Hyppää sisältöön

Konvergenssikriteerit

Newton–Raphson-iteroinnin (Newton–Raphsonin menetelmä) lopettamisen ehdoksi FrontISTR käyttää kahta mitatonta suureperhettä: residuumin normikriteeriä ja korjausmäärän normikriteeriä. Molemmien määritelmä on sama riippumatta analyysin tyypistä (staattinen analyysi, implisiittinen dynaaminen analyysi) ja siitä, onko kontaktia.

Arviointisuureiden jakaminen

Solmuvapausasteisiin sekoittuu eri fyysisten dimensioiden komponentteja. 6 vapausasteen elementeissä siirtymävapausasteiden residuumilla on voiman dimensio, kun taas kiertovapausasteiden residuumilla on momentin dimensio. Lisäksi Lagrange'n kertoimen menetelmällä tehtävässä kontaktianalyysissä (kontaktianalyysi) residuumivektoriin lisätään kontaktiväliä (pituuden dimensio) vastaavia rivejä.

Nämä yhdistettynä yhteen neliösummaan, normin arvo vaihtelisi mielivaltaisesti yksikköjärjestelmän valinnan mukaan, eikä kynnysarvon merkitys olisi määrätty. Siksi FrontISTR jakaa arviointisuureet dimensioittain, muuntaa jokaisen vastaavalla viitesuureella mitattomaksi suureeksi ja tekee arvioinnin sen jälkeen.

Symboli Komponentti Dimensio
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Siirtymävapausasteiden (solmuvapausasteet 1–3) residuumit Voima
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Kiertovapausasteiden (solmuvapausasteet 4–6, vain 6 vapausasteen elementeissä) residuumit Momentti
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Lagrange'n kertoimen korjausmäärä Voima

Virtauksen ja rakenteen kytkeytymisen elementtien (4 solmuvapausastetta, \(u,v,w,p\)) paineen vapausastetta ei sisällytetä arvioon.

3 solmuvapausasteen palkki- ja kuori-elementeissä (641/761/781) kierot esitetään siirtymäsolmujen kanssa paritettujen dummy-solmujen vapausasteilla 1–3. Koska arvio ei erota dummy-solmuja, myös dummy-solmujen residuumit (momentit) sisältyvät siirtymäkomponenttiin \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Sama pätee korjausmäärän normikriteeriin ja suurimman arvon perusteella tehtyyn arvioon.

Residuumin \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) komponenteista on jätetty pois ne, jotka vastaavat vapausasteita, joihin on määrätty siirtymärajoite. Tämä johtuu siitä, että näissä vapausasteissa esiintyvät residuumit vastaavat rajoitusreaktioita, eivät tasapainon virheitä (Newton–Raphsonin menetelmä).

Residuumin normikriteeri

Iteraation \(i\) residuumi \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) muunnetaan mitattomaksi suureeksi tuolloin järjestelmässä vaikuttavien voimien suuruudella. Siirtymäkomponentin viitevoima \(F_\mathrm{ref}\) ja kiertokomponentin viitemomentti \(M_\mathrm{ref}\) määritellään

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

missä \(\boldsymbol{Q}\) on sisävoimavektori ja \(\boldsymbol{D}\) hitaus- ja viskositeettivoimien summa

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(dynaaminen analyysi). Staattisessa analyysissä \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Laindeksit \(t, r\) viittaavat edellisen luvun siirtymä- ja kiertokomponentteihin. Arviointisuureet ovat

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Viitevoima on otettu sisävoiman ja hitaus- sekä viskositeettivoimien normien maksimiksi, ei niiden vektorisumman \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\) perusteella lasketuksi suureksi, koska ilman ulkoisia voimia tapahtuvassa vapaassa värähtelyssä tasapainotilassa \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), jolloin vektorisummaan perustuva viitesuure putoaisi arvoon \(0\). Normien maksimilla tätä kumautumista ei tapahdu.

Jos viitesuure jää ennalta määrätyn alarajan (\(10^{-8}\)) alapuolelle (esimerkiksi lastaamattomasta tilasta aloitettaessa tehty ensimmäinen iteraatio), jakamista viitesuureella ei tehdä, vaan arviointisuureeksi otetaan residuumin normi itse. Tällöin arvio tehdään residuumin itseisarvon perusteella.

Korjausmäärän normikriteeri

Iteraation \(i\) aikana saatu korjausmäärä \(d\boldsymbol{u}_i\) muunnetaan mitattomaksi suureeksi kyseisellä aliaskelillä siihen mennessä kertyneellä siirtymäinkrementillä \(\Delta\boldsymbol{u}\).

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Korjausmäärän oleman riittävän pieni kertyneeseen inkrementtiin nähden merkitsee sitä, että iterointi on pysähtynyt. Kriteeriä käytetään apukriteerinä ongelmissa, joissa residuumi pienenee vain hitaasti. Jos nimittäjä on \(0\), kriteeriä ei pidetä täyttyneenä.

Lagrange'n kertoimen kriteeri

Lagrange'n kertoimen menetelmällä tehtävässä kontaktianalyysissä arvioon lisätään kertoimen korjausmäärä, joka on muunnettu mitattomaksi suureeksi kertoimien omalla suuruudella:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Kontaktivälirajoitteet on yhdistetty yhtälöryhmään Lagrange'n kertoimia koskeviksi yhtälöiksi, joten rajoitusten katsotaan täyttyneen, jos kertoimet ovat konvergoineet. Pituuden dimensioa olevia kontaktivälin residuumeja ei sisällytetä residuumin normikriteeriin, koska niitä ei voi laskea yhteen voiman residuumien kanssa.

