Hyppää sisältöön

Verifiointi yksinkertaisen geometrian mallilla

Lineaarinen elastinen staattinen analyysi

Tässä verifioinnissa käytetään ulokepalkkia, jonka verkotus on esitetty kuvassa 9.1.1. Analyysit suoritettiin seitsemälle tapaukselle exA–exG vaihtelemalla kuormitusehtoja kuvan 9.1.2 mukaisesti. Tapauksessa exG kuormitusehdot ovat samat kuin tapauksessa exA, mutta siinä käytetään suoraa ratkaisijaa.

Kunkin tapauksen verifiointitulokset esitetään taulukoissa 9.1.1–9.1.7.

Esimerkki ulokepalkin verkosta (heksaedrielementit) Kuva 9.1.1 Esimerkki ulokepalkin verkosta (heksaedrielementit)
(a) exA, G: Keskitetty kuorma
(b) exD: Painovoima
(c) exB: Pintaan jakautunut kuorma
(d) exE: Keskipakovoima
(e) exC: Tilavuuskuorma
(f) exF : Lämpökuorma
Kohta Arvo
Youngin moduuli \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Pituus \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poissonin luku \(\nu = 0.3\)
Poikkipinta-ala \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Massatiheys \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Pinta-alan toinen momentti \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Painovoiman kiihtyvyys \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Lineaarinen lämpölaajenemiskerroin \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Kuva 9.1.2 Ulokepalkkimallin verifiointiehdot

Taulukko 9.1.1 : exA: Keskitetyn kuorman ongelman verifiointitulokset

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : \(\delta_{max}= -1.000\) Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 solmua
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 solmua
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 solmua
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 solmua
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 solmua
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 solmua
A731 40 - - -0.991 33 solmua / suora menetelmä
A741 20 - - -0.996 33 solmua / suora menetelmä

Taulukko 9.1.2 : exB: Pintaan jakautuneen kuorman ongelman verifiointitulokset

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : \(\delta_{max}= -3.750\) Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 solmua
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 solmua
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 solmua
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 solmua
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 solmua
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 solmua
B731 40 - - -3.722 33 solmua / suora menetelmä
B741 20 - - -3.743 33 solmua / suora menetelmä

Taulukko 9.1.3 : exC: Tilavuuskuorman ongelman verifiointitulokset

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 solmua
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 solmua
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 solmua
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 solmua
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 solmua
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 solmua
C731 40 - - -2.922e-5 33 solmua / suora menetelmä
C741 20 - - -2.938e-5 33 solmua / suora menetelmä

Taulukko 9.1.4 : exD: Painovoimaongelman verifiointitulokset

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 solmua
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 solmua
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 solmua
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 solmua
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 solmua
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 solmua
D731 40 - - -2.922e-5 33 solmua / suora menetelmä
D741 20 - - -2.938e-5 33 solmua / suora menetelmä

Taulukko 9.1.5 : exE: Keskipakovoimaongelman verifiointitulokset

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 solmua
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 solmua
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 solmua
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 solmua
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 solmua
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 solmua
E731 40 - - 2.619e-3 33 solmua / suora menetelmä
E741 20 - - 2.622e-3 33 solmua / suora menetelmä

Taulukko 9.1.6 : exF: Lämpöjännityskuorman ongelman verifiointitulokset

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 solmua
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 solmua
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 solmua
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 solmua
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 solmua
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 solmua

Taulukko 9.1.7 : exG: Suoran menetelmän verifiointitulokset (keskitetyn kuorman ongelma)

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo: δmax= -1.000 Huomautukset
NASTRAN Kaupallinen FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 solmua
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 solmua
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 solmua
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 solmua
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 solmua
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 solmua
G731 40 - - -0.991 33 solmua / suora menetelmä
G741 20 - - -0.996 33 solmua / suora menetelmä

Epälineaarinen staattinen analyysi

(2-1) exnl1: Geometrisesti epälineaarinen analyysi

Tapauksen exI verifiointimalli on sama kuin tapausten exA–exG mallit. Kuvassa 9.1.3 esitetään verifiointimallin kaavio. Tälle mallille suoritetaan geometrisesti epälineaarinen analyysi. Verifiointitulokset esitetään taulukossa 9.1.8.

Epälineaarisessa laskennassa käytetään vertailukuormaa \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), ja laskenta tehdään 10 kuormitusaskeleella käyttäen kuormituslisäystä \(0.1P\).

Verifiointimalli Kuva 9.1.3 Verifiointimalli

Taulukko 9.1.8 exI: Verifiointitulokset (suurimman taipuman historia)

Tapauksen nimi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Lineaarinen ratkaisu
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastinen muodonmuutosanalyysi

Tämä verifiointiongelma perustuu NAFEMSin (National Agency for Finite Element Methods and Standards, Yhdistynyt kuningaskunta) testiin NL1, ja siinä suoritetaan elastoplastinen muodonmuutosanalyysi, jossa otetaan huomioon geometrinen epälineaarisuus ja useita lujittumissääntöjä. Kuvassa 9.1.4 esitetään analyysimalli.

