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Formulations avancées des éléments

La formulation standard fondée sur les déplacements présentée dans Formulation des éléments solides 3D présente une rigidité artificielle excessive appelée verrouillage (verrouillage volumique ou verrouillage de cisaillement) lorsqu’elle est appliquée à des matériaux quasi incompressibles ou à des structures minces dominées par la flexion. Pour l’éviter, FrontISTR propose les méthodes B-bar et F-bar, qui remplacent uniquement la partie volumique de la matrice B ou du gradient de déformation ; des éléments incompatibles comportant des degrés de liberté internes ; des éléments mixtes u-p qui traitent la pression comme un champ inconnu indépendant ; ainsi que des éléments de coque MITC et des éléments de poutre spécialisés pour les structures de type plaque et poutre.

Ce chapitre résume, élément par élément, les formulations de ces éléments avancés et de ces éléments structuraux.

Méthode B-bar

Lorsqu’un élément hexaédrique linéaire à 8 nœuds est utilisé pour un matériau quasi incompressible, le champ de déformation dans un élément peut entrer en conflit avec la contrainte de volume constant, ce qui produit une rigidité excessive appelée verrouillage volumique. La méthode B-bar atténue cette surcontrainte en remplaçant les composantes de la matrice B qui contribuent à l’expansion volumique par des valeurs évaluées au centre de l’élément [Hughes1980].

Au centre de l’élément \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), notons \(\bar{\boldsymbol{B}}\) la matrice B calculée à partir des dérivées spatiales des fonctions de forme ; au point d’intégration \(\boldsymbol{r}\), notons \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) la matrice B ordinaire. Dans la relation déplacement-déformation pour le nœud \(\alpha\) et le degré de liberté \(i\), les composantes de déformation volumique \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) sont modifiées en ajoutant

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Pour les composantes de cisaillement \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), la matrice \(\boldsymbol{B}\) ordinaire est utilisée. La matrice de rigidité élémentaire et le vecteur de forces internes sont assemblés avec la matrice B-bar ainsi obtenue.

FrontISTR fournit cette formulation spécifiquement pour l’élément hexaédrique linéaire à 8 nœuds (ID d’élément 361 ; voir Système de numérotation des éléments), et elle peut être appliquée aux formulations en petites déformations, lagrangienne totale et lagrangienne actualisée.

Méthode F-bar

En grandes déformations, la variation de volume intervient de manière non linéaire par l’intermédiaire du gradient de déformation \(\boldsymbol{F}\). La méthode F-bar [deSouzaNeto1996] applique au niveau du gradient de déformation un traitement du verrouillage volumique analogue à celui de la méthode B-bar.

Au centre de l’élément \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), soit \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) le rapport de volume du gradient de déformation évalué, et soit \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) le rapport de volume du gradient de déformation au point d’intégration. Le gradient de déformation au point d’intégration est remplacé par

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

On obtient ainsi \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), de sorte que le rapport de volume dans tout l’élément est ramené à la valeur au centre de l’élément. Le gradient remplacé \(\bar{\boldsymbol{F}}\) est utilisé pour l’évaluation des contraintes et la construction de la matrice déformation-déplacement, et la rigidité tangente élémentaire inclut les termes supplémentaires associés à ce remplacement.

FrontISTR implémente la méthode F-bar spécifiquement pour l’élément hexaédrique linéaire à 8 nœuds ; elle peut être appliquée aux petites déformations ainsi qu’aux géométries non linéaires en lagrangien total / lagrangien actualisé.

Éléments incompatibles

L’élément hexaédrique linéaire à 8 nœuds ne possède pas les modes de déformation nécessaires à la flexion et présente un verrouillage en flexion dans les problèmes dominés par la flexion. Les éléments incompatibles [Taylor1976] introduisent des modes de déplacement supplémentaires à l’intérieur de l’élément afin de compenser cette insuffisance.

En plus des déplacements nodaux de l’élément \(\boldsymbol{u}^e\), des degrés de liberté de modes incompatibles \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), présents uniquement à l’intérieur de l’élément, sont introduits à raison de 3 directions × 3 modes par élément, et le champ de déplacement est approximé par

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Pour les coordonnées naturelles \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), les fonctions de forme incompatibles sont \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) et \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Elles ne garantissent pas la continuité aux frontières entre éléments, mais ajoutent un espace interne capable de reproduire les déformations associées aux modes de flexion.

La rigidité élémentaire est d’abord assemblée sous forme de blocs degrés de liberté externes / degrés de liberté internes

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Après assemblage sous cette forme, une condensation statique élimine les degrés de liberté internes au moyen de \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), ce qui donne la rigidité élémentaire ne faisant intervenir que les degrés de liberté externes

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

qui est transmise à l’assemblage global.

FrontISTR implémente l’élément incompatible spécifiquement pour l’élément hexaédrique linéaire à 8 nœuds (C3D8IC), et il peut être appliqué aux formulations en petites déformations, lagrangienne totale et lagrangienne actualisée.

Éléments mixtes U-P

Alors que les méthodes B-bar et F-bar corrigent la composante volumique dans un cadre fondé sur les déplacements, l’élément mixte u-p (U-P) utilise une formulation mixte [Bathe1996] qui introduit la pression \(\lambda\) comme champ inconnu indépendant du déplacement. Pour les matériaux quasi incompressibles, tels que les matériaux de type caoutchouc dont le coefficient de Poisson est extrêmement proche de 0.5 ou les métaux après déformation plastique, l’application de la contrainte de volume constant au seul champ de déplacement provoque un verrouillage volumique ; le traitement de la pression comme variable indépendante relâche cette contrainte.

