Fysikaalisten suureiden symboliluettelo
Tällä sivulla luetellaan FrontISTR:n teoriakäsikirjassa käytetyt fysikaalisten suureiden symbolit. Merkintätavat (vektorien ja tensorien lihavointi, Einsteinin summaussääntö ja Voigt-merkintä) on kuvattu kohdassa Tensorimerkintä ja matemaattiset perusteet.
Konfiguraatiot ja koordinaattijärjestelmät
| Symboli | Kuvaus |
| \(\boldsymbol{X}\) | Materiaalipisteen paikkavektori referenssi- eli alkukonfiguraatiossa (materiaalikoordinaatit) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Materiaalipisteen paikkavektori nykykonfiguraatiossa (spatiaaliset koordinaatit) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Liikekuvaus: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Kappaleen varaama alue referenssikonfiguraatiossa |
| \(\Omega\) | Kappaleen varaama alue nykykonfiguraatiossa |
| \(\Gamma_0\) | Alueen \(\Omega_0\) reuna |
| \(\Gamma\) | Alueen \(\Omega\) reuna |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrinen (siirtymä-) reuna: nyky-/referenssikonfiguraation reuna, jolla \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) on määrätty |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mekaaninen reuna: nyky-/referenssikonfiguraation reuna, jolla \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (tai \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) on määrätty |
| \(\boldsymbol{n}\) | Pinnan ulospäin suuntautuva yksikkönormaalivektori nykykonfiguraatiossa |
| \(\boldsymbol{N}\) | Pinnan ulospäin suuntautuva yksikkönormaalivektori referenssikonfiguraatiossa |
| \(t\) | Aika |
Käytäntö: Referenssikonfiguraation fysikaaliset suureet merkitään isoilla kirjaimilla tai alaindeksillä \(0\), kun taas nykykonfiguraation suureet merkitään pienillä kirjaimilla.
Aika ja inkrementit (inkrementaalinen analyysi)
| Symboli | Kuvaus |
| \(\Delta t\) | Aikainkrementti: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysikaalinen suure ajanhetkellä \(t\) (vasen yläindeksi). Esimerkiksi \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) on Cauchyn jännitys ajanhetkellä \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Nykykonfiguraation alue ajanhetkellä \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Nykykonfiguraation reuna ajanhetkellä \(t\) |
Käytäntö: Inkrementaalisessa analyysissä tila ajanhetkeen \(t\) asti käsitellään tunnettuna ja tila ajanhetkellä \(t + \Delta t\) ratkaistaan tuntemattomana. Vasen yläindeksi jätetään pois, kun aikaa ei tarvitse ilmaista eksplisiittisesti. Formulointia, joka käyttää referenssinä referenssikonfiguraatiota \(\Omega_0\), kutsutaan Total Lagrange -formuloinniksi, kun taas formulointia, joka käyttää referenssinä inkrementin alun nykykonfiguraatiota \(^{t}\Omega\), kutsutaan Updated Lagrange -formuloinniksi.
Siirtymä, nopeus, kiihtyvyys ja tilavuusvoima
| Symboli | Kuvaus |
| \(\boldsymbol{u}\) | Siirtymävektori: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Geometrisella reunalla \(\Gamma_B\) määrätty siirtymä |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuaalinen siirtymä (testifunktio): \(\Gamma_B\) reunalla \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Nopeusvektori: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Kiihtyvyysvektori: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Tilavuusvoima (massayksikköä kohti) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Pintavoimavektori (pinta-alayksikköä kohti): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Mekaanisella reunalla \(\Gamma_t\) määrätty pintavoima (Neumann-data) |
Differentiaalioperaattorit
| Symboli | Kuvaus |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiaaliaikaderivaatta (samaa materiaalipistettä seuraava aikaderivaatta): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Referenssikonfiguraation gradientti (gradientti materiaalikoordinaattien \(\boldsymbol{X}\) suhteen): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Nykykonfiguraation gradientti (gradientti spatiaalisten koordinaattien \(\boldsymbol{x}\) suhteen): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrinen gradienttioperaattori: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Huomautus: \(\nabla_X\) ja \(\nabla_x\) liittyvät toisiinsa yhteydellä \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradienttia ilman alaindeksiä, \(\nabla\), käytetään, kun konfiguraatio ilmenee asiayhteydestä tai ero katoaa, kuten pienten muodonmuutosten ongelmissa.