Elastoplastisen muodonmuutosanalyysin malli

Kuva 9.1.4 Elastoplastisen muodonmuutosanalyysin malli

(1) Verifiointiehdot

Kohta Arvo
Materiaali Mises-elastoplastinen materiaali
Youngin moduuli \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poissonin luku \(\nu=0.25\)
Alkuperäinen myötöjännitys \(5\ \mathrm{MPa}\)
Alkuperäinen myötövenymä \(0.25\times10^{-4}\)
Isotrooppinen lujittumiskerroin \(H_i = 0\) tai \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Reunaehdot

Kohta Reunaehto Arvo
Vaihe 1 Määrätty siirtymä solmuissa 2 ja 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Vaihe 2 Määrätty siirtymä solmuissa 2 ja 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Vaihe 3 Määrätty siirtymä solmuissa 3 ja 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Vaihe 4 Määrätty siirtymä solmuissa 3 ja 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Vaihe 5 Määrätty siirtymä solmuissa 2 ja 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Vaihe 6 Määrätty siirtymä solmuissa 2 ja 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Vaihe 7 Määrätty siirtymä solmuissa 3 ja 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Vaihe 8 Määrätty siirtymä solmuissa 3 ja 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Kaikki tässä luettelemattomat solmut on täysin tuettu. Tämän ongelman teoreettinen ratkaisu on seuraava.

Venymä (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalenttijännitys (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Vertailuksi laskentatulokset ovat seuraavat.

Venymä (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalenttijännitys (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktianalyysi (1)

Tämä verifiointiongelma perustuu National Agency for Finite Element Methods and Standardsin (Yhdistynyt kuningaskunta) kontaktipintatestin ongelmaan CGS-4, ja siinä testataan kitkallisen suuren liukumisen kontaktin toimivuutta. Kuvassa 9.1.5 esitetään analyysimalli.

Kontaktianalyysin malli

Kuva 9.1.5 Kontaktianalyysin malli

Tämän ongelman tasapainoehto on seuraava.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Tartuntakitkan vaiheessa kitkavoima on

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

ja liukukitkan vaiheessa se on

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Näin saadaan yllä oleva relaatio.

Laskentatulosten ja analyyttisen ratkaisun vertailu on seuraava.

\(\mu\) \(F/G\) Analyyttinen ratkaisu \(F/G\) Laskentatulokset
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Kontaktianalyysi (2): Hertzin kontaktiongelma

Tässä verifioinnissa analysoidaan äärettömän pitkän sylinterin ja äärettömän tason välinen Hertzin kontaktiongelma. Sylinterin säde on \(R = 8\ \mathrm{mm}\), ja muodonmuuttuvan kappaleen Youngin moduuli \(E\) ja Poissonin luku \(\mu\) ovat vastaavasti \(1100\ \mathrm{MPa}\) ja \(0.0\). Kontaktialue oletetaan riittävän pieneksi sylinterin säteeseen verrattuna, ja ongelman symmetrian perusteella analysoidaan neljännessylinterimalli.

Hertzin kontakiongelman analyysimalli Kuva 9.1.6 Hertzin kontaktiongelman analyysimalli

(1) Kontaktisäteen verifiointitulokset

Kontaktisäteen laskemiseen käytettävä teoreettinen kaava on seuraava:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

missä

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Tästä saadaan yllä oleva lauseke. Näillä laskentaehdoilla, kun paine on \(F=100\), kontaktisäde on \(a=1.36\).

Kuvassa 9.1.7 esitetään kontaktipisteiden ekvivalentit solmuvoimat. Kontaktisäde saadaan ekstrapoloimalla tätä solmuvoimajakaumaa.

Ekvivalenttien solmuvoimien jakauma kontaktipisteissä

Kuva 9.1.7 Ekvivalenttien solmuvoimien jakauma kontaktipisteissä

(2) Suurimman leikkausjännityksen verifiointitulokset

Teoreettisessa ratkaisussa kontaktikohdassa

\[ z = 0.78a \]

suurin leikkausjännitys on

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Tämä on teoreettinen suurin leikkausjännitys. Näillä laskentaehdoilla

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Tämä on teoreettinen arvo näillä laskentaehdoilla. Vertailuksi laskenta antaa

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Tämä on laskentatulos.

