Hyppää sisältöön

Translation update pending

The Finnish translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Edistyneet elementtiformuloinnit

Kohdassa 3D-solidielementtien formulointi esitetty tavanomainen siirtymäpohjainen formulointi voi lähes kokoonpuristumattomilla materiaaleilla tai taivutusvaltaisissa ohutseinäisissä rakenteissa aiheuttaa liiallista keinotekoista jäykkyyttä eli lukkiutumista (tilavuuslukkiutumista tai leikkauslukkiutumista). Tämän välttämiseksi FrontISTR tarjoaa B-bar- ja F-bar-menetelmät, joissa korvataan vain B-matriisin tai muodonmuutosgradientin tilavuusosa; sisäisiä vapausasteita sisältävät yhteensopimattomat elementit; u-p-sekaelementit, joissa painetta käsitellään itsenäisenä tuntemattomana kenttänä; sekä levy- ja palkkirakenteisiin erikoistuneet MITC-kuori- ja palkkielementit.

Tässä luvussa esitetään yhteenveto näiden edistyneiden elementtien ja rakenne-elementtien formuloinneista elementtityypeittäin.

B-bar-menetelmä

Kun 8-solmuista lineaarista heksaedrielementtiä käytetään lähes kokoonpuristumattomalle materiaalille, yhden elementin sisäinen venymäkenttä voi olla ristiriidassa vakiotilavuusrajoitteen kanssa, jolloin syntyy liiallista jäykkyyttä eli tilavuuslukkiutumista. B-bar-menetelmä lieventää tätä ylirajoittuneisuutta korvaamalla tilavuuden muutokseen vaikuttavat B-matriisin komponentit elementin keskipisteessä arvioiduilla arvoilla [Hughes1980].

Olkoon elementin keskipisteessä \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) muotofunktioiden avaruusderivaatoista laskettu B-matriisi \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ja integrointipisteessä \(\boldsymbol{r}\) tavallinen B-matriisi \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Solmun \(\alpha\) ja vapausasteen \(i\) siirtymä–venymä-relaatiossa tilavuusvenymän komponentteja \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) muutetaan lisäämällä

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Leikkauskomponenteille \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) käytetään tavallista \(\boldsymbol{B}\)-matriisia. Elementin jäykkyys ja sisäisen voiman vektori kootaan näin saadun B-bar-matriisin avulla.

FrontISTR tarjoaa tämän formuloinnin nimenomaan 8-solmuiselle lineaariselle heksaedrielementille (elementtitunnus 361; katso Elementtien numerointijärjestelmä), ja sitä voidaan käyttää pienen muodonmuutoksen, Total Lagrange- ja Updated Lagrange -formuloinneissa.

F-bar-menetelmä

Äärellisessä muodonmuutoksessa tilavuuden muutos tulee epälineaarisesti mukaan muodonmuutosgradientin \(\boldsymbol{F}\) kautta. F-bar-menetelmä [deSouzaNeto1996] soveltaa muodonmuutosgradientin tasolla B-bar-menetelmää vastaavaa tilavuuslukkiutumisen käsittelyä.

Olkoon elementin keskipisteessä \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) arvioidun muodonmuutosgradientin tilavuussuhde \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ja integrointipisteessä tilavuussuhde \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Integrointipisteen muodonmuutosgradientti korvataan muodolla

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tällöin \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), joten koko elementin tilavuussuhde sovitetaan elementin keskipisteen arvoon. Korvattua \(\bar{\boldsymbol{F}}\)-gradienttia käytetään jännityksen arviointiin ja venymä–siirtymämatriisin muodostamiseen, ja elementin tangenttijäykkyyteen sisällytetään tähän korvaukseen liittyvät lisätermit.

FrontISTR toteuttaa F-bar-menetelmän nimenomaan 8-solmuiselle lineaariselle heksaedrielementille, ja sitä voidaan käyttää sekä pienen muodonmuutoksen että Total Lagrange / Updated Lagrange -epälineaarisen geometrian formuloinneissa.

Yhteensopimattomat elementit

8-solmuisesta lineaarisesta heksaedrielementistä puuttuvat taivutukseen tarvittavat venymämoodit, ja se kärsii taivutuslukkiutumisesta taivutusvaltaisissa ongelmissa. Yhteensopimattomat elementit [Taylor1976] tuovat elementin sisälle lisäsiirtymämoodeja tämän puutteen kompensoimiseksi.

