پرش به محتویات

تحلیل پاسخ فرکانسی

صورت‌بندی مسئله

تحلیل پاسخ فرکانسی، هنگامی که نیروی خارجی به‌صورت هماهنگ با زمان تغییر می‌کند، دامنه و فاز پاسخ حالت پایای سیستم را در حوزه فرکانس ارزیابی می‌کند. از آنجا که معادله حرکت در حالت بدون میرایی و با میرایی در چارچوب‌های متفاوتی بررسی می‌شود، در این فصل ابتدا مودهای ویژه از ارتعاش آزاد بدون میرایی استخراج می‌شوند و سپس پاسخ هماهنگ میرا بر پایه این مودها بسط داده می‌شود.

ارتعاش آزاد بدون میرایی و مودهای ویژه

اگر میرایی در نظر گرفته نشود، معادله حرکت به صورت زیر است.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

با بسط آن بر حسب هر مود ویژه داریم:

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

با جایگذاری این رابطه در معادله \(\eqref{eq:2.6.1}\) داریم:

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

این رابطه یک مسئله مقدار ویژه تعمیم‌یافته را تشکیل می‌دهد. روش‌های عددی حل آن، از جمله تکرار معکوس با شیفت و روش لانچوس، در تحلیل مودال توضیح داده شده‌اند. در این بخش، ویژگی‌های فرکانس‌های طبیعی و مودهای ویژه حاصل که در بسط پاسخ هماهنگ بعدی استفاده می‌شوند، جمع‌بندی می‌شوند.

حقیقی بودن فرکانس‌های طبیعی

حقیقی بودن فرکانس طبیعی را می‌توان به صورت زیر نشان داد. با قرار دادن \(\omega_j^2 = \lambda_j\) و گرفتن مزدوج مختلط معادله \(\eqref{eq:2.6.3}\)، معادله \(\eqref{eq:2.6.4}\) به دست می‌آید.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

با ضرب این رابطه در \(\overline{U}_J^T\) داریم:

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

از معادله \(\eqref{eq:2.6.5}\) داریم:

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

از آنجا که ماتریس جرم متقارن و مثبت معین است، برای هر بردار ویژه ناصفر داریم:

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

بنابراین،

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

در نتیجه \(\omega_j^2 = \lambda_j\) حقیقی است.

تعامد و نرمال‌سازی مودهای ویژه

دو مود متفاوت را در نظر می‌گیریم.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

از این رابطه نتیجه می‌شود:

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

و اگر مقادیر ویژه متفاوت باشند،

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

بنابراین مودهای ویژه متفاوت نسبت به ماتریس جرم متعامد هستند. برای یک مود یکسان، نرمال‌سازی نسبت به ماتریس جرم طبق معادله \(\eqref{eq:2.6.12}\) محاسبات بعدی را ساده‌تر می‌کند.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

پاسخ هماهنگ با میرایی

در ادامه، صورت‌بندی تحلیل پاسخ فرکانسی با در نظر گرفتن میرایی ارائه می‌شود. معادله حرکت مورد نظر در معادله \(\eqref{eq:2.6.13}\) آمده است.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

فرض می‌شود جمله میرایی از نوع Rayleigh باشد و مطابق معادله \(\eqref{eq:2.6.14}\) بیان شود.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

با استفاده از بردارهای ویژه به‌دست‌آمده از تحلیل مودال، بردار جابه‌جایی در زمان t را می‌توان مطابق معادله \(\eqref{eq:2.6.15}\) بسط داد.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

در این حالت، فرض می‌کنیم جمله نیروی خارجی به صورت نوسانگر هماهنگ زیر باشد:

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

در این حالت \(b_{j}(t)\) را تعیین می‌کنیم. چون معادله حرکت \(\eqref{eq:2.6.13}\) به شکل ارتعاش اجباری است،

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

برقرار است. بخش حقیقی و موهومی ضریب بسط \(b_{j}(t)\) به‌ترتیب به صورت معادلات \(\eqref{eq:2.6.18}i\) و \(\eqref{eq:2.6.19}\) به دست می‌آیند.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

به دست می‌آید.

موارد مرتبط