અરેખીય પુનરાવર્તન અને સમય સમાકલન¶

FrontISTR વિશ્લેષણમાં દરેક સ્ટેપના વૃદ્ધિ નિયંત્રણ હેઠળ દરેક ઉપસ્ટેપ પર અરેખીય પુનરાવર્તન અને સમય સમાકલનને જોડીને ઉકેલ આગળ વધે છે. આ પૃષ્ઠ બહારના સ્ટેપ નિયંત્રણ અને અંદરના રેખીય સોલ્વર વચ્ચે આવેલી પુનરાવર્તિત રચના, એટલે કે Newton-Raphson પુનરાવર્તન, સંપર્ક પુનરાવર્તન, ગતિશીલ વિશ્લેષણનું સમય સમાકલન, અસ્થાયી ઉષ્મા વહનનો સમય પ્રગતિ અને અરેખીય પુનરાવર્તનનું માળખું સમજાવે છે.

કાર્યક્ષમતાનો સારાંશ¶

સ્ટેપની અંદર થતું અરેખીય ઉકેલ અને સમય સમાકલન બહારથી અંદર તરફ અનેક એકમેકની અંદર આવેલા લૂપ્સ ધરાવે છે. દરેક સ્તરની ભૂમિકા નીચે મુજબ છે.

દરેક વિશ્લેષણ પ્રકારમાં આ સ્તરોમાંથી કયા સ્તર સુધીનો ઉપયોગ થાય છે તે જુદું છે.

સંપર્કના પ્રકાર અને અલ્ગોરિધમ કેવી રીતે પસંદ કરવા તે માટે સંપર્ક અને એમ્બેડિંગ જુઓ. આ પૃષ્ઠ પસંદ કરેલો અલ્ગોરિધમ પુનરાવર્તિત લૂપ્સ તરીકે કેવી રીતે રચાય છે તે સમજાવે છે.

ઉકેલ પદ્ધતિ કેવી રીતે પસંદ કરવી¶

પુનરાવર્તિત રચના વિશ્લેષણ પ્રકારની પસંદગી (વિશ્લેષણ પ્રકાર), અરેખીયતાની હાજરી (ભૌમિતિક અરેખીયતા, સામગ્રી અરેખીયતા, સંપર્ક) અને સંપર્ક અલ્ગોરિધમ (SLAGRANGE અથવા ALAGRANGE) પરથી આપમેળે નક્કી થાય છે. વપરાશકર્તા સીધું સમાયોજિત કરે છે તે પુનરાવર્તન સંખ્યાની ઉપરલી મર્યાદા અને અભિસરણ માપદંડ છે.

સમાયોજન માટે માર્ગદર્શિકા નીચે મુજબ છે.

• પુનરાવર્તન સંખ્યાની ઉપરલી મર્યાદા સામાન્ય વિશ્લેષણમાં ડિફૉલ્ટ મૂલ્યથી પૂરતી હોય છે. અભિસરણ મુશ્કેલ હોય અને "મહત્તમ પુનરાવર્તનો પહોંચ્યું વિના અભિસરણ" થાય તો પહેલાં કટબૅક (સ્ટેપ નિયંત્રણ) સાથે વાપરો; ત્યાર પછી પણ સુધારો ન થાય તો ઉપરલી મર્યાદા વધારો.
• અભિસરણ માપદંડ વિશ્લેષણની સ્થિરતા અને ગણતરી સમય વચ્ચેના સંતુલનથી ગોઠવો. માપદંડ વધુ કડક કરવાથી સમતુલ્યતા ચોકસાઈ વધે છે પરંતુ પુનરાવર્તનો વધે છે. સંપર્ક વિશ્લેષણ અથવા Lagrange ગુણક ધરાવતા વિશ્લેષણમાં અવશેષ માપદંડ સાથે વિસ્થાપન-વૃદ્ધિ માપદંડ અને Lagrange માપદંડ વાપરવાથી સ્થિરતા સુધરી શકે છે.
• ગતિશીલ વિશ્લેષણના સમય-સમાકલન પરિમાણો (Newmark-β ગુણાંકો) માટે માનક મૂલ્યોથી શરૂ કરો અને કંપન પ્રતિભાવની સંખ્યાત્મક અવમંદન લક્ષણો બદલવી હોય ત્યારે સમાયોજિત કરો.
• અસ્થાયી ઉષ્મા વહનના સમય-સમાકલન યોજના માટે તાપમાનમાં સુગમ ફેરફાર હોય તો Crank-Nicolson અને તીવ્ર ફેરફાર અથવા લાંબા સમયની સ્થિરતા મહત્વપૂર્ણ હોય તો Backward Euler પસંદ કરો.