Elementin solmusiirtymien \(\boldsymbol{u}^e\) lisäksi otetaan käyttöön vain elementin sisällä esiintyvät yhteensopimattomien moodien vapausasteet \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), 3 suuntaa × 3 moodia elementtiä kohti, ja siirtymäkenttää approksimoidaan muodossa

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Luonnollisille koordinaateille \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) yhteensopimattomiksi muotofunktioiksi otetaan \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) ja \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Ne eivät takaa jatkuvuutta elementtirajojen yli, mutta ne lisäävät sisäisen avaruuden, joka pystyy toistamaan taivutusmoodeihin liittyvät venymät.

Elementin jäykkyys kootaan ensin ulkoisten ja sisäisten vapausasteiden lohkomuodossa

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Kun järjestelmä on koottu tähän muotoon, sisäiset vapausasteet eliminoidaan staattisella kondensoinnilla käyttäen \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), jolloin saadaan vain ulkoiset vapausasteet sisältävä elementin jäykkyys

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

joka välitetään globaaliin kokoamiseen.

FrontISTR toteuttaa yhteensopimattoman elementin nimenomaan 8-solmuiselle lineaariselle heksaedrielementille (C3D8IC), ja sitä voidaan käyttää pienen muodonmuutoksen, Total Lagrange- ja Updated Lagrange -formuloinneissa.

U-P-sekaelementit

B-bar- ja F-bar-menetelmät korjaavat tilavuuskomponenttia siirtymäpohjaisessa kehyksessä, kun taas u-p-sekaelementti (U-P) käyttää sekaformulointia [Bathe1996], jossa paine \(\lambda\) otetaan käyttöön siirtymästä riippumattomana tuntemattomana kenttänä. Lähes kokoonpuristumattomilla materiaaleilla, kuten kumimaisilla materiaaleilla, joiden Poissonin luku on erittäin lähellä arvoa 0.5, tai plastisen muodonmuutoksen jälkeisillä metalleilla, vakiotilavuusrajoitteen pakottaminen pelkän siirtymäkentän avulla aiheuttaa tilavuuslukkiutumista; paineen käsitteleminen itsenäisenä muuttujana lieventää tätä rajoitetta.

Jännitys jaetaan deviaattoriseen ja painekomponenttiin muodossa

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Tässä \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) on deviaattorinen elastinen matriisi, joka saadaan poistamalla elastisesta matriisista tilavuusmoduuliin \(K\) verrannollinen tilavuusosa. Paine \(\lambda\) ja tilavuusvenymä \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) liittyvät toisiinsa kokoonpuristuvuuden \(\alpha^{-1} = 1/K\) kautta annetulla rajoitteella

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretointi, jossa siirtymä \(\boldsymbol{u}\) ja paine \(\lambda\) ovat tuntemattomia, tuottaa elementin kytketyn järjestelmän

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

jossa \(\mathbf{K}_{uu}\) sisältää deviaattorisen elastisen osuuden ja äärellisessä muodonmuutoksessa geometrisen jäykkyyden; \(\mathbf{K}_{up}\) kytkee tilavuusvenymän ja paineen; ja \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) on paineen stabilointitermi (\(\boldsymbol{N}_p\) on paineen muotofunktio). Koska paineen vapausasteet ovat elementin sisäisiä,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

tässä muodossa suoritetaan staattinen kondensointi, ja vain ulkoiset (siirtymän) vapausasteet sisältävä efektiivinen jäykkyys välitetään globaaliin kokoamiseen.

FrontISTR toteuttaa U-P-elementin nimenomaan 8-solmuiselle lineaariselle heksaedrielementille, jossa on yksi paineen vapausaste elementtiä kohti (vakio elementin sisällä). Sitä voidaan käyttää pienen muodonmuutoksen, Total Lagrange- ja Updated Lagrange -formuloinneissa. Updated Lagrange -formuloinnissa deviaattorinen jännitys päivitetään objektiivisen jännitysnopeuden (Jaumann/Hughes–Winget-tyyppi) avulla, minkä jälkeen paine \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) asetetaan staattisella kondensoinnilla saadun arvon perusteella.

Kuorielementit

Reissner–Mindlinin levy-/kuoriteoriaan perustuvia kuorielementtejä käytetään ohutseinäisissä levy- ja kuorirakenteissa. Paksuuden pienentyessä matalan kertaluvun siirtymäpohjaiset levy-/kuorielementit yliarvioivat poikittaisen leikkausvenymän tilavuuslukkiutumista vastaavan mekanismin (leikkauslukkiutumisen) kautta, jolloin taivutusmoodien jäykkyys kasvaa liiallisesti. MITC-menetelmä (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] välttää tämän ongelman ottamalla uudelleen näytteitä vain leikkausvenymäkomponenteista elementin ennalta määritetyissä sidontapisteissä ja interpoloimalla näytteistetyt arvot takaisin elementin alueelle.

