تحلیل هدایت حرارتی گذرا
گسستهسازی زمانی و روش حل تکراری تحلیل هدایت حرارتی جامدات با روش اجزای محدود (Finite Element Method) ارائه میشود. برای معادله حاکم و شرایط مرزی در محیط پیوسته به معادله هدایت حرارتی مراجعه کنید.
معادله گسستهشده (نقطه آغاز)
با گسستهسازی معادله هدایت حرارتی (معادله هدایت حرارتی (gov_he_main)) به روش گالرکین،
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
که در آن،
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
در اینجا، \(K\)، \(M\)، \(F\) و \(N\) بهترتیب ماتریس هدایت حرارتی (شامل جملات همرفت و تابش سهم مرزی)، ماتریس جرم، بردار بار حرارتی و ماتریس توابع شکل هستند. تعریف نمادهای خواص ماده (\(\rho\)، \(c\)، \(k_x, k_y, k_z\)، \(Q\)، \(hc\)، \(hr\) و غیره) مطابق معادله هدایت حرارتی است.
گسستهسازی زمانی و روش حل تکراری
معادله \(\eqref{eq:2.4.8}\) یک معادله غیرخطی و گذرا است. اکنون زمان را با روش اویلر پسرو گسسته میکنیم و وقتی دما در زمان \(t=t_0\) معلوم است، دما در زمان \(t=t_0+\Delta t\) را با استفاده از معادله زیر محاسبه میکنیم.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
بردار دمای \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) را که معادله \(\eqref{eq:2.4.13}\) را بهطور تقریبی ارضا میکند بهبود میدهیم تا جواب دقیقتر \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) بهدست آید.
برای این منظور، ابتدا بردار دما را بهصورت زیر بیان میکنیم.
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
حاصلضرب ماتریس هدایت حرارتی و بردار دما، ماتریس جرم و سایر کمیتها را بهطور تقریبی با معادلات زیر بیان میکنیم.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
با جایگذاری معادلات \(\eqref{eq:2.4.14}\)، \(\eqref{eq:2.4.15}\) و \(\eqref{eq:2.4.16}\) در معادله \(\eqref{eq:2.4.13}\) و صرفنظر کردن از جملات مرتبه دوم و بالاتر، معادله زیر بهدست میآید.
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
سپس ماتریس ضرایب سمت چپ را با استفاده از معادله زیر بهطور تقریبی ارزیابی میکنیم.
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
در اینجا \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ماتریس سختی مماسی است.
در نهایت، با انجام محاسبه تکراری با استفاده از معادله زیر میتوان دما در زمان \(t=t_0+\Delta t\) را محاسبه کرد.
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
بهویژه در تحلیل حالت پایا، محاسبه تکراری با استفاده از معادله زیر انجام میشود.
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
در تحلیل گذرا، چون برای گسستهسازی زمانی از روش ضمنی استفاده میشود، انتخاب افزایش زمانی \(\Delta t\) عموماً از نظر اندازه محدودیت پایداری ندارد. با این حال، اگر افزایش زمانی \(\Delta t\) بیش از حد بزرگ باشد، تعداد تکرارهای لازم برای همگرایی افزایش مییابد. بهطور کلی، اگر افزایش زمانی \(\Delta t\) بیش از حد بزرگ باشد، تعداد تکرارها افزایش مییابد. در پیادهسازی، اندازه بردار باقیمانده پایش میشود؛ اگر همگرایی کند باشد \(\Delta t\) کاهش و اگر تعداد تکرارها کم باشد \(\Delta t\) افزایش داده میشود و کنترل افزایش خودکار به کار میرود (→ برای جزئیات به کنترل گام مراجعه کنید).
موارد مرتبط