સ્થિર વિશ્લેષણમાં Newton-Raphson પુનરાવર્તન¶

અરેખીય સ્થિર વિશ્લેષણમાં ભૌમિતિક અરેખીયતા અથવા સામગ્રી અરેખીયતા ધરાવતું સમતુલ્યતા સમીકરણ Newton-Raphson પદ્ધતિથી પુનરાવર્તિત રીતે ઉકેલાય છે. દરેક પુનરાવર્તન નીચે મુજબ ચાલે છે.

1. વર્તમાન ઉકેલ પર અવશેષ સદિશ \(\boldsymbol{R}\) મૂલ્યાંકિત કરો.
2. સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ \(\boldsymbol{K}_T\) સંયોજિત કરો.
3. રેખીય તંત્ર \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) ઉકેલી વિસ્થાપન સુધારો \(\Delta \boldsymbol{u}\) મેળવો.
4. ઉકેલને \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) વડે અપડેટ કરો.
5. અભિસરણ માપદંડ સાથે સરખાવો; અભિસરિત હોય તો પુનરાવર્તન સમાપ્ત કરો, ન હોય તો પગલું 1 પર પાછા જાઓ.

રેખીય તંત્રનું ઉકેલ (પગલું 3) રેખીય સોલ્વર કરે છે. સોલ્વર અને પૂર્વશરતીકરણની પસંદગી માટે સોલ્વર અને પૂર્વશરતીકરણ જુઓ.

પુનરાવર્તન નિયંત્રણ !STEP ના સ્ટેપ-નિયંત્રણ પરિમાણો વડે થાય છે. મુખ્ય નિયંત્રણ મૂલ્યો નીચે મુજબ છે.

સ્ટેપ નિયંત્રણ માં સ્વચાલિત વૃદ્ધિ/કટબૅક માટે વપરાતું Newton પુનરાવર્તનનું મહત્તમ સંખ્યા આ પૃષ્ઠમાં વર્ણવેલા Newton પુનરાવર્તનોની સંખ્યા દર્શાવે છે. સ્વચાલિત વૃદ્ધિ ઓછા પુનરાવર્તનોમાં અભિસરિત ઉપસ્ટેપ પછી સમય વૃદ્ધિ વધારે છે અને વધુ પુનરાવર્તનો લાગેલા ઉપસ્ટેપ પછી સમય વૃદ્ધિ ઘટાડે છે.

સ્થિર વિશ્લેષણમાં સંપર્ક પુનરાવર્તન¶

સંપર્ક વિશ્લેષણમાં સંપર્ક સપાટીનું ચોંટાણ, વિચ્છેદ અને સરકવાની સ્થિતિ પુનરાવર્તન દરમિયાન બદલાતા હોવાથી Newton પુનરાવર્તન સંપર્ક-સ્થિતિ અપડેટ સાથે જોડાય છે. રચના પસંદ કરેલા સંપર્ક ઉકેલ અલ્ગોરિધમ મુજબ બદલાય છે.

બંને અલ્ગોરિધમોમાં સૌથી બહાર સંપર્ક-સ્થિતિ શોધ લૂપ હોય છે. દરેક ચક્રમાં અંદર Newton પુનરાવર્તન અભિસરિત થયા પછી સંપર્ક સ્થિતિ (ચોંટાણ/વિચ્છેદ) ફરી મૂલ્યાંકિત થાય છે; સ્થિતિ બદલાય તો કઠોરતા મેટ્રિક્સનું રચના અપડેટ કરીને અંદરના પુનરાવર્તનો ફરી ચલાવાય છે. સંપર્ક સ્થિતિ અગાઉ જેવી જ રહે અને સંપર્ક અભિસરણ માપદંડ (સંપર્ક બળ/Lagrange ગુણક માપદંડ) સંતોષાય ત્યારે લૂપ સમાપ્ત થાય છે. ઉપરલી મર્યાદા !STEP ના MAXCONTITER વડે નિર્દિષ્ટ થાય છે.

SLAGRANGE સંપર્કમાં માનક Lagrange ગુણક પદ્ધતિ વડે સંપર્ક સ્વતંત્રતા અંશ રેખીય તંત્રમાં સમાવાય છે અને સંપર્ક-સ્થિતિ શોધ લૂપની અંદર સીધી Newton પુનરાવર્તન મૂકાતી બે-સ્તરીય રચના બને છે. વિસ્તૃત Lagrange પુનરાવર્તન વચ્ચે આવતી નથી.