Leikkausjännityksen jakauma (suurin arvo = 15.6 Kuva 9.1.8 Leikkausjännityksen jakauma (suurin arvo = 15.6)

(3) Moodianalyysi

Tapausten exJ ja exK verifiointimallit ovat samat kuin tapausten exA–exG mallit. Kuvassa 9.1.9 esitetään verifiointimallin kaavio. Tälle mallille suoritetaan moodianalyysi. Kolme ensimmäistä ominaisvärähtelytaajuutta lasketaan. Tapauksessa exJ käytetään iteratiivista ratkaisijaa, kun taas tapauksessa exK käytetään suoraa ratkaisijaa. Verifiointitulokset esitetään taulukoissa 9.1.9–9.1.12.

Verifiointimalli Kuva 9.1.9 Verifiointimalli

Ulokepalkin ominaisvärähtelytaajuudet saadaan seuraavista yhtälöistä.

Ensimmäinen muoto

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Toinen muoto

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Kolmas muoto

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Verifiointimallin ominaisuusarvot ovat

Kohta Arvo
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Näin ollen kolme ensimmäistä ominaisvärähtelytaajuutta ovat seuraavat:

Muodon numero Arvo
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Taulukko 9.1.9 : exJ: Iteratiivisen menetelmän verifiointitulokset ensimmäiselle ominaisvärähtelytaajuudelle

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : n1=3.609e3 Huomautukset
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 solmua
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 solmua
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 solmua
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 solmua
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 solmua
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 solmua

Taulukko 9.1.10 : exJ:n iteratiivisen menetelmän verifiointitulokset toiselle ominaisvärähtelytaajuudelle

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : n2=2.262e4 Huomautukset
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 solmua
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 solmua
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 solmua
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 solmua
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 solmua
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 solmua

Huomautus) Kolmiulotteisissa malleissa kaksi ensimmäistä moodia ovat degeneroituneet. Siksi kolmas laskettu ominaisvärähtelytaajuus esitetään taulukossa toisena ominaisvärähtelytaajuutena.

Taulukko 9.1.11 : exK:n suoran menetelmän verifiointitulokset ensimmäiselle ominaisvärähtelytaajuudelle

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : n1=3.609e3 Huomautukset
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 solmua
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 solmua
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 solmua
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 solmua
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 solmua
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 solmua
J731 40 - 3.606e3 220 solmua
J741 20 - 3.594e3 220 solmua

Taulukko 9.1.12 : exK:n suoran menetelmän verifiointitulokset toiselle ominaisvärähtelytaajuudelle

Tapauksen nimi Elementtien määrä Ennustettu arvo : n2=2.262e4 Huomautukset
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 solmua / tasojännitystilan ongelma
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 solmua / tasojännitystilan ongelma
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 solmua / tasojännitystilan ongelma
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 solmua
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 solmua
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 solmua
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 solmua
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 solmua
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 solmua
J731 40 - 2.156e4 220 solmua
J741 20 - 2.153e4 220 solmua

Huomautus) Kolmiulotteisissa malleissa kaksi ensimmäistä moodia ovat degeneroituneet. Siksi kolmas laskettu ominaisvärähtelytaajuus esitetään taulukossa toisena ominaisvärähtelytaajuutena.

(4) Lämmönjohtumisanalyysi

Stationääristen lämmönjohtumisanalyysien yhteiset ehdot esitetään kuvassa 9.1.10. Verifiointitapausten exM–exT tapauskohtaiset ehdot esitetään kuvassa 9.1.11. Verkotus on sama kuin tapauksessa exA käytetty.

Kunkin tapauksen verifiointitulokset esitetään lämpötilajakaumataulukoina taulukoissa 9.1.13–9.1.20.

Lämmönjohtumisanalyysi
AB-välin pituus \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Poikkipinta-ala \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Lämmönjohtavuuden lämpötilariippuvuus

Lämmönjohtavuus \(\lambda\) (W/(m·K)) Lämpötila (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Kuva 9.1.10 : Stationäärisen lämmönjohtumisanalyysin verifiointiehdot
exM: Lineaarinen materiaali
exN: Määrätyn lämpötilan ongelma
exO: Keskitetyn lämpövuon ongelma
exP: Jakautuneen lämpövuon ongelma
exQ: Konvektiivisen lämmönsiirron ongelma
exR: Säteilylämmönsiirron ongelma
exS: Tilavuuslämmöntuoton ongelma
exT: Sisäisen raon ongelma

Kuva 9.1.11 : Kunkin verifiointitapauksen analyysiehdot

Taulukko 9.1.13 : exM:n verifiointitulokset (lineaarisen materiaalin stationäärinen laskenta)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Taulukko 9.1.14 : exN:n verifiointitulokset (määrätyn lämpötilan ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Taulukko 9.1.15 : exO:n verifiointitulokset (keskitetyn lämpövuon ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Taulukko 9.1.16 : exP:n verifiointitulokset (jakautuneen lämpövuon ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Taulukko 9.1.17 : exQ:n verifiointitulokset (konvektiivisen lämmönsiirron ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Taulukko 9.1.18 : exR:n verifiointitulokset (säteilylämmönsiirron ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Taulukko 9.1.19 : exS:n verifiointitulokset (tilavuuslämmöntuoton ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Taulukko 9.1.20 : exT:n verifiointitulokset (sisäisen raon ongelma)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Elementit/solmut Etäisyys päästä A (m)
Pää A 2.0 4.0 6.0 8,0 Pää B
Kaupallinen 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Lineaarinen dynaaminen analyysi

