ غیرتکین می‌شود. مقدار $\sigma$ با SIGMA در !EIGEN تعیین می‌شود.

روش لانچوس¶

دلیل انتخاب (مقایسه با روش ژاکوبی)¶

روش ژاکوبی یکی از روش‌های کلاسیک شناخته‌شده است.

این روش برای ماتریس‌های کوچک و متراکم مؤثر است. اما چون ماتریس‌های مورد استفاده در HEC-MW بزرگ و تنک‌اند، روش ژاکوبی به‌کار نمی‌رود و به‌جای آن از روش تکراری لانچوس (Lanczos) استفاده می‌شود.

الگوریتم و ویژگی‌ها¶

این روش که C. Lanczos در دههٔ 1950 پیشنهاد کرد، الگوریتمی برای سه‌قطری‌سازی ماتریس است و ویژگی‌های زیر را دارد.

روشی تکراری است و می‌تواند محاسبه را با حفظ تنکی ماتریس پیش ببرد.
عملیات آن عمدتاً از ضرب ماتریس–بردار تشکیل می‌شود و برای موازی‌سازی مناسب است.
برای تجزیهٔ دامنهٔ هندسی مرتبط با مش اجزای محدود مناسب است.
با محدود کردن تعداد مقادیر ویژه یا بازهٔ مودهای مورد نیاز، محاسبهٔ کارآمدی فراهم می‌کند.

روش لانچوس از یک بردار اولیه آغاز می‌کند، بردارهای متعامد را به‌ترتیب می‌سازد و پایه‌ای برای زیرفضای Krylov به‌دست می‌آورد.

در حساب با دقت محدود، خطای گرد کردن می‌تواند باعث از دست رفتن تعامد بردارها شود. برای مهار این اثر، پیاده‌سازی FrontISTR هر بردار را نسبت به بردارهای پایهٔ Lanczos که پیش‌تر به‌دست آمده‌اند، دوباره متعامد می‌کند.

تفسیر هندسی (زیرفضای Krylov)¶

با اعمال تبدیل متغیرهای زیر به رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.8}$،

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

مسئله را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

و رابطهٔ بالا به‌دست می‌آید.

برای یک بردار دلخواه و ناصفر $q_0$،

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

فضایی که بردارهای بالا می‌گسترانند، یعنی

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

زیرفضای Krylov نامیده می‌شود.

روش لانچوس پایهٔ این زیرفضای Krylov را به‌صورت متوالی می‌سازد.

FrontISTR از ضرب داخلی زیر، وابسته به ماتریس جرم $M$،

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

برای متعامد و یکه‌سازی پایه استفاده می‌کند. ضرب داخلی $\langle x,y\rangle$ و نرم $\|x\|$ نشان‌داده‌شده در شکل‌های زیر، در محاسبات FrontISTR به‌ترتیب به‌عنوان همین ضرب داخلی $M$ و نرم متناظر $M$، یعنی

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

تفسیر می‌شوند.

تبدیل خطی تعریف‌شده با ماتریس $A$ را بر یک بردار دلخواه $q_0$ اعمال می‌کنیم (شکل 2.3.2).

$تبدیل خطی $q_0$ به‌وسیلهٔ ماتریس $A$$

شکل 2.3.2　تبدیل خطی $q_0$ به‌وسیلهٔ ماتریس $A$

بردار تبدیل‌شده در فضایی که همراه با بردار اولیه می‌سازد، متعامد می‌شود. به‌طور مشخص، متعامدسازی گرام–اشمیت مطابق شکل 2.3.3 انجام می‌شود. بردار حاصل را $r_1$ می‌نامیم و با نرمال‌سازی آن، $q_1$ به‌دست می‌آید.

$بردار $q_1$ متعامد با $q_0$$

شکل 2.3.3　بردار $q_1$ متعامد با $q_0$

با همین روش، $q_2$ از $q_1$ به‌دست می‌آید. در این حالت، $q_2$ هم بر $q_1$ و هم بر $q_0$ متعامد است (شکل 2.3.4).

$بردار $q_2$ متعامد با $q_1$ و $q_0$$

شکل 2.3.4　بردار $q_2$ متعامد با $q_1$ و $q_0$

بدین ترتیب، روش Lanczos یک پایهٔ متعامدِ یکه برای زیرفضای Krylov را به‌صورت متوالی می‌سازد. از نظر نظری، با استفاده از تقارن مسئلهٔ مقدار ویژه، این تکرار را می‌توان به‌شکل یک رابطهٔ بازگشتی سه‌جمله‌ای با بردارهای پایهٔ اخیر بیان کرد.

بااین‌حال، پیاده‌سازی FrontISTR برای مهار کاهش تعامد ناشی از حساب با دقت محدود، هر بردار را نسبت به پایه‌های Lanczos به‌دست‌آمده با ضرب داخلی $M$ دوباره متعامد می‌کند.

سه‌قطری‌سازی¶

در تکرار Lanczos در FrontISTR، بردارهای پایه نسبت به ضرب داخلی $M$ شرح‌داده‌شده در بخش پیش متعامد و یکه می‌شوند؛ بنابراین

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

رابطهٔ بالا برقرار است.

با استفاده از ماتریس $A$ در رابطهٔ $\eqref{eq:2.3.10}$، تکرار نظری Lanczos به‌صورت

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

با رابطهٔ بازگشتی سه‌جمله‌ای بالا بیان می‌شود.

ابتدا $\alpha_i$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

سپس باقیماندهٔ موقت را به‌صورت

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

تعریف می‌کنیم.

برای مهار کاهش تعامد ناشی از حساب با دقت محدود، پیاده‌سازی FrontISTR $\tilde{r}_{i+1}$ را نسبت به پایه‌های Lanczos به‌دست‌آمده با ضرب داخلی $M$ دوباره متعامد می‌کند. اگر باقیماندهٔ پس از بازمتعامدسازی را $r_{i+1}$ بنامیم،

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

رابطه‌های بالا برقرارند.

بردارهای پایهٔ $m$گانهٔ حاصل از تکرار Lanczos را به‌شکل

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

گردآوری می‌کنیم. آنگاه پس از تعداد متناهی تکرار Lanczos،

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

رابطهٔ بالا برقرار است.

در اینجا، $e_m$ بردار یکهٔ $m$-بعدی است که فقط مؤلفهٔ $m$-ام آن 1 و سایر مؤلفه‌هایش صفرند، و

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

یک ماتریس متقارن سه‌قطری است.

بنابراین، با محاسبهٔ مقادیر ویژهٔ ماتریس سه‌قطری $T_m$، می‌توان مقادیر ویژهٔ مسئلهٔ مقدار ویژهٔ بزرگ‌مقیاس اصلی را تقریب زد.

موارد مرتبط¶

تحلیل پاسخ فرکانسی — پاسخ فرکانسی با استفاده از نتایج تحلیل مودال
انواع تحلیل — نمای کلی قابلیت‌های تحلیل مودال