Lagrange'n kertoimet ovat kontaktivoimia, joiden dimensio on sama kuin viitevoiman \(F_\mathrm{ref}\) dimensio, joten nimittäjää rajataan alhaalta arvolla \(F_\mathrm{ref}\). Pelkästään suureella \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) normittaisiin, arvio tulisi rajattoman karmaksi tilanteissa, joissa kontakti kantaa lähes mitään kuormaa, ja juuri kontaktiin astuvissa solmuissa \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) mutta \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), jolloin ehto ei voisi täyttyä. Nimittäjän alarajan alapuolelle jäämisen käsittely on sama kuin residuumin normikriteerissä.

Arvio suurimman arvon perusteella

Koska L2-normi on kaikkien vapausasteiden neliösumma, vain joissakin solmuissa jäljellä olevat residuumit harvennevat koko joukossa sitä mukaa kuin solmujen määrä kasvaa, ja ne arvioidaan pienemmiksi. Paikallisia, tasapainon täyttymättömiä tiloja, kuten kontaktisolmuissa esiintyviä tiloja, voidaan tunnistaa käyttämällä rinnakkain arviointia, jossa edellisissä kriteereissä L2-normi on korvattu vapausastekomponenttien itseisarvojen maksimilla.

Vektorin \(\boldsymbol{v}\) siirtymäkomponentin maksimi määritellään solmun \(I\) ja solmuvapausasteen \(k\) osalta

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Kiertokomponentti \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) määritellään vastaavasti arvoilla \(k = 4,5,6\), ja Lagrange'n kertoimille otetaan kaikkien komponenttien itseisarvojen maksimi. Arviointisuureet saadaan korvaamalla kunkin kriteerin L2-normit sekä osoittajassa että nimittäjässä tällä maksimilla.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Kiertokomponentit käsitellään vastaavasti. Viitesuureiden alarajan alapuolelle jäämisen ja nimittäjän olevan \(0\) tapauksen käsittely on sama kuin L2-normikriteereissä.

Viitesuureet on myös otettu saman muotoisina maksimeina, jotta arviointisuureiden suuruus säilyisi L2-normikriteerien tasolla ja samankorkuisia kynnysarvoja voitaisiin käyttää. Jakamista kunkin vapausastekomponentin omalla erillisellä viitesuureella ei tehdä, koska kuormattomissa suunnissa viitesuure lähestyy arvoa \(0\) ja arviointisuure menettää merkityksensä.

Suurimman arvon perusteella tehdyssä arviossa määrittyy solmu ja vapausaste, jotka antavat maksimin. FrontISTR tulostaa nämä residuumille ja korjausmäärälle jokaisen iteraation lokiin.

Arviointien yhdistäminen

Kukin tähän menoon esitetty arviointisuure (residuumi, korjausmäärä ja Lagrange'n kerroin, siirtymä- ja kiertokomponenteille, sekä L2-normin että maksimin muodossa) voidaan erikseen määrittää käytettäväksi arvioinnissa (CHECK) tai jätettäväksi pois arvioinnista (SKIP). Oletusarvona kaikki L2-normiin perustuvat arviot ovat CHECK, ja kaikki suurimman arvon perusteella tehdyt arviot ovat SKIP.

Konvergenssi katsotaan saavutetuksi, jos joko residuumin normikriteeri tai korjausmäärän normikriteeri täyttyy. Lagrange'n kertoimen kriteeri puolestaan varmistaa kontaktirajoitusten täyttymisen, joten se vaaditaan aina analyyseissä, joissa Lagrange'n kertoimia on. Yhden kriteerin sisällä on täytettävä kaikki CHECK-merkinnän saaneet vaihtoehdot siirtymä- ja kiertokomponenttien sekä L2-normin ja maksimin joukosta.

Tämän ilmaisemiseksi kaavalla määritellään arviointisuureiden joukolle \(G\) kaksi seuraavaa:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ on täytetty} \ \vee\ m \text{ on SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ on CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) on totta, jos joukko \(G\) ei sisällä yhtään CHECK-merkinnän saanutta arviointisuuretta. Konvergenssiehto on

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Lagrange'n kertoimen kriteeri}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{korjausmäärän normikriteeri}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{korjausmäärän normikriteeri}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{residuumin normikriteeri}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{residuumin normikriteeri}) \right) \right\} \]

\(\mathrm{any\_check}\)-ehto, joka on liitetty "tai"-yhdisteellä toisiinsa kytkettyihin joukkoihin, estää joukon, jolla ei ole yhtään CHECK-merkintää, pääsemästä arvioinnin ohi tarkistamatta. Kiertovapausasteetonta analyysissä kiertokomponentteja eikä Lagrange'n kertoimia sisältämättömässä analyysissä Lagrange'n kertoimen kriteeriä käytetä arvioinnissa, vaikka ne olisivat merkitty CHECK:ksi. Oletusasetuksissa konvergenssiehto on

\[ \left( \text{Lagrange'n kertoimen kriteeri} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{korjausmäärän normikriteeri} \right) \ \vee\ \left( \text{residuumin normikriteeri} \right) \right\} \]

jolloin kiertovapausasteita sisältävissä analyyseissä arvioidaan sekä siirtymä- että kiertokomponentteja ja Lagrange'n kertoimia sisältämättömässä analyysissä ehto ilman Lagrange'n kertoimen kriteeriä.

L2-normiin perustuvien arvioiden kynnysarvojen \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) määritysmenetelmästä ja oletusarvoista katso !STEP, CHECK/SKIP-asetuksista ja suurimman arvon perusteella tehtyjen arvioiden kynnysarvoista !CONVERG_PARAM sekä kriteerien valintaa ohjaavista periaatteista Epälineaarinen iterointi ja aikaintegrointi (toiminnot).

Liittyvät aiheet