Vérification sur un modèle de forme simple¶

Analyse statique élastique¶

Cette vérification utilise une poutre en porte-à-faux maillée comme indiqué à la figure 9.1.1. Des analyses ont été réalisées pour sept cas, de exA à exG, en faisant varier les conditions de chargement comme indiqué à la figure 9.1.2. Le cas exG utilise les mêmes conditions de chargement que exA, mais avec un solveur direct.

Les résultats de vérification de chaque condition de charge sont présentés dans les tableaux 9.1.1 à 9.1.7.

Figure 9.1.1 Exemple de maillage d’une poutre en porte-à-faux (éléments hexaédriques)

	(a) exA, G: Charge concentrée
	(b) exD: Pesanteur
	(c) exB: Charge répartie en surface
	(d) exE: Force centrifuge
	(e) exC: Charge volumique
	(f) exF : Charge thermique

Figure 9.1.2 Conditions de vérification du modèle de poutre en porte-à-faux

Tableau 9.1.1 exA : résultats de vérification du problème de charge concentrée

Tableau 9.1.2 exB : résultats de vérification du problème de charge répartie en surface

Tableau 9.1.3 exC : résultats de vérification du problème de charge volumique

Tableau 9.1.4 exD : résultats de vérification du problème de pesanteur

Tableau 9.1.5 exE : résultats de vérification du problème de force centrifuge

Tableau 9.1.6 exF : résultats de vérification du problème de charge thermique

Tableau 9.1.7 exG : résultats de vérification de la méthode directe (problème de charge concentrée)

Analyse statique non linéaire¶

(2-1) exnl1 : analyse non linéaire géométrique¶

Le modèle de vérification du cas exI est identique aux modèles des cas exA à exG. La figure 9.1.3 présente un schéma du modèle de vérification. Une analyse géométriquement non linéaire est effectuée sur ce modèle. Les résultats de vérification sont présentés dans le tableau 9.1.8.

Le calcul non linéaire est effectué pour la charge de référence \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), avec un incrément de charge de \(0.1P\) sur 10 pas de charge.

Figure 9.1.3 Modèle de vérification

Tableau 9.1.8 exI : résultats de vérification (historique de la flèche maximale)

(2-2) exnl2 : analyse de déformation élastoplastique¶

Ce problème de vérification s’appuie sur le Test NL1 de la NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.)), et réalise une analyse de déformation élastoplastique intégrant la non-linéarité géométrique et plusieurs lois d’écrouissage. La figure 9.1.4 présente le modèle d’analyse.

Figure 9.1.4 Modèle d’analyse de déformation élastoplastique

(1) Conditions de vérification

(2) Conditions aux limites

Tous les nœuds non indiqués ici sont entièrement bloqués. La solution théorique de ce problème est la suivante.

En comparaison, les résultats du calcul sont les suivants.

Analyse de contact (1)¶

Ce problème de vérification s’appuie sur le patch test de contact CGS-4 de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), et vérifie la capacité de contact avec glissement fini et frottement. La figure 9.1.5 présente le modèle d’analyse.

Figure 9.1.5 Modèle d’analyse de contact

La condition d’équilibre de ce problème est la suivante.

Dans la phase de frottement avec adhérence, la force de frottement est

et, dans la phase de frottement avec glissement, elle vaut

On obtient ainsi la relation ci-dessus.

La comparaison entre les résultats du calcul et la solution analytique est la suivante.

Analyse de contact (2) : problème de contact de Hertz¶

Cette vérification analyse le problème de contact de Hertz entre un cylindre infiniment long et un plan infini. Le rayon du cylindre est \(R = 8\ \mathrm{mm}\), et le module de Young \(E\) ainsi que le coefficient de Poisson \(\mu\) du corps déformable valent respectivement \(1100\ \mathrm{MPa}\) et \(0.0\). La zone de contact est supposée suffisamment petite par rapport au rayon du cylindre et, compte tenu de la symétrie du problème, un modèle de quart de cylindre est analysé.

Figure 9.1.6 Modèle d’analyse du problème de contact de Hertz

(1) Résultats de vérification du rayon de contact¶

La formule théorique permettant de calculer le rayon de contact est la suivante :

où

On obtient ainsi l’expression ci-dessus. Dans les conditions de calcul présentes, lorsque la pression est \(F=100\), le rayon de contact vaut \(a=1.36\).

La figure 9.1.7 montre les forces nodales équivalentes aux points de contact. Le rayon de contact est obtenu par extrapolation de cette distribution de forces nodales.

Figure 9.1.7 Distribution des forces nodales équivalentes aux points de contact

(2) Résultats de vérification de la contrainte de cisaillement maximale¶

Dans la solution théorique, à la position de contact

la contrainte de cisaillement maximale vaut

Il s’agit de la contrainte de cisaillement maximale théorique. Dans les conditions de calcul présentes,

Il s’agit de la valeur théorique dans les conditions de calcul considérées. En comparaison, le calcul donne

Le calcul donne en revanche la valeur indiquée ci-dessus.