Muodonmuutostensorit
| Symboli | Kuvaus |
| \(\boldsymbol{F}\) | Muodonmuutosgradienttitensori: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Tilavuussuhde: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Oikea Cauchy–Greenin muodonmuutostensori: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Vasen Cauchy–Greenin muodonmuutostensori: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Nopeusgradienttitensori: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Muodonmuutosnopeustensori (\(\boldsymbol{L}\):n symmetrinen osa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Pyörähdystensori (\(\boldsymbol{L}\):n vinosymmetrinen osa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Venymätensorit
| Symboli | Kuvaus |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green–Lagrangen venymätensori (referenssikonfiguraatio): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansin venymätensori (nykykonfiguraatio): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansin venymätensorin lineaarinen osa (symmetrinen siirtymägradientti nykykonfiguraatiossa): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimaalinen venymätensori (lineaarinen approksimaatio): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Huomautus: \(\boldsymbol{E}\):tä käytetään ensisijaisesti Total Lagrange -formuloinnissa, kun taas \(\boldsymbol{D}\):tä käytetään ensisijaisesti Updated Lagrange -formuloinnissa.
Jännitystensorit
| Symboli | Kuvaus |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchyn jännitystensori (todellinen jännitys, nykykonfiguraatio): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Ensimmäinen Piola–Kirchhoffin jännitystensori (nimellisjännitys): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Toinen Piola–Kirchhoffin jännitystensori (referenssikonfiguraatio, symmetrinen): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Jännitystensorien väliset muunnossuhteet:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Käytäntö: Total Lagrange -formulointi käyttää paria \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), kun taas Updated Lagrange -formulointi käyttää paria \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Tiheys ja massa
| Symboli | Kuvaus |
| \(\rho\) | Massatiheys nykykonfiguraatiossa |
| \(\rho_0\) | Massatiheys referenssikonfiguraatiossa |
Massan säilyminen: \(\rho_0 = J\rho\).
Materiaalivakiot (lineaarinen elastisuus)
| Symboli | Kuvaus |
| \(E\) | Youngin moduuli |
| \(\nu\) | Poissonin luku |
| \(\lambda\) | Ensimmäinen Lamén vakio: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Toinen Lamén vakio (leikkausmoduuli): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastisuustensori (neljättä kertalukua): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponentit \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (tai \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materiaalimatriisi (Voigt-merkintä, 3D:ssä \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Isotrooppisen lineaarisesti elastisen materiaalin elastisuustensorin komponentit:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastiset materiaalit
| Symboli | Kuvaus |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastinen potentiaalifunktio (venymäenergiatiheysfunktio) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Oikean Cauchy–Greenin tensorin \(\boldsymbol{C}\) pääinvariantit |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Tensorin \(\boldsymbol{C}\) redusoidut invariantit (tilavuusmuutos erotettu) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney–Rivlin-mallin materiaalivakiot |
| \(D\) | Tilavuuselastisuuteen liittyvä materiaalivakio |
Elastoplastiset materiaalit
| Symboli | Kuvaus |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Muodonmuutosnopeustensorin elastinen osa |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Muodonmuutosnopeustensorin plastinen osa |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Myötöfunktio |
| \(\kappa\) | Plastista tilaa kuvaava sisäinen muuttuja (isotrooppisen lujittumisen muuttuja) |
| \(\lambda^p\) | Plastinen kerroin (plastisen venymänopeuden kerroin): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastinen potentiaali (\(\Theta = F\) assosioidulle virtaussäännölle) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalenttijännitys (esim. von Mises -jännitys) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentti plastinen venymä |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrooppinen lujittumisfunktio |
Komplementaarisuusehto: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Elementtimenetelmä
| Symboli | Kuvaus |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Elementtidiskretisoinnilla approksimoidut nyky- ja referenssikonfiguraation alueet: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementin alue nyky- ja referenssikonfiguraatiossa |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Mekaaniseen reunaan kuuluva elementin reunan osa |