MITC-kuorielementin solmut sijaitsevat keskipinnalla, ja kullakin solmulla on kuusi vapausastetta: kolme siirtymäkomponenttia ja kolme kiertokomponenttia keskipinnan normaalikoordinaatiston ympäri. Elementin jäykkyys arvioidaan kolmiulotteisella Gaussin integraatiolla keskipinnan luonnollisten koordinaattien ja paksuussuunnan yli, ja paksuus \(h\) annetaan elementtiominaisuutena konstitutiivisen arvioinnin yhteydessä.

FrontISTR tarjoaa MITC3- (elementtitunnus 731), MITC4- (741) ja MITC9-elementit (743), jotka esitetään yhdellä keskipintakerroksella, sekä kerrokselliset kuorielementit MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 solmua, 3 vapausastetta solmua kohti) ja MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 solmua, 3 vapausastetta solmua kohti), joiden solmut on järjestetty kahteen kerrokseen paksuussuunnassa. Kerroksellisissa kuorielementeissä solmujen vapausasteet koostuvat vain kolmesta siirtymäkomponentista, kun taas kiertovapausasteita vastaavat taivutusmoodit esitetään kaksikerroksisella järjestelyllä.

Palkkielementit

Viivamaiset rakenneosat, kuten palkistot ja runkorakenteet, diskretoidaan palkkielementeillä. Palkkielementit kuvaavat aksiaalisen venymän, taivutuksen ja väännön pelkästään palkkiakselilla olevien solmujen siirtymien ja kiertymien avulla, ja poikkileikkauksen sisäinen muodonmuutos esitetään poikkileikkausvakioilla.

Kullakin palkkisolmulla on kuusi vapausastetta: kolme siirtymäkomponenttia ja kolme kiertokomponenttia. Elementin jäykkyys saadaan muodostamalla suljetun muodon jäykkyysmatriisit aksiaaliselle venymälle, kahdensuuntaiselle taivutukselle ja väännölle paikallisessa koordinaatistossa, jonka määrittävät elementtiakseli ja poikkileikkaustiedoissa annettu vertailuakseli, ja muuntamalla ne sitten globaaliin koordinaatistoon. Poikkileikkauksen pinta-ala \(A\), paikallisten \(y\)- ja \(z\)-akselien suhteen määritetyt jäyhyysmomentit \(I_y\) ja \(I_z\) sekä vääntövakio annetaan poikkileikkaustietoina. Yhdessä materiaalin Youngin moduulin \(E\) ja Youngin moduulista sekä Poissonin luvusta johdetun leikkausmoduulin \(G\) kanssa ne määrittävät vastaavat jäykkyyskertoimet.

Taivutukselle on kaksi formulointia: Bernoulli–Euler-palkki, jossa poikkileikkauksen oletetaan pysyvän muodonmuutoksen jälkeen kohtisuorassa palkkiakseliin nähden ja leikkausmuodonmuutos jätetään huomiotta, sekä Timoshenko-palkki, jossa leikkausmuodonmuutos otetaan huomioon. Kaksisolmuiselle palkkielementille 611 voidaan valita kumpi tahansa, ja oletuksena on Bernoulli–Euler-palkki. Kun Timoshenko-palkin elementtipituus on \(L\), leikkausmuodonmuutoksen vaikutusta kuvaavat kertoimet

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

sisällytetään kummankin taivutustason jäykkyyskertoimiin. Esimerkiksi paikallisen \(y\)-suunnan taipuman jäykkyyskerroin on \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Tässä \(A_s\) on leikkauspinta-ala. Koska FrontISTR:n poikkileikkaustiedoissa ei anneta erillistä \(A_s\)-arvoa, käytetään \(A_s = A\). Tämä vastaa leikkauskorjauskertoimen arvoa 1. Kun \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), saadaan Bernoulli–Euler-palkin jäykkyys.

Elementti 641 on sekavapausasteinen elementti, joka kuvaa palkin kahdella siirtymävapausasteita sisältävällä solmulla ja kahdella kiertovapausasteita sisältävällä solmulla, ja se on formuloitu Bernoulli–Euler-palkkina.

Liittyvät aiheet