Figure 9.1.8 Distribution de la contrainte de cisaillement (valeur maximale = 15.6)

(3) Analyse modale¶

Les modèles de vérification des cas exJ et exK sont identiques aux modèles des cas exA à exG. La figure 9.1.9 présente un schéma du modèle de vérification. Une analyse modale est effectuée sur ce modèle. Les trois premières fréquences propres sont calculées. Le cas exJ utilise un solveur itératif, tandis que le cas exK utilise un solveur direct. Les résultats de vérification sont présentés dans les tableaux 9.1.9 à 9.1.12.

Figure 9.1.9 Modèle de vérification

Les fréquences propres de la poutre en porte-à-faux sont obtenues à partir des équations suivantes.

Première fréquence propre

Deuxième fréquence propre

Troisième fréquence propre

Les propriétés du modèle de vérification sont indiquées dans le tableau suivant.

Ainsi, les trois premières fréquences propres sont les suivantes :

Tableau 9.1.9 exJ : résultats de vérification de la méthode itérative (première fréquence propre)

Tableau 9.1.10 exJ : résultats de vérification de la méthode itérative (deuxième fréquence propre)

Remarque : dans les modèles tridimensionnels (3D), les deux premiers modes sont dégénérés. La troisième fréquence propre calculée est donc reportée dans le tableau comme deuxième fréquence propre.

Tableau 9.1.11 exK : résultats de vérification de la méthode directe (première fréquence propre)

Tableau 9.1.12 exK : résultats de vérification de la méthode directe (deuxième fréquence propre)

Remarque : dans les modèles 3D, les deux premiers modes sont dégénérés. La troisième fréquence propre calculée est donc reportée dans le tableau comme deuxième fréquence propre.

(4) Analyse de conduction thermique¶

Les conditions communes des analyses de conduction thermique en régime stationnaire sont présentées à la figure 9.1.10. Les conditions propres aux cas de vérification exM à exT sont présentées à la figure 9.1.11. Le découpage du maillage est équivalent à celui utilisé pour exA.

Les tableaux 9.1.13 à 9.1.20 présentent les distributions de température obtenues pour chaque cas.

Dépendance de la conductivité thermique à la température

Figure 9.1.10 conditions de vérification de l’analyse de conduction thermique stationnaire

exM: Matériau linéaire
exN: Problème de température imposée
exO: Problème de flux thermique concentré
exP: Problème de flux thermique réparti
exQ: Problème de transfert thermique convectif
exR: Problème de transfert thermique radiatif
exS: Problème de génération volumique de chaleur
exT: Problème de jeu interne

Figure 9.1.11 conditions d’analyse pour chaque cas de vérification

Tableau 9.1.13 résultats de vérification de exM (calcul stationnaire d’un matériau linéaire)

Tableau 9.1.14 résultats de vérification de exN (problème de température imposée)

Tableau 9.1.15 résultats de vérification de exO (problème de flux thermique concentré)

Tableau 9.1.16 résultats de vérification de exP (problème de flux thermique réparti)

Tableau 9.1.17 résultats de vérification de exQ (problème de transfert thermique convectif)

Tableau 9.1.18 résultats de vérification de exR (problème de transfert thermique radiatif)

Tableau 9.1.19 résultats de vérification de exS (problème de génération volumique de chaleur)

Tableau 9.1.20 résultats de vérification de exT (problème de jeu interne)

Analyse dynamique linéaire¶

Dans exW, une analyse dynamique linéaire est effectuée sur la même poutre en porte-à-faux que dans l’élément (1). La figure 9.1.12 présente les conditions de vérification. Pour un même découpage du maillage, l’effet de l’incrément de temps sur les résultats est vérifié. Des méthodes d’intégration temporelle implicite et explicite sont utilisées, avec les types d’éléments 361 et 342. Les résultats de vérification sont présentés dans le tableau 9.1.22 et les figures 9.1.13 à 9.1.15.

Modèle d’analyse

Historique temporel de la force externe F

La solution théorique du déplacement au point d’excitation est la suivante :

où

Figure 9.1.12 conditions de vérification de l’analyse dynamique linéaire

Conditions de vérification :

Tableau 9.1.21 conditions de vérification de l’analyse dynamique linéaire (suite)

Tableau 9.1.22 résultats de vérification de l’analyse dynamique linéaire de exW (porte-à-faux)

Figure 9.1.13 déformée et distribution de la contrainte équivalente de la poutre en porte-à-faux

(a) Type d’élément 361 : méthode implicite

(b) Type d’élément 361 : méthode explicite

Figure 9.1.14 Historique temporel du déplacement au point d’excitation \(u_z\)

(a) Type d’élément 342 : méthode implicite

(b) Type d’élément 342 : méthode explicite

Figure 9.1.15 historique temporel du déplacement au point d’excitation \(u_z\)

Analyse de réponse en fréquence¶

Dans cette vérification, une analyse de réponse en fréquence est effectuée sur une poutre en porte-à-faux, puis les résultats sont vérifiés par comparaison avec ceux d’un logiciel commercial généraliste. Le modèle d’analyse et les conditions de vérification sont présentés ci-dessous.

Conditions d’analyse :

Figure 9.1.16 Modèle d’analyse (éléments tétraédriques du premier ordre : 126 éléments, 55 nœuds)

Les cinq premières fréquences propres obtenues par analyse modale et la réponse en fréquence au point d’excitation sont présentées ci-dessous :

Figure 9.1.17 dépendance en fréquence de l’amplitude du déplacement au point d’excitation