ALAGRANGE સંપર્કમાં સંપર્ક-સ્થિતિ શોધ લૂપની અંદર વિસ્તૃત Lagrange પુનરાવર્તન અને તેની અંદર Newton પુનરાવર્તન હોય તેવી ત્રણ-સ્તરીય રચના બને છે. વિસ્તૃત Lagrange પુનરાવર્તનના દરેક ચક્ર પર સંપર્ક નિયંત્રણને દંડ પદ અને Lagrange ગુણકના સંયોજનથી ફરી મૂલ્યાંકિત કરી નિયંત્રણ ચોકસાઈ તબક્કાવાર સુધારાય છે. વિસ્તૃત Lagrange પુનરાવર્તન સંખ્યાની ઉપરલી મર્યાદા !CONTACT_ALGO ના AUGITER વડે નિર્દિષ્ટ થાય છે.

સંપર્ક પુનરાવર્તનના નિયંત્રણ મૂલ્યો નીચે મુજબ છે.

સ્ટેપ નિયંત્રણ ના સ્વચાલિત વૃદ્ધિ માપદંડમાં સંદર્ભિત સંપર્ક પુનરાવર્તન સંખ્યા આ પૃષ્ઠમાં વર્ણવેલા સંપર્ક-સ્થિતિ અપડેટ ધરાવતા પુનરાવર્તનોની સંખ્યા દર્શાવે છે. સંપર્ક ચોંટાણ/વિચ્છેદ વારંવાર બદલાતી વિશ્લેષણમાં સંપર્ક પુનરાવર્તન સંખ્યા વધવાની પ્રવૃત્તિ હોય છે અને સ્વચાલિત વૃદ્ધિ/કટબૅકના નિર્ણયને પણ અસર કરે છે. સંપર્ક પ્રકાર, જોડી વ્યાખ્યા અને અલ્ગોરિધમ પસંદગી માટે સંપર્ક અને એમ્બેડિંગ જુઓ. સંપર્ક સ્વતંત્રતા અંશ ધરાવતા રેખીય તંત્રના ઉકેલ માટે સોલ્વર અને પૂર્વશરતીકરણ જુઓ.

ગતિશીલ વિશ્લેષણનું સમય સમાકલન (અવ્યક્ત)¶

ગતિશીલ વિશ્લેષણની અવ્યક્ત પદ્ધતિ Newmark-β વડે દરેક સમય-સ્ટેપમાં આગળના સમયના વિસ્થાપન, વેગ અને પ્રવેગને સંબંધિત કરીને ગતિ સમીકરણ સાથે જોડે છે અને સમય \(t + \Delta t\) ની સ્થિતિ મેળવે છે. સમય-સ્ટેપ \(\Delta t\) માટે સ્થિરતા નિયંત્રણ ઢીલું હોવાથી નીચી આવર્તન ઘટકો પ્રબળ હોય તેવો રચનાત્મક પ્રતિભાવ કાર્યક્ષમ રીતે ઉકેલી શકાય છે.

સમય-સમાકલન પરિમાણો નીચેના બે છે.

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) નું સંયોજન સરેરાશ પ્રવેગ પદ્ધતિ કહેવાય છે અને નિઃશરત સ્થિરતા તથા સંખ્યાત્મક અવમંદન વગરની માનક પસંદગી છે. સંખ્યાત્મક અવમંદન ઉમેરવી હોય તો \(\gamma\) ને \(1/2\) કરતાં મોટું રાખો. પરિમાણ સંયોજનો અને સ્થિરતા/ત્રુટિ લક્ષણોની ગણિતીય વિગતો માટે સિદ્ધાંત મેન્યુઅલ જુઓ.

અરેખીયતા (ભૌમિતિક અરેખીયતા, સામગ્રી અરેખીયતા, સંપર્ક) હોય ત્યારે દરેક સમય-સ્ટેપની અંદર Newton પુનરાવર્તન ચલાવી, પુનરાવર્તનમાં રેખીય તંત્ર ઉકેલી સ્થિતિ અપડેટ થાય છે. અભિસરણ માપદંડ માટે સ્થિર વિશ્લેષણ જેવી CONVERG વગેરે વપરાય છે. સંપર્ક ધરાવતા ગતિશીલ વિશ્લેષણમાં સ્થિર વિશ્લેષણમાં સંપર્ક પુનરાવર્તન જેવી પુનરાવર્તિત રચના સમય-સ્ટેપની અંદર સમાવાય છે.