La contrainte est décomposée en composante déviatorique et composante de pression selon

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Ici, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) est la matrice élastique déviatorique obtenue en retranchant de la matrice élastique la partie volumique proportionnelle au module de compressibilité \(K\). La pression \(\lambda\) et la déformation volumique \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sont reliées par la contrainte faisant intervenir la compressibilité \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

La discrétisation avec le déplacement \(\boldsymbol{u}\) et la pression \(\lambda\) comme inconnues conduit au système couplé élémentaire

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

où \(\mathbf{K}_{uu}\) contient la contribution élastique déviatorique et, en grandes déformations, la rigidité géométrique ; \(\mathbf{K}_{up}\) couple la déformation volumique et la pression ; et \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) est le terme de stabilisation de la pression (\(\boldsymbol{N}_p\) est la fonction de forme de la pression). Comme les degrés de liberté de pression sont internes à l’élément,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

une condensation statique est effectuée sous cette forme, et la rigidité effective ne faisant intervenir que les degrés de liberté externes (déplacement) est transmise à l’assemblage global.

FrontISTR implémente l’élément U-P spécifiquement pour l’élément hexaédrique linéaire à 8 nœuds, avec un degré de liberté de pression par élément (constant dans l’élément). Il peut être appliqué aux formulations en petites déformations, lagrangienne totale et lagrangienne actualisée. En lagrangien actualisé, la contrainte déviatorique est mise à jour au moyen d’un taux de contrainte objectif (type Jaumann/Hughes-Winget), puis la pression \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) est imposée à partir de la valeur obtenue par condensation statique.

Éléments de coque

Les structures minces de plaques et coques sont modélisées avec des éléments de coque fondés sur la théorie de plaque/coque de Reissner-Mindlin. Lorsque l’épaisseur diminue, les éléments de plaque/coque de bas ordre fondés sur les déplacements surestiment la déformation de cisaillement transverse par un mécanisme analogue au verrouillage volumique (verrouillage de cisaillement), ce qui entraîne une augmentation excessive de la rigidité pour les modes de flexion. La méthode MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] évite ce problème en rééchantillonnant uniquement les composantes de déformation de cisaillement en des points de liaison prédéfinis dans l’élément, puis en réinterpolant ces valeurs échantillonnées dans l’élément.

Les nœuds d’un élément de coque MITC se trouvent sur la surface moyenne, et chaque nœud possède six degrés de liberté : trois composantes de translation et trois composantes de rotation autour du repère normal à la surface moyenne. La rigidité élémentaire est évaluée par une intégration gaussienne tridimensionnelle sur les coordonnées naturelles de la surface moyenne et dans la direction de l’épaisseur, et l’épaisseur \(h\) est fournie comme propriété d’élément lors de l’évaluation de la loi de comportement.

FrontISTR fournit MITC3 (ID d’élément 731), MITC4 (741) et MITC9 (743), représentés par une seule couche de surface moyenne, ainsi que les éléments de coque multicouches MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nœuds, 3 DDL par nœud) et MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nœuds, 3 DDL par nœud), dont les nœuds sont disposés en deux couches dans l’épaisseur. Dans les éléments de coque multicouches, les degrés de liberté nodaux ne comprennent que trois composantes de translation, tandis que les modes de flexion correspondant aux degrés de liberté de rotation sont représentés par la disposition en deux couches.

Éléments de poutre

Les éléments linéiques tels que les poutres et les ossatures sont discrétisés avec des éléments de poutre. Les éléments de poutre représentent la déformation interne de la section par des caractéristiques de section et décrivent l’allongement, la flexion et la torsion uniquement à partir des translations et rotations des nœuds situés sur l’axe de la poutre.

Chaque nœud d’un élément de poutre possède six degrés de liberté : trois composantes de translation et trois composantes de rotation. La rigidité élémentaire est obtenue en formant, dans un système de coordonnées local défini par l’axe de l’élément et l’axe de référence spécifié dans les données de section, des matrices de rigidité de forme fermée pour l’allongement, la flexion dans deux directions et la torsion, puis en les transformant dans le système de coordonnées global. Les données de section comprennent l’aire de section \(A\), autour des axes locaux \(y\) et \(z\) les moments quadratiques \(I_y\) et \(I_z\), ainsi que la constante de torsion ; avec le module de Young \(E\) et le module de cisaillement \(G\) calculé à partir du module de Young et du coefficient de Poisson, ils constituent les différents coefficients de rigidité.

Pour la flexion, on dispose de la poutre de Bernoulli-Euler, qui suppose que la section reste perpendiculaire à l’axe de la poutre après déformation et néglige la déformation de cisaillement, et de la poutre de Timoshenko, qui prend en compte la déformation de cisaillement. Les deux peuvent être sélectionnées pour l’élément de poutre à 2 nœuds 611 ; la poutre de Bernoulli-Euler est utilisée par défaut. Pour la poutre de Timoshenko, avec une longueur d’élément \(L\), les coefficients représentant la contribution de la déformation de cisaillement

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

sont inclus dans les coefficients de rigidité des plans de flexion correspondants. Par exemple, le coefficient de rigidité pour la flèche dans la direction locale \(y\) vaut \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). \(A_s\) est l’aire de cisaillement. Les données de section de FrontISTR ne contenant pas \(A_s\) séparément, on prend \(A_s = A\). Cela revient à prendre un facteur de correction de cisaillement égal à 1. En posant \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), on retrouve la rigidité de la poutre de Bernoulli-Euler.

L’élément 641 est un élément à degrés de liberté mixtes qui représente une poutre avec deux nœuds possédant des degrés de liberté de translation et deux nœuds possédant des degrés de liberté de rotation ; il est formulé comme une poutre de Bernoulli-Euler.

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