Tapauksessa exW suoritetaan lineaarinen dynaaminen analyysi samalle ulokepalkille kuin kohdassa (1). Kuvassa 9.1.12 esitetään verifiointiehdot. Samalla verkotuksella verifioidaan aika-askeleen vaikutus tuloksiin. Käytetään sekä implisiittisiä että eksplisiittisiä aikaintegrointimenetelmiä elementtityypeillä 361 ja 342. Verifiointitulokset esitetään taulukossa 9.1.22 ja kuvissa 9.1.13–9.1.15.

Analyysimalli Analyysimalli

Ulkoisen voiman F aikahistoria Ulkoisen voiman F aikahistoria

Herätepisteen siirtymän teoreettinen ratkaisu on seuraava:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

missä

\[ \(F_0:\ \text{Vakiovektori}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Kuva 9.1.12 : Lineaarisen dynaamisen analyysin verifiointiehdot

Verifiointiehdot:
Pituus \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Poikkileikkauksen leveys \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Poikkileikkauksen korkeus \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Youngin moduuli \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poissonin luku \(\nu\) \(0.3\)
Tiheys \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Painovoiman kiihtyvyys \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Ulkoinen voima \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Elementti Lineaarinen heksaedrielementti
Toisen kertaluvun tetraedrielementti
Ratkaisu Implisiittinen menetelmä
Newmark-\(\beta\)-menetelmän parametri \(\gamma\) 1/2
Newmark-\(\beta\)-menetelmän parametri \(\beta\) 1/4
Eksplisiittinen menetelmä
Vaimennus Ei mitään

Taulukko 9.1.21 : Lineaarisen dynaamisen analyysin verifiointiehdot (jatkuu)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Solmujen määrä Elementtien määrä Menetelmä Aika-askel \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.0E-07

Taulukko 9.1.22 : exW:n lineaarisen dynaamisen analyysin verifiointitulokset (ulokepalkki)

Tapauksen nimi Elementtityyppi Solmujen määrä Elementtien määrä Menetelmä z-suuntainen siirtymä ajanhetkellä \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implisiittinen menetelmä 1.9753 Ei konvergoitunut
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Eksplisiittinen menetelmä 1.9753 Ei konvergoitunut

Ulokepalkin muodonmuutoskuva ja ekvivalenttijännityksen jakauma Kuva 9.1.13 : Ulokepalkin muodonmuutoskuva ja ekvivalenttijännityksen jakauma

(a) Elementtityyppi 361 : Implisiittinen menetelmä (a) Elementtityyppi 361: implisiittinen menetelmä

(b) Elementtityyppi 361 : Eksplisiittinen menetelmä (b) Elementtityyppi 361: eksplisiittinen menetelmä

Kuva 9.1.14 Herätepisteen siirtymän \(u_z\) aikahistoria

(a) Elementtityyppi 342: Implisiittinen menetelmä (a) Elementtityyppi 342: implisiittinen menetelmä

(b) Elementtityyppi 342: Eksplisiittinen menetelmä (b) Elementtityyppi 342: eksplisiittinen menetelmä

Kuva 9.1.15 : Herätepisteen siirtymän \(u_z\) aikahistoria

Taajuusvasteanalyysi

Tässä verifioinnissa ulokepalkille suoritetaan taajuusvasteanalyysi, joka verifioidaan vertaamalla tuloksia yleiskäyttöisen kaupallisen ratkaisijan tuloksiin. Analyysimalli ja verifiointiehdot esitetään alla.

Analyysiehdot:
Youngin moduuli \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poissonin luku \(\nu\) \(0.3\)
Tiheys \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Painovoiman kiihtyvyys \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Kuorma \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Rayleigh-vaimennuksen parametri \(R_m\) \(0.0\)
Rayleigh-vaimennuksen parametri \(R_k\) \(7.2E-07\)

Kuva 9.1.16 : Analyysimalli (lineaarinen tetraedrielementti, 126 elementtiä ja 55 solmua)

Moodianalyysillä saadut viisi ensimmäistä ominaisvärähtelytaajuutta ja herätepisteen taajuusvaste esitetään seuraavassa.

Muoto FrontISTR Kaupallinen
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Herätepisteen siirtymäamplitudin taajuusriippuvuus Kuva 9.1.17 : Herätepisteen siirtymäamplitudin taajuusriippuvuus