ગતિશીલ વિશ્લેષણનો સમય-સ્ટેપ મુખ્યત્વે !STEP ની સમય શરતો વડે નિયંત્રિત થાય છે. સ્થિર વૃદ્ધિમાં !STEP નું DTIME સમય-સ્ટેપ અને ETIME સ્ટેપ અવધિ તરીકે નિર્દિષ્ટ કરો. !DYNAMIC ના n_step અને t_delta !STEP છોડવામાં આવે ત્યારે અથવા પાછળની સુસંગતતા માટે ડિફૉલ્ટ મૂલ્યો તરીકે વર્તે છે. અરેખીય અવ્યક્ત પદ્ધતિમાં !STEP ના INC_TYPE=AUTO વડે સ્વચાલિત વૃદ્ધિ/કટબૅક સક્રિય કરી શકાય છે અને Newton/સંપર્ક પુનરાવર્તનો અનુસાર સમય-સ્ટેપ વધઘટ થાય છે. સ્થિર કે સ્વચાલિત બંને સ્થિતિમાં સમય-સ્ટેપ અભિસરણ અને આવશ્યક ચોકસાઈ બંનેના આધારે ગોઠવો.

ગતિશીલ વિશ્લેષણનું સમય સમાકલન (સ્પષ્ટ)¶

ગતિશીલ વિશ્લેષણની સ્પષ્ટ પદ્ધતિ કેન્દ્રીય તફાવત પદ્ધતિ વડે અગાઉના સમયના વિસ્થાપન, વેગ અને પ્રવેગ પરથી આગળના સમયની સ્થિતિ સીધી ગણે છે. સમકાલીન સમીકરણો ઉકેલાતી નથી તેથી પ્રતિ-સ્ટેપ ગણતરી ખર્ચ ઓછો છે. અરેખીયતા હોય ત્યારે પણ દરેક સમય-સ્ટેપ પર Newton પુનરાવર્તન વગર એક-તબક્કીય અપડેટ થાય છે.

સમય-સ્ટેપ માટે સિસ્ટમના ન્યૂનતમ સ્વાભાવિક આવર્તકાળ આધારિત સ્થિરતા શરત (CFL શરત) ની ઉપરલી મર્યાદા હોય છે. તે કરતાં મોટો સમય-સ્ટેપ રાખવાથી સંખ્યાત્મક ઉકેલ અપસરે થાય છે; તેથી અવ્યક્ત પદ્ધતિ જેવી મોટી સમય-સ્ટેપ લઈ શકાય નહીં. આઘાત, તરંગ પ્રસરણ અને ઉચ્ચ-વેગ સંપર્ક જેવી મૂળથી જ નાનો સમય-સ્ટેપ માંગતી ઘટનાઓમાં સ્પષ્ટ પદ્ધતિ લાભદાયી છે.

સંપર્ક હોય ત્યારે Forward વૃદ્ધિ Lagrange પદ્ધતિ વડે સંપર્ક નિયંત્રણ સંભાળાય છે. સ્પષ્ટ પદ્ધતિના એક-તબક્કીય અપડેટ સાથે સુસંગત રીતે સંપર્ક બળ મૂલ્યાંકિત થાય છે.

આવર્તન પ્રતિભાવ વિશ્લેષણની ઉકેલ પદ્ધતિ¶

આવર્તન પ્રતિભાવ વિશ્લેષણ મોડ-અધ્યારોપણ પદ્ધતિ વડે આવર્તક સ્થિરાવસ્થા પ્રતિભાવને આવર્તન ક્ષેત્રમાં સીધું ગણે છે. ઉત્તેજન આવર્તન બદલતા પ્રતિભાવ મૂલ્યાંકિત થાય છે; સમય-ઇતિહાસને પુનરાવર્તન દ્વારા અનુસરવાની જરૂર નથી. અરેખીય પુનરાવર્તન કે સમય સમાકલન કરવામાં આવતું નથી.