| \(\boldsymbol{r}\) | Luonnolliset koordinaatit (elementin paikalliset koordinaatit) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Solmua \(\alpha\) vastaava piste luonnollisissa koordinaateissa |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Elementin \(e\) solmua \(\alpha\) vastaava muotofunktio |
| \(n_e\) | Elementin muodostavien solmujen määrä |
| \(n_g\) | Globaalien solmujen kokonaismäärä |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Elementtisolmun \(\alpha\) koordinaatit ja siirtymä |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elementin solmukoordinaatti- ja siirtymävektorit: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) jne. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globaalit solmukoordinaatti- ja siirtymävektorit (järjestetty ensin solmun numeron, sitten vapausasteen mukaan) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Venymä-siirtymäyhteyden matriisi (B-matriisi) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Muotofunktiomatriisi: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) on \(\alpha\) -lohko, jonka diagonaalilla on solmun \(N_\alpha^e\) muotofunktio \(d \times d\), ja \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementin jäykkyysmatriisi |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Elementin jäykkyysmatriisin integroitavat lausekkeet (esitetty referenssi- ja nykykonfiguraatiossa): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulointi), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulointi) | Elementin sisäisten voimien vektori |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Elementtisolmuun \(\alpha\) vaikuttava solmun ulkoinen voima sekä elementin solmujen ulkoisten voimien vektori: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globaali sisäisten voimien vektori ja globaali ulkoisten voimien vektori: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); vastaavasti \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Globaalin solmun \(i_g\) solmun sisäinen ja ulkoinen voima (vektorien \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) solmulohkot) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globaali tangentiaalinen jäykkyysmatriisi: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriisi muodostetaan sijoittamalla \(3\times 3\) -lohko \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) riville \(i_g\), sarakkeeseen \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton–Raphson-iteroinnin residuaalivektori: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton–Raphson-iteroinnin korjaus (saadaan ratkaisemalla iteraatiossa \(i\) lineaarinen yhtälö \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\)) |
| \(i_g\) | Globaali solmunumero (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Elementin \(e\) paikallista solmunumeroa \(\alpha\) vastaava globaali solmunumero: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Globaalia solmunumeroa \(i_g\) vastaavien \((e, \alpha)\)-parien joukko: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Käytetään kokoamisoperaatioissa |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Globaalien solmunumeroiden paria \((i_g, i_h)\) vastaavien \((e, \alpha, \beta)\)-monikkojen joukko; käytetään jäykkyysmatriisin kokoamiseen |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Elementin muodostavien solmujen indeksit |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Vapausasteiden indeksit (3D:ssä \(1, 2, 3\)) |
Edistyneet elementit ja rakenne-elementit
| Symboli | Kuvaus |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Venymä-siirtymäyhteyden matriisi, jonka tilavuusosaa on muutettu B-bar-menetelmällä (tilavuuskomponentti korvataan elementin keskipisteessä arvioidulla B-matriisilla) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Muodonmuutosgradientti, jonka tilavuusosaa on muutettu F-bar-menetelmällä: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Elementin keskipisteessä \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) arvioidun muodonmuutosgradientin tilavuussuhde: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Incompatible-mode-elementin sisäinen vapausastevektori (sellaisten lisäsiirtymämuotojen kertoimet, jotka eivät pakota jatkuvuutta elementin reunalla) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Incompatible-muotojen muotofunktiot: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Kuorielementin paksuus |
| \(A\) | Palkkielementin poikkipinta-ala |
| \(I\) | Palkkielementin poikkileikkauksen toinen momentti |
| \(G\) | Leikkausmoduuli: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Liittyvät aiheet