આવર્તન પ્રતિભાવ વિશ્લેષણ ચલાવવા પહેલાં એ જ સિસ્ટમ પર મોડલ વિશ્લેષણ કરીને જરૂરી સંખ્યાના પ્રાકૃતિક મોડ્સ કાઢવા પડે છે. માત્ર રેખીય મોડેલો સમર્થિત છે; ભૌમિતિક અથવા સામગ્રી અરેખીયતા સક્રિય હોય તો ચલાવી શકાય નહીં. વિશ્લેષણ પ્રકારમાં તેનું સ્થાન વિશ્લેષણ પ્રકાર જુઓ.

અસ્થાયી ઉષ્મા વહનમાં સમય પ્રગતિ અને અરેખીય પુનરાવર્તન¶

અસ્થાયી ઉષ્મા વહનને !HEAT ની અંદર પૂર્ણ થતો પોતાનો સમય લૂપ છે. માળખાકીય વિશ્લેષણના !STEP અને !AUTOINC_PARAM થી અલગ માર્ગે સમય-સ્ટેપ નિયંત્રિત થાય છે અને સામગ્રી ગુણધર્મો તાપમાન-આધારિત હોય ત્યારે દરેક સમય-સ્ટેપની અંદર અરેખીય પુનરાવર્તન થાય છે.

સમય-સમાકલન યોજના !HEAT ના \(\beta\) પરિમાણથી પસંદ થાય છે.

સમય-સ્ટેપ પ્રારંભિક સમય-સ્ટેપ, ન્યૂનતમ સમય-સ્ટેપ અને પ્રતિ-સ્ટેપ મહત્તમ તાપમાન ફેરફારને જોડીને અનુકૂલનશીલ-રીતે નિયંત્રિત થાય છે. દરેક સમય-સ્ટેપ પછી તાપમાન ફેરફાર DELTMX કરતાં મોટો હોય તો સમય-સ્ટેપ ઘટાડીને ફરી ગણતરી થાય છે. સમય-સ્ટેપ ન્યૂનતમ સમય-સ્ટેપ DTMIN કરતાં નીચો જાય તો વિશ્લેષણ અટકે છે.

સામગ્રી ગુણધર્મો તાપમાન-આધારિત હોય ત્યારે દરેક સમય-સ્ટેપની અંદર અરેખીય પુનરાવર્તન થાય છે. પુનરાવર્તન નિયંત્રણ નીચે મુજબ છે.

સ્થિરાવસ્થા ઉષ્મા વહનમાં સમય-સ્ટેપ વપરાતો નથી; સામગ્રી ગુણધર્મો તાપમાન-આધારિત હોય ત્યારે માત્ર અરેખીય પુનરાવર્તન થાય છે. ઉષ્મા વહન વિશ્લેષણનું સમય નિયંત્રણ માળખાકીય વિશ્લેષણના !STEP થી સ્વતંત્ર હોવાથી સમય-સ્ટેપ સમાયોજિત કરતી વખતે !HEAT ની ગોઠવણી તપાસો.

સંબંધિત વિષયો¶

• વિશ્લેષણ પ્રકાર — દરેક વિશ્લેષણ પ્રકારનું સ્થાન.
• સંપર્ક અને એમ્બેડિંગ — સંપર્ક પ્રકાર, જોડી વ્યાખ્યા અને ઉકેલ અલ્ગોરિધમની પસંદગી.
• સોલ્વર અને પૂર્વશરતીકરણ — Newton પુનરાવર્તન અંદર બોલાવાતા રેખીય સમકાલીન સમીકરણોનું ઉકેલ.
• સ્ટેપ નિયંત્રણ — બહારના સ્ટેપ/ઉપસ્ટેપ નિયંત્રણ અને સ્વચાલિત વૃદ્ધિ/કટબૅક.
• Newton-Raphson પદ્ધતિ (સિદ્ધાંત) — પુનરાવર્તિત પદ્ધતિનું સૂત્રીકરણ.
• અભિસરણ માપદંડ (સિદ્ધાંત) — અભિસરણ સૂચકોની ગણિતીય વ્યાખ્યા.
• ગતિશીલ વિશ્લેષણ પદ્ધતિ (સિદ્ધાંત) — Newmark-β પદ્ધતિ અને કેન્દ્રીય તફાવત પદ્ધતિનું સૂત્રીકરણ.
• અસ્થાયી ઉષ્મા વહન વિશ્લેષણ (સિદ્ધાંત) — ઉષ્મા વહનના સમય સમાકલનનું સૂત્રીકરણ.
• સંપર્ક વિશ્લેષણ (સિદ્ધાંત) — Lagrange ગુણક પદ્ધતિનું સૂત્રીકરણ.
• કીવર્ડ સંદર્ભ: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.